№1
1а) Вычислить неопределенный интеграл: 
Данный интеграл вычислим при помощи формулы интегрирования по частям.
Выберем 
, 
необходимо вычислить 
и 
(Определенную сложность для студентов зачастую представляет вычисление функции при известном 
. Данную проблему можно решать следующими способами:
Первый подход рассчитан на студентов хорошо освоивших ранее пройденный материал и способных к интуитивному пониманию
1. Зная и представляя перед собой таблицу производных, понимаем, что данная производная может быть получена при дифференцировании функции 
, причем именно 
, однако 
, значит для того чтобы производная получилась 
необходимо взять производную от функции 
получения
В случае если проведенные рассуждения сложны для восприятия, то возможен другой подход для вычисления искомой функции:
2. Учитывая второе основное свойство неопределенного интеграла 
имеем
Либо интеграл 
можно вычислить и другим способом:
таким образом, получаем .
Для вычисления в итоге имеем:
Применяем к исходному интегралу формулу интегрирования по частям 
подставляя вместо 
, , 
и их значения и получим:
1б) Вычислить неопределенный интеграл: 
Для вычисления имеющегося интеграла целесообразно сначала сделать замену:
имеем:
2) Вычислить определенный интеграл: 
Для вычисления имеющегося интеграла необходимо сначала вычислить соответствующий ему неопределенный интеграл 
, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница.
Данный неопределенный интеграл вычисляется при помощи формулы интегрирования по частям, причем применять ее придется два раза.
Применим к исходному интегралу формулу Ньютона-Лейбница.
3) Найти неопределенный интеграл: 
Данный пример предполагает применение метода вычисления интегралов от дробно-рациональных функций.
Алгоритм наших действий следующий:
1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции. 
т.е. 
2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей. 
в силу единственности представления многочлена получаем систему уравнений:
т.е. 
3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.
4. Записываем ответ как сумму от получившихся в третьем пункте выражений.
4a) Вычислить определенный интеграл: 
Перед нами определенный интеграл от тригонометрической функции. Сначала вычислим соответствующий ему неопределенный интеграл 
. Вычислять данный интеграл будем при помощи стандартной замены 
, при которой 
, 
, 
получим:
Теперь к исходному интегралу применяем формулу Ньютона-Лейбница.
4б) Вычислить определенный интеграл: 
Перед нами определенный интеграл от тригонометрической функции. Сначала вычислим соответствующий ему неопределенный интеграл 
. Вычислять данный интеграл будем при помощи стандартной замены , при которой , , получим:
Перед нами интеграл от дробно-рациональной функции и вычислять его надо аналогично ранее решенному третьему примеру.
, 
тогда имеем систему уравнений 
Тогда 
Применяя к исходному интегралу формулу Ньютона-Лейбница имеем:
5) Вычислить определенный интеграл: 
Перед нами определенный интеграл от иррациональной функции. Сначала вычислим соответствующий ему неопределенный интеграл 
. Вычислять данный интеграл будем при помощи стандартной замены.
замена 
. В нашем случае замена 
, при этом 
, 
, учтем что 
в итоге имеем:
перед нами интеграл от тригонометрической функции, причем вида 
где m и n целые числа и одно из них не четное, можно занести 
под знак дифференциала.
проведя обратную замену и перейдя к исходной переменной имеем: 
. Применяя к исходному интегралу формулу Ньютона-Лейбница имеем:
6) Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат. 
, 
Если гладкая кривая задана уравнением 
то длина ее дуги на отрезке [ a,b ] может быть вычислена по формуле: 
. В нашем случае 
. Имеем:
7) Изменить порядок интегрирования: 
Для изменение порядка интегрирования первым шагом необходимо изобразить область, по которой вычисляется двойной интеграл.
В первой части исследуемого интеграла 
внешняя переменная x изменяется от нуля до единицы образуя некую полосу на плоскости Oxy, а внутренняя переменная y изменяется от функции 
(горизонтальная прямая совпадающая с осью Ox) до функции 
(прямая, которая является биссектрисой первого координатного угла). Обе функции могут быть построены по точкам.
Таким образом получаем область:
Во второй части исследуемого интеграла 
внешняя переменная x изменяется от единицы до 
, образуя некую полосу на плоскости Oxy, а внутренняя переменная y изменяется от функции (горизонтальная прямая совпадающая с осью Ox), до функции 
. (функция представляет из себя верхнюю дугу полуокружности с центром в начале координат и радиусом , что становиться очевидно если возвести функцию в квадрат). Обе функции могут быть построены по точкам.
Таким образом получаем область:
Объединяя полученные области имеем:
Проецируя имеющуюся область на прямую Oy получаем отрезок [0;1], следовательно, пределы во внешнем интеграле будут изменяться от нуля до единицы. Что же касается изменение пределов во внутреннем интеграле, то находясь внутри области при уменьшении x мы упираемся в функцию , а при увеличении x мы упираемся в функцию (или с учетом того что необходимо выразить x 
). Таким образом получаем:
8) Вычислить: 
Для начала решения построим область D.
Для определения пределов интегрирования первым шагом спроецируем область на ось х, тем самым получив в качестве границ внешнего интеграла отрезок [0;4]. Двигаясь внутри области по прямым, параллельным оси Оу определяем какие функции выступают в качестве границ внутреннего интеграла. Таким образом имеем:
Данный интеграл вычисляем как повторный
Таким образом 
9) Вычислить: 
Будем вычислять тройной интеграл как повторный, аналогично предыдущему примеру.
