Пример решения контрольной работы №2 для ускоренников

№1

1а) Вычислить неопределенный интеграл:

Данный интеграл вычислим при помощи формулы интегрирования по частям.

Выберем , необходимо вычислить и

(Определенную сложность для студентов зачастую представляет вычисление функции при известном . Данную проблему можно решать следующими способами:

Первый подход рассчитан на студентов хорошо освоивших ранее пройденный материал и способных к интуитивному пониманию

1. Зная и представляя перед собой таблицу производных, понимаем, что данная производная может быть получена при дифференцировании функции , причем именно , однако , значит для того чтобы производная получилась необходимо взять производную от функции получения

В случае если проведенные рассуждения сложны для восприятия, то возможен другой подход для вычисления искомой функции:

2. Учитывая второе основное свойство неопределенного интеграла имеем

Либо интеграл можно вычислить и другим способом:

таким образом, получаем .

Для вычисления в итоге имеем:

Применяем к исходному интегралу формулу интегрирования по частям подставляя вместо , , и их значения и получим:

 

1б) Вычислить неопределенный интеграл:

Для вычисления имеющегося интеграла целесообразно сначала сделать замену:

имеем:

2) Вычислить определенный интеграл:

Для вычисления имеющегося интеграла необходимо сначала вычислить соответствующий ему неопределенный интеграл , а затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

Данный неопределенный интеграл вычисляется при помощи формулы интегрирования по частям, причем применять ее придется два раза.

Применим к исходному интегралу формулу Ньютона-Лейбница.

3) Найти неопределенный интеграл:

Данный пример предполагает применение метода вычисления интегралов от дробно-рациональных функций.

Алгоритм наших действий следующий:

1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции. т.е.

2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей. в силу единственности представления многочлена получаем систему уравнений:

т.е.

3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.

4. Записываем ответ как сумму от получившихся в третьем пункте выражений.

 

4a) Вычислить определенный интеграл:

Перед нами определенный интеграл от тригонометрической функции. Сначала вычислим соответствующий ему неопределенный интеграл . Вычислять данный интеграл будем при помощи стандартной замены , при которой , , получим:

Теперь к исходному интегралу применяем формулу Ньютона-Лейбница.

 

4б) Вычислить определенный интеграл:

Перед нами определенный интеграл от тригонометрической функции. Сначала вычислим соответствующий ему неопределенный интеграл . Вычислять данный интеграл будем при помощи стандартной замены , при которой , , получим:

Перед нами интеграл от дробно-рациональной функции и вычислять его надо аналогично ранее решенному третьему примеру.

, тогда имеем систему уравнений Тогда

Применяя к исходному интегралу формулу Ньютона-Лейбница имеем:

 

5) Вычислить определенный интеграл:

Перед нами определенный интеграл от иррациональной функции. Сначала вычислим соответствующий ему неопределенный интеграл . Вычислять данный интеграл будем при помощи стандартной замены.

замена . В нашем случае замена , при этом , , учтем что в итоге имеем:

перед нами интеграл от тригонометрической функции, причем вида где m и n целые числа и одно из них не четное, можно занести под знак дифференциала.

проведя обратную замену и перейдя к исходной переменной имеем: . Применяя к исходному интегралу формулу Ньютона-Лейбница имеем:

6) Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат. ,

Если гладкая кривая задана уравнением то длина ее дуги на отрезке [ a,b ] может быть вычислена по формуле: . В нашем случае . Имеем:

 

7) Изменить порядок интегрирования:

Для изменение порядка интегрирования первым шагом необходимо изобразить область, по которой вычисляется двойной интеграл.

В первой части исследуемого интеграла внешняя переменная x изменяется от нуля до единицы образуя некую полосу на плоскости Oxy, а внутренняя переменная y изменяется от функции (горизонтальная прямая совпадающая с осью Ox) до функции (прямая, которая является биссектрисой первого координатного угла). Обе функции могут быть построены по точкам.

Таким образом получаем область:

Во второй части исследуемого интеграла внешняя переменная x изменяется от единицы до , образуя некую полосу на плоскости Oxy, а внутренняя переменная y изменяется от функции (горизонтальная прямая совпадающая с осью Ox), до функции . (функция представляет из себя верхнюю дугу полуокружности с центром в начале координат и радиусом , что становиться очевидно если возвести функцию в квадрат). Обе функции могут быть построены по точкам.

 

Таким образом получаем область:

Объединяя полученные области имеем:

Проецируя имеющуюся область на прямую Oy получаем отрезок [0;1], следовательно, пределы во внешнем интеграле будут изменяться от нуля до единицы. Что же касается изменение пределов во внутреннем интеграле, то находясь внутри области при уменьшении x мы упираемся в функцию , а при увеличении x мы упираемся в функцию (или с учетом того что необходимо выразить x ). Таким образом получаем:

8) Вычислить:

Для начала решения построим область D.

Для определения пределов интегрирования первым шагом спроецируем область на ось х, тем самым получив в качестве границ внешнего интеграла отрезок [0;4]. Двигаясь внутри области по прямым, параллельным оси Оу определяем какие функции выступают в качестве границ внутреннего интеграла. Таким образом имеем:

Данный интеграл вычисляем как повторный

Таким образом

 

9) Вычислить:

Будем вычислять тройной интеграл как повторный, аналогично предыдущему примеру.