Эквиваленты десятичных чисел в различных системах счисления

ALFA1 FECD 15AB BASIC

Все процессы, происходящие в вычислительной системе, связаны непосредственно с различными физическими носителями информационных сообщений (носитель данных), а все узлы и блоки этой системы являются физической средой, в которой осуществляются информационные процессы. Особенности носителя информации накладывают определённые ограничения

на используемый для её представления алфавит. При подготовке к решению на ЭВМ исходная формулировка, описание методов решения, задание конкретных исходных данных осуществляется на математическом языке, алфавит которого наряду с буквами естественного языка может включать буквы других языков, специальные символы математических операций и другие знаки. Носителем информации на данном этапе служат листы обычной бумаги.

Для ввода в ЭВМ информация об условиях задачи и методе её решения должна быть перенесена на специальный носитель, с которого она воспринимается в ЭВМ.

В качестве такого носителя ранее использовались специальные бумажные карты (перфокарты) или ленты (перфоленты), на которые буквы, цифры, другие символы наносились с помощью специальной системы знаков, например совокупности пробитых и не пробитых позиций. В настоящее время в качестве носителя информации применяется магнитная лента, гибкие диски (дискеты), жесткие диски (винчестеры). Для нанесения информации используется набор из двух знаков, каждый из которых представляется участком поверхности носителя различной намагниченности. Носителями информации являются также компакт – диски, информация на которых кодируется посредством чередования отражающих и не отражающих свет участков на подложке диска. При промышленном производстве компакт- дисков эта подложка выполняется из алюминия, а не отражающие свет участки делаются с помощью продавливания углублений в подложке специальной пресс- формой.

При единичном производстве компакт- дисков подложка выполняется из золота, а нанесение информации на неё осуществляется лучом лазера.

Носителем информации в электронных блоках ЭВМ, ведущих её обработку, является электрический сигнал, у которого меняется какой- либо параметр (частота, амплитуда).

Как видно из приведённых примеров, в процессе ввода, хранения, обработки и вывода информации в ЭВМ осуществляется неоднократное её преобразование из одной формы в другую. При этом с каждой из используемых форм представления информации связаны различные алфавиты. Процесс преобразования информации часто требует представлять буквы одного алфавита средствами (буквами, словами) другого алфавита. Такое представление называется кодированием. Декодированием называется процесс обратного преобразования информации относительно ранее выполненного кодирования.

Для представления информации в ЭВМ преимущественное распространение получило двоичное кодирование, при котором символы вводимой в ЭВМ информации представляются средствами двоичного алфавита, состоящего из двух букв. Это символы «0» и «1».

Двоичный алфавит по числу входящих в него символов является минимальным, поэтому при двоичном кодировании алфавита, включающего большое количество букв, каждой букве ставится в соответствие последовательность нескольких двоичных знаков или двоичное слово. Такие последовательности называются кодовыми комбинациями.

Полный набор кодовых комбинаций, соответствующих двоичному представлению всех букв кодируемого алфавита, называется кодом.

Различают коды равномерные и неравномерные. Кодовые комбинации равномерных двоичных кодов содержат одинаковое число двоичных знаков, неравномерных – не одинаковое.

Примером неравномерного двоичного кода может служить азбука Морзе, в которой для каждой буквы определена последовательность коротких и длинных сигналов. В азбуке Морзе букве Е, например, соответствует один короткий сигнал (точка), а букве Ш – четыре длинных сигнала (четыре тире). Неравномерное кодирование позволяет повысить скорость передачи сообщений за счёт того, что наиболее часто встречающимся в передаваемых текстах символам назначается для их представления более короткая комбинация.

В технике наибольшее применение нашли равномерные коды, как более удобные для реализации. Например, во 2-м международном телеграфном коде символы передаваемого алфавита кодируются последовательностями из пяти «токовых или бестоковых посылок».

В вычислительной технике используются обычно равномерные коды, кодовые комбинации которых составляются последовательностью из восьми двоичных знаков. Такими являются, например, расширенный стандарт кодирования символов ASCII (American Standart Code for Information Interchange), модифицированная альтернативная кодировка ГОСТа, используемых в программах, работающих под управлением дисковой операционной системы (DOS) в компьютерах фирмы IBM.

Число символов, составляющих кодовую комбинацию, называется «длиной кода». В отношении двоичных кодов наряду с термином «длина кода» используется термин «разрядность кода».

Если разрядность кода обозначить через «n», то легко убедиться в том, что полное число кодовых комбинаций такого кода будет равно 2^n. Для ASCII n=8, а полное число кодовых комбинаций составляет 256. Модификация кода ASCII позволяет кодировать символы кириллицы.

Количество введённой в ЭВМ информации измеряют величиной, выраженной в двоичных знаках или битах. Бит – цифра 0 или 1.

Последовательность из восьми двоичных знаков, применяемая в используемых в вычислительной технике кодах для представления символов входных алфавитов получила название байт. Как правило, код символа хранится в одном байте, поэтому коды символов могут принимать значения от 0 до 255.Такие кодировки называются однобайтными, они позволяют использовать до 256 различных символов. Впрочем, в настоящее время всё большее распространение приобретает двухбайтная кодировка Unicode, в ней символы могут принимать значения от 0 до 65535. В этой кодировке имеются номера для практически всех применяемых символов (буквы алфавитов разных языков, математические, декоративные символы и т.д.). Используются и более крупные единицы количества информации: 1Килобайт = 1024 байт; 1Мегабайт = 1024Килобайт;

1Гигабайт = 1024Мегабайт.

Названные единицы измерения количества информации используются для характеристики ёмкости запоминающих устройств ЭВМ. Ёмкость запоминающих устройств определяется количеством информации, которое хранится в памяти одновременно.

Например, в состав оборудования ЭВМ фирмы IBM входят накопители на жёстком диске ёмкостью 50Гигабайт. Персональные ЭВМ (ПК) комплектуются также накопителями на гибких магнитных дисках ёмкостью 720Кбайт, и1,44Мбайт, компакт – дисками ёмкостью 700Мбайт.

Для того, чтобы оценить порядок приведённых значений, определим, какой объём памяти необходим для хранения текста книги в 200 страниц, на каждой из которых размещены 50 строк по 50 символов. Простой подсчёт числа символов в книге даёт ответ на поставленный вопрос. Для хранения указанной книги необходимо запоминающее устройство ёмкостью 500 000 байт(50*50*200). Переведём полученное значение в Кбайты:

500 000: 1024 = 488,2 Кбайт

Способность хранить и осуществлять быстрый поиск информации – важное качество вычислительных машин, обусловившее их широкое использование в системах автоматизированной обработки информации автоматического проектирования, в автоматизированных обучающих системах и т.д.

Размещение информации на гибких и жёстких дисках большого объёма позволяет отказаться от использования традиционной справочной и другой литературы. При наличии соответствующего оборудования пользователь может обеспечить доступ к локальной компьютерной сети организации или к глобальной сети Internet.

В информатике принято широко использовать понятие данные. Этот термин принято применять в отношении информации, представленной в формализованном (закодированном) виде, позволяющем хранить, передавать или обрабатывать её с помощью технических средств. Поэтому наряду с термином «ввод», «обработка», «хранение», «поиск информации» можно использовать термины ввод данных, обработка данных, хранение данных и т.п.

 

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ.

 

Необходимость выполнения арифметических действий над вводимыми в ЭВМ числами предъявляет особые требования к кодированию числовой информации. Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр, от 0 до 9.Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто математической она не имеет специального преимущества перед другими возможными системами счисления и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера. Десять пальцев на руке –первоначальный аппарат для счёта, которым человек пользовался, начиная с доисторических времён. Таким образом, именно счёт по пальцам положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся. С момента создания цифровых вычислительных машин широкое распространение получила двоичная система счисления для двоичного представления чисел в ЭВМ, применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

.

Система счисления - это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определённые количественные значения (совокупность приёмов и правил записи чисел цифровыми знаками).

Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

- возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

- единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

- простоту оперирования с числами.

 

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от её места (позиции) в числе: один и тот же знак принимает различные значения. Например, в десятичном числе 333 первая цифра справа означает три единицы, соседняя с ней – три десятка, а левая – три сотни.

Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р-1.В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

А_{n - 1} P^n-1+a_n-2P^n-2 +… +a₁P¹+a₀P⁰+ a_-1P^-1+a_-2P^-2 +… +a_-s P ^-s

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

-- положительные значения индексов- для целой части числа (n разрядов);

-- отрицательные значения- для дробной (s разрядов).

Компьютерная форма записи этого выражения будет:

 

A(p) = a(n-1)p^(n-1)+…+ a(1)p +a(0)p^0+a(-1)p^(-1)+… +a(-s)p^(-s)

Рассмотрим пример. Представим число 86,54 в соответствии с этой формулой:

86,54(10) = 8*10^1+ 6*10^0 + 5*10^(-1) + 4*10^(-2)

Для примера запишем число Х= 135(10) в двоичной, троичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Х = 10000111(2)=12000(3)=207(8)=87(16)

Х(2)=1*2^7+0*2^6 + 0*2^5+0*2^4+0*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0=135(10)

Х(3)=1*3^4+2*3^3+0*3^2+0*3^1+0*3^0=135(10)

X(8)=2*8^2+0*8^1+7*8^0=135(10)

X(16)+8*16^1+7*16^0=135(10)

Из приведённого примера видно, что увеличение основания системы счисления делает запись числа более компактной(уменьшает потребное количество разрядов для его изображения). В этом смысле наименее экономична двоичная система счисления. Количество разрядов в двоичной системе счисления примерно в 3,3 раза больше требуемого количества разрядов в десятичной системе счисления.

 

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Непозиционная система счисления – римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (XIV, CXXVII и т.п.)

В таблице приведены эквиваленты десятичных чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Эквиваленты десятичных чисел в различных системах счисления.

Таблица 1

Десятичное число Р =10	Двоичное число Р =2	Восьмеричное число Р =8	Шестнадцатеричное число Р =16
			A
			B
			C
			D
			E
			F

 

Системы счисления, применяемые в ЭВМ, можно разделить на основную и вспомогательные.

Основной является система счисления, в которой представляется и хранится информация, а также выполняются все основные операции в цифровой вычислительной машине. В качестве такой системы используется двоичная система счисления. Несмотря на громоздкость записи, она имеет перед другими системами счисления значительные преимущества. Это прежде всего простота конструкции элементов, представляющих каждый разряд числа.

При применении двоичной системы счисления они наиболее просты, так как должны иметь только два устойчивых состояния, соответствующих цифрам 0 и 1, которые изображают коэффициенты ai в нашей формуле. Это увеличивает надёжность функционирования ЭВМ. Простота выполненияарифметических операций является свойством двоичной арифметики.

При этом можно использовать хорошо разработанный аппарат двоичной логики.

Операции сложения, вычитания и умножения двоичных чисел представлены в таблице 2.

 

 

Таблица 2

Двоичные операции
0+0=0	0-0=0	0*0=0
0+1=1	1-0=1	0*1=0
1+0=1	1-1=0	1*0=0
1+1=10	10-1=1	1*1=1
1+1+1=11

 

Операции сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел выполняются по тем же правилам, которыми мы пользуемся при аналогичных действиях с десятичными числами. Рассмотрим это на примере.

ПРИМЕР 1

Сложить два десятичных числа 15(10) и 17(10) в двоичной системе счисления:

Десятичное число 15(10) в двоичной системе счисления будет 1111(2), а десятичное число 17(10)=10001(2)

Сложение, как в десятичной системе счисления, выполним столбиком:

1111 15(10)

+

10001 17(10)

-----------

100000 32(10)

 

Сложение осуществляется следующим образом:

Сначала складываем две цифры младших разрядов 1+1

Результат равен 10 (2) В младшем разряде пишем 0, а 1 переносим во второй разряд. К имеющейся там 1 прибавляем перенесённую:

1+1 = 10, во втором разряде записываем 0, а 1 переносим в следующий старший (третий) разряд и т.д.

Проверку правильности операции можно провести, используя запись числа по формуле:

1*2^5+0*2^4+0*2^3+0*2^2+0*2^1+0*2^0=32(10)

Умножение двоичных чисел производится в соответствии с таблицей 2.

Принцип умножения такой же, как и в десятичной системе счисления.

Пример 2: Получить произведение чисел Х1=10110(2) и Х2=1011(2) в двоичной системе счисления.

Решение: 10110

Х

1011

+ 10110

10110

 

Деление двоичных чисел осуществляется многократным вычитанием делителя из делимого. Деление на произвольное число

Вспомним, как мы делим одно число на другое в десятичной системе исчисления. Я имеется в виду деление столбиком или углом. Точно так же происходит деление в двоичной системе. Вот пример деления двух двоичных чисел:

 

Сначала мы записываем делимое. В данном случае это число 1000001 (в десятичном виде 65). Затем, справа от него, рисуем угол. В верхней части угла записываем делитель. В нашем случае – это 101 (десятичное 5). Затем мы начинаем находить частное по разрядно. В десятичной системе исчисления в данном случае мы подбираем, на какое число от 1 до 9 нужно умножить делитель, для того, что бы результат был бы все же меньше, чем три первые разряда делимого. Если такого числа не находится, то берут первые четыре разряда делимого. В двоичной системе исчисления любой разряд может принимать только два значения – ноль или единица. Поэтому выбор у нас гораздо меньший. Делитель можно умножать только на 1 либо на ноль. При этом в первом случае он останется неизменным, а во втором он будет равен нулю. Нам придется лишь проверять не больше ли делитель, чем число, составляющее первые три разряда делимого. Как видим первые три разряда составляют число 100, что меньше, чем 101. Поэтому берем первые четыре разряда делимого. Число, составляющее первые четыре разряда делимого (1000) естественно больше делителя. Поэтому мы записываем делитель под первыми четырьмя разрядами делимого и вычитаем эти два числа. Получаем разность 11. В первый разряд частного записываем 1.

Находим следующий разряд частного. Для этого сносим следующий разряд делимого (так же, как это делается при делении в десятичной системе). Проверяем – можно ли теперь вычесть из него 101. Число 110 больше, чем 101. Поэтому мы записываем единицу в следующий разряд частного и производим вычитание этих двух чисел. Разность равна 1.

 

Далее ищем третий разряд частного. Сносим еще один ноль с очередного разряда делимого. Но из числа 10 невозможно вычесть 101. 10 меньше, чем 101. Поэтому записываем в очередной разряд частного ноль и сносим последний разряд делимого. Теперь вычитание возможно. Более того, результат вычитания равен нулю. Это означает во первых, что последний разряд частного равен единице, а во вторых то, что число 1000001 поделилось на 101 без остатка. Результат деления равен 1101 (десятичное 13).

 

 

Вспомогательные системы счисления используются для ввода и вывода информации, а также для перехода из одной системы счисления в другую. В качестве вспомогательных систем счисления применяются: десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Исходная числовая информация и результаты решения представляются, как правило, в десятичной системе счисления. Программа часто кодируется в шестнадцатеричной системе счисления, имеющей компактную запись, и, вместе с тем, делающей простой перевод чисел в двоичную систему счисления.

Шестнадцатеричные цифры имеют 16 значений: от 0 до15; они записываются цифрами от 0 до 9, затем идёт буква А(обозначает число 10), буква В (обозначает11), и далее от С до F(со значениями от 12 до 15). Десятичные эквиваленты чисел представлены в таблице 1. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует комбинации четырёх двоичных, т.е. 4 битам (16=2^4). Любую шестнадцатеричную цифру можно записать с помощью двоичной тетрады: 1(16)=0001, 2(16)=0010, 3(16)=0011, …А(16)=1010….. F(16)= 1111

Если для записи программы применяется восьмеричная система, использующая для записи числа цифры от 0 до 7, каждой цифре соответствует 3 бита (8=2^3).

Использование двоичной системы счисления для ЭВМ связано с необходимость перевода вводимых в ЭВМ чисел в двоичную систему счисления и обратного преобразования числовых данных при выводе из ЭВМ. Эти преобразования осуществляются автоматически с использованием специально разработанных методов. Однако если потребуется ручной перевод при отладке программы, то его можно осуществить несколькими путями: для целых чисел, правильных дробей, произвольных чисел

(неправильных дробей).

Для перевода целых чисел и целых частей неправильных дробей используется метод, базирующийся на делении переводимого числа на основание новой системы счисления.

Рассмотрим порядок перевода целых десятичных чисел из одной системы счисления в другую:

1. Разделить данное число на основание новой системы счисления. Остаток от деления даёт младший разряд числа в новой системе счисления;

2. Если частное от деления больше или равно основанию системы счисления, продолжить деление в соответствии с пунктом 1. Второй остаток даёт второй разряд числа и т.д.

3. Такое последовательное деление необходимо продолжать до получения целого частного, которое будет меньше основания системы счисления. Это частное будет старшим разрядом числа в новой системе счисления.

ПРИМЕР 3:

Перевести число 49(10) в двоичную систему счисления.

49:2=24 1 в остатке; эту 1 пишем в младший разряд.

24:2=12 0 в остатке, пишем его во второй разряд.

12:2=6 0 в остатке, пишем его в третий разряд.

6:2=3 0 в остатке, пишем его в четвёртый разряд.

3:2=1 и 1 в остатке, пишем эту единицу в пятый разряд и частное от деления(3:2=1) пишем в шестой, старший разряд.

ОТВЕТ: 49(10)=110001(2)

ПРИМЕР 4: Перевести число 1237(10) в шестнадцатеричную систему.

Решение:

Частное остаток

1237:16= 77 5 остаток 5 запишем в младший разряд;

77:16= 4 13 остаток 13 (в шестнадцатеричной системе счисления это D пишем во второй разряд, а частное 4 (77:16=4) пишем в старший разряд.

ОТВЕТ: 1237(10)=4D5(16)

В последнем примере для перевода числа из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления потребовалось произвести две операции. При переводе этого же числа в двоичную систему счисления потребовалось бы десять операций деления. Поэтому для ускорения перевода используют двухступенчатую схему перевода: 10 16 2.

Зависимость между числами шестнадцатеричной системы счисления и эквивалентными им двоичными тетрадами представлены в таблице 1. Рассмотрим перевод числа этим способом.

ПРИМЕР 5:

Перевести число 4D5(16) в двоичную систему счисления.

РЕШЕНИЕ: записываем каждую шестнадцатеричную цифру двоичными тетрадами, сохраняя при этом последовательность цифр шестнадцатеричного числа.

4D5

0100 1101 0101

ОТВЕТ: 4D5(16)=010011010101(2)

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное необходимо разбить двоичное число на тетрады справа налево. Первую цифру двоичного числа при необходимости дополняют до тетрады нулями.

ПРИМЕР 6: перевести двоичное число 1011101110(2) в шестнадцатеричную систему счисления.

РЕШЕНИЕ: разобьём двоичное число на тетрады:

10 1110 1110 Неполную тетраду 10 дополни до четырёх знаков нулями (получим 0010). Таким образом, получим

0010 1110 1110 четырёхбитовые группы, тетрады. Из таблицы 1 знаем их шестнадцатеричные эквиваленты. Получим 2 Е Е

ОТВЕТ: 1011101110(2)=2ЕЕ(16)

Для перевода правильных дробей из системы счисления с основанием р1 в систему с основанием р2 используется метод, базирующийся на умножении переводимой правильной дроби на основание р2 новой системы счисления.

Рекомендуется следующая последовательность операций:

1. Умножить число на основание новой системы счисления;

2. В полученном произведении выделить целую часть. Она даст старший разряд дробной части нового искомого числа;

3. Дробную часть произведения снова умножить на основание новой системы счисления. Целая часть произведения даст следующий разряд нового числа и т.д.

При переводе правильных дробей точный перевод может потребовать значительного (иногда бесконечного) количества разрядов нового числа. Поэтому в большинстве случаев он осуществляется с определённой, заранее заданной точностью. Для этого в условии задачи указывается необходимое число разрядов нового числа, которое обеспечит точность представления числа в новой системе счисления примерно такую же, как и в исходной. В ЭВМ точность перевода обычно ограничивается длиной разрядной сетки, отведённой для представления чисел.

ПРИМЕР 7: Перевести число Х=0,2(10) в двоичную систему счисления с точностью до четырёх разрядов после запятой.

РЕШЕНИЕ:

Целая часть Старший разряд

0,2*2= 0, 4 0 0

0,4*2= 0,8 0, следующий разряд 0

0,8*2= 1,6 1, следующий разряд 1

0,6*2= 1,2 1, следующий разряд 1

ОТВЕТ: 0,2(10) = 0, 0011(2)

Для перевода неправильных дробей из одной системы в другую систему счисления необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием р2.

ПРИМЕР 8: перевести десятичное число Х=49,2(10) в двоичную систему счисления с точностью до четырёх разрядов после запятой.

Решение: Результаты перевода соответственно целой и дробной частей возьмём из примеров 3 и 7

ОТВЕТ: Х=49,2(10) = 110001,0011(2)

 

В информатике и вычислительной технике разработано множество других методов перевода чисел из одной системы счисления в другую, позволяющих получить результат с меньшими затратами времени на преобразования.