Анализ устойчивости двойственных оценок

В оптимальном решении двойственной задачи значения переменной равны частным производным линейной функции посоответствующим аргументам, т.е.

. (2.5.11)

Теорема о двойственных оценках позволяет определить приращение целевой функции при малых изменениях свободных членов системы ограничений:

,(2.5.12)

где — оптимальное решение двойственной задачи.

Из соотношения (2.5.12) следует, что двойственные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменяется доход от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу. Таким образом, теория двойственности позволяет провести экономический анализ пары двойственных задач, в частности определить дефицитность ресурсов, сырья, продукции. Большей условной оценке соответствует наиболее дефицитный ресурс. Для i-го недефицитного ресурса двойственная оценка =0.

С помощью двойственной оценки можно определить степень влияния изменения ограничений на значение целевой функции.

Таким образом, если получено оптимальное решение задачи линейного программирования, то можно провести анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений , т.е. проанализировать устойчивость оптимального плана относительно изменений свободных членов системы линейных уравнений, оценить степень влияния изменения на значение целевой функции и определить наиболее целесообразный вариант изменений .

Следовательно, интерес представляет определение интервалов устойчивости (неизменности) двойственных оценок по отношению к возможным изменениям запасов ресурсов каждого вида ( + ). При этом условие устойчивости двойственных оценок

задачи исходит из выражения

,

в котором компоненты вектора должны быть неотрицательны . На этом основании для задачи, решение которой приведено в таблице 2.4.3, можно записать такое выражение:

.

Откуда получаем условие устойчивости:

Затем последовательно находим интервалы устойчивости:

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , .

Для корректного решения задачи необходимо ввести еще дополнительные ограничения, вытекающие из экономического содержания решаемой задачи.

Предельные значения (нижняя и верхняя границы) изменения каждого из ресурсов, для которых двойственные оценки остаются неизменными, определяются еще и таким образом:

,

где — величина изменения i-го ресурса;

— величина увеличения i-го ресурса;

— величина уменьшения i-го ресурса;

- компоненты оптимального плана;

- коэффициенты столбцов свободных переменных в оптимальном плане (коэффициенты структурных сдвигов, элементы обратной матрицы к базису оптимального плана).

Если в план включается реализация невыгодного с точки зрения дохода товара, то объем возможной продажи в рамках устойчивости оптимального плана определяется следующим интервалом:

.

Проведем анализ устойчивости двойственных оценок задачи планирования товарооборота (пример 1, таблица 2.4.2).

Первый вид ресурса — время работы продавцов — может изменяться в пределах:

,

.

Таким образом, первый вид ресурса может быть уменьшен на 860 чел.-ч или увеличен на 100 чел.-ч. Интервал изменения равен:

.

Второй ресурс (площадь торговых залов) может меняться в пределах:

,

.

Интервал изменения второго ресурса равен:

[120-10; 120 + 30] = [110; 150].

Третий вид ресурса — площади складских помещений — в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка =0.

В оптимальный план не вошла основная переменная , т.е. третья группа товара не выгодна к продаже. Определим максимально возможный объем продажи третьей группы товара в рамках устойчивости полученных двойственных оценок:

,

.

Таким образом, в продажу можно вводить третью группу товара в количестве до полутора тысяч единиц. Составим субоптимальные варианты плана с учетом изменений исходных данных модели таблицы 2.4.2.

1. Пусть торговое предприятие наняло дополнительных продавцов и рабочее время увеличилось на 50 чел.-ч.

В результате объем продаж второй группы товаров увеличился, а первой группы — уменьшился, недоиспользование складских помещений возросло, доход увеличился.

Базисные переменные	Значения базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов () по	Произведение на =50	Расчёт варианта плана
		6.25	312.5	5687.5
		-2.5	-125
		1.25	62.5	1937.5
		23.75	1187.5	28812.5

 

2. Пусть второй вид ресурса (площадь торговых залов) уменьшился на 5 кв. м.

 

Базисные переменные	Значения базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов () по	Произведение на =-5	Расчёт варианта плана
		-12,5	62,5	5437,5
			-125
		-62,5	312,5	2187,5
		12,5	-62,5	27562,5

 

В результате уменьшения дефицитного ресурса сократился объем продажи первой группы товара, увеличился объем продажи второй группы товара, остаток третьего ресурса увеличился, доход от реализации товара сократился.

 

3. В продажу необходимо включить третью группу товара в количестве =100.

Базисные переменные	Значения базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов () по	Произведение на =100	Расчёт варианта плана
		2,25
		-0,5	-50
		1,25
		5,75

 

Следовательно, включение в реализацию товара третьей группы =100 приведет к уменьшению продажи второй группы товара, увеличению первой группы, сокращению остатка третьего вида ресурса. Доход от реализации товаров уменьшился, так как продажа данной группы не выгодна предприятию. Таким образом, анализ устойчивости двойственных оценок позволяет построить множество вариантов оптимальных решений с учетом изменений исходных условий модели. Если эти изменения выходят за рамки предельных значений, то нарушается полученная система двойственных оценок и возникает необходимость повторного решения задачи в новых условиях. В этом случае представляет интерес использование методов параметрического программирования.

Контрольные вопросы

1. Как составить двойственную задачу?

2. Каковы теоремы двойственности?

3. Как интерпретировать экономический смысл двойственной задачи?

4. Как определить решение двойственной задачи из решения прямой?

5. Какова экономическая интерпретация двойственных оценок?

6. Как определяются интервалы устойчивости двойственных оценок?

Задачи

1. Используя задачи предыдущего раздела 2.4 (№ 1—7), необходимо: к прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линейного программирования; установить сопряженные пары прямой и двойственной задач; согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи; рассчитать интервалы устойчивости двойственных оценок и, используя коэффициенты структурных сдвигов в оптимальной симплексной таблице, выполнить расчеты вариантов для изменившейся

хозяйственной ситуации в соответствии с таблицей.

 

Номер задачи	Коммерческая ситуация
Ввести в продажу к-ую товарную группу	Увеличить объём i –го ресурса	Сократить объём i –го ресурса
	=5	=20	=10
	=90	=200	=300
	=50	=100	=10
	=20	=2	=50
	=60	=300	=100
	=30	=6	=1
	=20	=40	=100