Понятие системы счисления. Виды систем счисления

Арифметические основы ЭВМ. Арифметические операции в позиционных системах счисления.

План.

1. Понятие системы счисления. Виды систем счисления.

a. Двоичная система счисления.

b. Восьмеричная система счисления.

c. Шестнадцатеричная система счисления.

d. Двоично-десятичная система счисления.

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

a. Получение десятичного эквивалента q-ичного числа.

b. Перевод целых чисел.

c. Перевод дробных чисел.

d. Табличный способ перевода.

3. Упражнения для самостоятельной работы.

4. Арифметические действия в двоичной системе счисления.

5. Арифметические действия в восьмеричной системе счисления.

6. Арифметические действия в шестнадцатеричной системе счисления.

7. Упражнения для самостоятельной работы.

Понятие системы счисления. Виды систем счисления.

Система счисления соглашение о представлении чисел посредством конечной совокупности символов, называемой алфавитом.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционной системе счисления величина каждой цифры зависит от ее места положения в числе (например, десятичная система счисления). В непозиционной системе счисления величина каждой цифры фиксирована и не зависит от ее положения в числе. Пример непозиционной системы счисления - римская, в которой числа изображаются буквами латинского алфавита:

I всегда означает 1

V всегда означает 5

X всегда означает 10

L всегда означает 50

C всегда означает 100

D всегда означает 500

M всегда означает 1000

В римской системе счисления значения записанных рядом букв в изображении числа складываются, но если меньшее число стоит в изображении слева от большего, то оно вычитается.

Пример:

MDCLXXVIII=1000+500+100+50+10+10+5+1+1+1=1678

CCXLVII=100+100-10+50+5+1+1=247

MCDXXIX=1000+500-100+10+10+10-1=1429

В непозиционных системах счисления очень сложно выполнять арифметические операции (действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют строгих правил), и в этих системах нельзя выражать отрицательные и дробные числа. Поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления.

Число N_q в системе счисления с основанием q записывается в виде: N_q = a_n-1a_n-2...a₁a₀, a_-1...a_-m, где

a_i – цифры системы счисления

n - число разрядов целой части

m - число разрядов дробной части

В случае, если q=10, основание системы счисление не подписывают.

Пример: 5124₆, 1010₂, AD20₁₆, 507₈.

В позиционной системе счисления с основанием q любое положительное число N_q может быть представлено в виде суммы степеней основания q с соответствующими коэффициентами а_i:

N_q = a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 +... +a₁q + a₀ + a_-1q^-1 +... + a_-mq^-m = (*)

где а_i = 0, 1, 2,..., q-1.

Запись (*) еще называют систематической записью числа в системе счисления с основанием q.

Так в привычной нам десятичной системе счисления:

567,89₁₀=5·100+6·10+7+0,8+0,09=5·10²+6·10¹+7·10⁰+8·10^-1+9·10^-2

1101,101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1+0·2^-2+1·2^-3

В вычислительной технике обычно используются системы счисления: двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная; двоично-десятичная.

Двоичная система счисления.

Любая информация в современных ЭВМ представляется последовательностью 0 и 1 (бит). Это обусловлено тем, что большинство элементов, из которых состоит ЭВМ, по своей физической природе могут находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний: “Включено”, “Выключено”. Такие элементы принято называть двухпозиционными. С помощью двухпозиционных элементов легко изображаются разряды двоичного числа. Одно из устойчивых состояний соответствует цифре 0, а другое - цифре 1.

В этом отношении двоичная система счисления имеет преимущества перед остальными системами и поэтому оказывается очень удобной для применения в ЭВМ. В двоичной системе счисления легко реализуются арифметические операции, что дает возможность значительно упростить конструкции вычислительных устройств по сравнению с устройствами, работающими в других системах.

Кроме того, двоичная система счисления по плотности представления информации является одной из наиболее близких к оптимальной.

В двоичной системе счисления основание системы равно 2 и для представления чисел используются только два символа (2 цифры): 0 и 1. Любое число N в двоичной системе счисления представляется в виде суммы степеней основания 2 с соответствующими коэффициентами:

N = a_n-12^n-1+a_n-22^n-2+...+a₁2¹+a₀+a_-12^-1+...+a_-m2^-m= где a_i = 0; 1.

Затем с помощью этих коэффициентов число записывается в сокращенной форме.

Например, десятичное число 23,625 можно представить в виде суммы: 23,625 = 1^.2⁴+0^.2³+1^.2²+1^.2¹+1^.2⁰+1^.2^-1+0^.2^-2+1^.2^-3.

Отсюда может быть получена его запись в двоичной системе счисления: 23,625₍₁₀₎ = 10111,101₍₂₎.

При разложении числа используют таблицу степеней основания, отсюда этот способ перевода чисел получил название табличный.

Поскольку двоичная система широко используется, полезно знать степени числа 2:

20=1 21=2 22=4 23=8

24=16 25=32 26=64 27=128

28=256 29=512 210=1024

Восьмеричная система счисления

Для ускорения процесса перевода чисел бывает удобнее воспользоваться восьмеричной системой счисления, в которой число представляется в виде суммы степеней основания восемь:

N = b_n-18^n-1+...+b₂8²+b₁8¹+b₀+b_-18^-1+...+b_-m8^-m= где b_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Шестнадцатеричная система счисления

В ЭВМ в качестве единицы информации или объема памяти используют не бит, а байт, содержащий 8 двоичных разрядов. Один полубайт соответствует одному разряду шестнадцатеричного числа 2⁴ = 16. Поэтому для более компактного отображения двоичного числа удобнее представлять его в шестнадцатеричной системе счисления, в которой используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Каждой цифре шестнадцатеричного числа ставят в соответствие его двоичный эквивалент - тетраду.

Иногда полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления и десятичной системе счисления (таблица)

Эквиваленты в системах счисления
10 СС	2 СС	8 СС	16 СС
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Двоично-десятичная система счисления

Входная информация в ЭВМ обычно представляется в десятичной системе счисления, а затем по специальным программам переводится в двоичную. Однако для того чтобы можно было обрабатывать десятичные числа в машине, их необходимо представить в форме, удобной для машины. С этой целью производится кодирование каждой десятичной цифры с помощью двоичных элементов.

Двоично-десятичное представление является наиболее простым представлением, где каждая десятичная цифра, представляется своим четырех -разрядным двоичным эквивалентом - “тетрадой”.

Десятичные цифры от 0 до 9 кодируются тетрадами от 0000 до 1001, тетрады 1010-1111 запрещены, т.к. используются для представления десятичных чисел больших девяти. При обратном преобразовании каждая двоичная тетрада интерпретируется как десятичная цифра.

Пример: представим десятичное число 3759 в двоично-десятичной форме

3759₁₀=0011 0111 0101 1001=11011101011001_2-10

Пример: представим двоично-десятичное число 1000010110010011 в десятичной форме

1000010110010011_2-10=1000 0101 1001 0011=8593₁₀

Пример: 237,82₍₁₀₎ = 1000110111,1000001_(2-10).