Платежная матрица в игре с природой
Множество стратегий (решений) статистика обозначим через 
, отдельное решение - 
.
Природа обладает множествомсостояний (стратегий) 
, под каждым из которых понимается полная совокупность внешних условий, в которых статистику приходится выбирать свою стратегию.
Из прежнего опыта статистику обычно известны возможные состояния природы и вероятности 
, с которыми природа реализует их (априорные вероятности). Статистик может уточнить свои знания о состояниях природы и вероятностях их реализации, проводя эксперименты – такие вероятности называются апостериорными (послеопытные).
Если статистик имеет возможность численно оценить величиной 
последствия применения каждой своей чистой стратегии 
при любом состоянии природы 
, то статистическую игру можно задать платежной матрицей 
(табл. 1).
Элемент называется выигрышем статистика, применяющего стратегию при состоянии природы . Действуя против природы, статистик может пользоваться как чистыми стратегиями , так и смешанными стратегиями 
.
Таблица 1 – Платежная матрица статистической игры
| Стратегии игрока
| 
| ... | 
| Вероятности 
стратегии
|
| 
| ... | 
| 
|
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 
| ... |
| 
|
| Максимально возможный выигрыш статистика при состоянии природы
| 
| ... | 
|
Процесс решения статистической игры отличается от решения обычной матричной игры, где оба игрока ведут игру сознательно. Отличие состоит, прежде всего, в упрощении игры: выявление дублирующих и доминируемых стратегий производится только для стратегий статистика . Отбрасывать те или иные состояния природы (стратегии игрока П) нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгодно оно статистику или нет. Природа может реализовать состояния, заведомо выгодные статистику, и, более того, не имеет умысла навредить статистику.
Понятие риска статистика
Если природа реализует состояние , о котором статистику заранее неизвестно, то его реальные выигрыши при применении каждой стратегии 
составят соответственно 
(элементы 
-го столбца платежной матрицы).
Величина 
- максимально возможный выигрыш игрока при применении стратегии и состоянии природы . Величина 
- это наибольший элемент -го столбца платежной матрицы.
· Риском 
статистика, применяющего стратегию в условиях состояния природы , называется число, равно разности между максимально возможным выигрышем при состоянии природы и реальным выигрышем : 
. (1)
Таким образом, риск игрока есть упущенная возможность максимального выигрыша при определенном состоянии природы.
Пример 1. Известна платежная матрица статистической игры: 
. Составить матрицу рисков.
Решение
Найдем наибольший элемент в каждом столбце платежной матрицы:
; 
; 
.
Вычислим риски статистика 
для элементов каждого столбца.
, 
.
, 
.
, 
.
Процесс нахождения рисков представим в виде преобразования таблиц.
Таблица 3 – Платежная матрица Таблица 4 – Матрица рисков
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
| |
|
| -1 |
| 3-2=1 | 4-(-1)=5 | 3-0=3 | |||
|
| 3-3=0 | 4 - 4=0 | 3-3=0 | ||||
|
Анализируя матрицу рисков, заметим, что:
1) при состоянии природы статистик будет более всего рисковать, применяя стратегию 
, т.к. элемент риск =3 - наибольший в первом столбце;
2) при состоянии природы статистик будет более всего рисковать, применяя стратегию , т.к. элемент 5 наибольший во втором столбце;
3) больший риск статистик будет иметь, если при состоянии природы будет применять стратегию , т.к. элемент 5 наибольший в третьем столбце.
