Интегрирование степенных рядов

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

 

 

Дифференцирование степенных рядов.

 

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

 

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

 

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

 

Коэффициенты с_i находятся по формуле:

 

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов q_n рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

 

 

Разложение функций в степенные ряды.

 

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора.)

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

 

Пример. Разложить в ряд функцию .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

 

1 1 - x

1 – x 1 + x + x² + x³ + …

x

x – x²

x²

x² – x³

x³

……….

 

 

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

……………………………….

Итого, получаем:

 

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

 

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

 

Пример. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

 

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

 

Тогда получаем:

Окончательно получим:

 

 

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

1 1 + x²

1 + x² 1 – x² + x⁴- …

- x²

- x² – x⁴

x⁴

x⁴ + x⁶

………….

 

Тогда

Окончательно получаем: