Стандартная модель физики частиц

 

На рис. 11.1 мы перечислили все известные частицы. Это строительные кирпичики Вселенной, по крайней мере такова точка зрения на момент написания этой книги, но мы ожидаем обнаружить еще несколько – возможно, мы увидим бозон Хиггса или новую частицу, связанную с существующей в большом количестве загадочной темной материей, которая, вероятно, необходима для описания всей Вселенной. Или, возможно, нас ожидают суперсимметричные частицы, предсказанные теорией струн, или возбуждения Калуцы – Клейна, характерные для дополнительных измерений пространства, или техникварки, или лептокварки, или… теоретических рассуждений множество, и обязанность тех, кто проводит эксперименты на БАК, в том, чтобы сузить поле поиска, исключить неверные теории и указать путь вперед.

 

Рис. 11.1. Частицы природы

 

Все, что можно увидеть и потрогать; любая неодушевленная машина, любое живое существо, любая скала, любой человек на планете Земля, любая планета и любая звезда в каждой из 350 миллиардов галактик в наблюдаемой Вселенной состоит из частиц из первого столбца. Вы сами состоите из сочетания всего трех частиц – верхнего и нижнего кварков и электрона. Кварки составляют атомное ядро, а электроны, как мы уже видели, отвечают за химические процессы. Оставшаяся частица из первого столбца – нейтрино – возможно, знакома вам меньше, но Солнце пронзает каждый квадратный сантиметр вашего тела 60 миллиардами таких частиц ежесекундно. Они в основном без задержки проходят через вас и всю Землю – потому‑то вы никогда их не замечали и не ощущали их присутствия. Но они, как мы вскоре увидим, играют ключевую роль в процессах, которые дают энергию Солнца, а следовательно, делают возможной саму нашу жизнь.

Эти четыре частицы образуют так называемое первое поколение материи – вместе с четырьмя фундаментальными природными взаимодействиями это все, что, судя по всему, нужно для создания Вселенной. Однако по причинам, которые пока до конца не понятны, природа предпочла снабдить нас еще двумя поколениями – клонами первого, только эти частицы более массивны. Они представлены во втором и третьем столбцах рис. 11.1. Топ‑кварк в особенности превосходит массой другие фундаментальные частицы. Он был открыт на ускорителе в Национальной ускорительной лаборатории им. Энрико Ферми под Чикаго в 1995 году, и его масса, согласно измерениям, более чем в 180 раз превосходит массу протона. Почему топ‑кварк оказался таким монстром, притом что он столь же похож на точку, как и электрон, пока загадка. Хотя все эти дополнительные поколения материи не играют непосредственной роли в обычных делах Вселенной, они, вероятно, были ключевыми игроками сразу после Большого взрыва… Но это совсем другая история.

На рис. 11.1 в правом столбце показаны также частицы‑переносчики взаимодействия. Гравитация в таблице не представлена. Попытка перенести вычисления Стандартной модели на теорию гравитации наталкиваются на определенные сложности. Отсутствие в квантовой теории гравитации некоторых важных свойств, характерных для Стандартной модели, не позволяет применять там те же методы. Мы не утверждаем, что ее не существует вовсе; теория струн – это попытка принять гравитацию во внимание, но пока успехи этой попытки ограничены. Так как гравитация очень слаба, она не играет значительной роли в экспериментах по физике частиц, и по этой весьма прагматической причине мы не будем больше о ней говорить. В прошлой главе мы установили, что фотон служит посредником в распространении электромагнитного взаимодействия между электрически заряженными частицами, и такое поведение определяется новым правилом рассеяния. Частицы W и Z делают то же самое для слабого взаимодействия, а глюоны переносят сильное взаимодействие. Основные различия между квантовыми описаниями сил связаны с тем, что правила рассеяния различны. Да, все (почти) так просто, и некоторые новые правила рассеяния мы привели на рис. 11.2. Сходство с квантовой электродинамикой позволяет легко понять функционирование сильного и слабого взаимодействий; нам нужно только понимать, каковы правила рассеяния для них, после чего можно начертить такие же диаграммы Фейнмана, которые мы приводили для квантовой электродинамики в прошлой главе. К счастью, изменение правил рассеяния – это очень важно для физического мира.

 

Рис. 11.2. Некоторые правила рассеяния для сильного и слабого взаимодействий

 

Если бы мы писали учебник по квантовой физике, можно было бы перейти к выводу правил рассеяния для каждого из показанных на рис. 11.2 процессов, а также для многих других. Эти правила известны как правила Фейнмана, и они впоследствии помогли бы вам – или компьютерной программе – рассчитать вероятность того или иного процесса, как мы делали это в главе о квантовой электродинамике.

Эти правила отражают нечто очень важное о нашем мире, и очень удачно, что их можно свести к набору простых картинок и положений. Но мы вообще‑то не пишем учебник по квантовой физике, так что вместо этого сосредоточимся на диаграмме справа вверху: это правило рассеяния, особенно важное для жизни на Земле. Оно показывает, как верхний кварк переходит в нижний, испуская W ‑частицу, и это поведение приводит к грандиозным результатам в ядре Солнца.

Солнце – это газообразное море протонов, нейтронов, электронов и фотонов объемом в миллион земных шаров. Это море коллапсирует под собственной силой тяжести. Сжатие невероятной силы разогревает солнечное ядро до 15 000 000 ℃, и при такой температуре протоны начинают сливаться, формируя ядра гелия. При этом высвобождается энергия, которая увеличивает давление на внешние уровни звезды, уравновешивая внутреннюю силу тяжести.

Подробнее мы рассмотрим это расстояние шаткого равновесия в эпилоге, а сейчас просто хотим понять, что значит «протоны начинают сливаться друг с другом». Кажется, что все довольно просто, но точный механизм такого слияния в солнечном ядре был источником постоянных научных споров в 1920–1930‑е годы. Британский ученый Артур Эддингтон первым предположил, что источник энергии Солнца – ядерный синтез, но быстро обнаружилось, что температура вроде бы слишком мала для запуска этого процесса в соответствии с известными на тот момент законами физики. Однако Эддингтон придерживался своего мнения. Хорошо известно его замечание: «Гелий, с которым мы имеем дело, должен был образоваться в какое‑то время в каком‑то месте. Мы не спорим с критиком, заявляющим, что звезды недостаточно горячи для этого процесса; мы предлагаем ему найти место пожарче».

Проблема состоит в том, что, когда два быстро движущихся протона в солнечном ядре сближаются, в результате электромагнитного взаимодействия (или, на языке квантовой электродинамики, в результате обмена фотонами) они отталкиваются. Для слияния им нужно сойтись едва ли не до полного перекрытия, а солнечные протоны, как хорошо было известно Эддингтону и его коллегам, двигаются недостаточно быстро (потому что Солнце недостаточно горячо) для преодоления взаимного электромагнитного отталкивания. Ребус разрешается так: на авансцену выходит W ‑частица и спасает ситуацию. При столкновении один из протонов может превратиться в нейтрон, обратив один из своих верхних кварков в нижний, как указано на иллюстрации к правилу рассеяния на рис. 11.2. Теперь новообразованный нейтрон и оставшийся протон могут сойтись очень близко, поскольку нейтрон не несет никакого электрического заряда. На языке квантовой теории поля это значит, что обмена фотонами, при котором нейтрон и протон отталкивались бы друг от друга, не происходит. Освободившись от электромагнитного отталкивания, протон и нейтрон могут слиться вместе (в результате сильного взаимодействия), образуя дейтрон, что быстро приводит к образованию гелия, которое высвобождает энергию, дающую жизнь звезде. Этот процесс показан на рис. 11.3 и отражает тот факт, что W ‑частица живет недолго, распадаясь на позитрон и нейтрино, – это и есть источник тех самых нейтрино, которые в таких количествах пролетают через ваше тело. Воинственная защита Эддингтоном синтеза как источника солнечной энергии была справедливой, хотя у него не было ни тени готового решения. W ‑частица, объясняющая то, что происходит, была открыта в ЦЕРН вместе с Z‑ частицей в 1980‑е годы.

.

Рис. 11.3. Превращение протона в нейтрон в рамках слабого взаимодействия с испусканием позитрона и нейтрино. Без этого процесса Солнце не могло бы светить

 

В завершение краткого обзора Стандартной модели обратимся к сильному взаимодействию. Правила рассеивания таковы, что только кварки могут переходить в глюоны. Более того, они с большей вероятностью сделают именно это, чем что‑либо еще. Предрасположенность к испусканию глюонов – именно та причина, по которой сильное взаимодействие получило свое название и по которой рассеяние глюонов способно преодолеть электромагнитную силу отталкивания, которая могла бы привести положительно заряженный протон к разрушению. К счастью, сильное ядерное взаимодействие распространяется лишь на небольшое расстояние. Глюоны покрывают расстояние не более 1 фемтометра (10–15 м) и вновь распадаются. Причина, по которой влияние глюонов настолько ограничено, особенно по сравнению с фотонами, способными путешествовать через всю Вселенную, состоит в том, что глюоны могут превращаться и в другие глюоны, как показано на двух последних диаграммах рис. 11.2. Эта уловка со стороны глюонов существенно отличает сильное взаимодействие от электромагнитного и ограничивает поле его деятельности содержимым атомного ядра. У фотонов подобного самоперехода нет, и это хорошо, потому что иначе вы бы не видели, что происходит у вас перед носом, потому что фотоны, летящие к вам, отталкивались бы от тех, которые двигаются вдоль вашей линии зрения. То, что мы вообще можем видеть, – одно из чудес природы, которое к тому же служит ярким напоминанием, что фотоны вообще редко взаимодействуют.

Мы не объяснили ни откуда берутся все эти новые правила, ни почему Вселенная содержит именно такой набор частиц. И на то есть свои причины: на самом деле мы не знаем ответа ни на один из этих вопросов. Частицы, из которых состоит наша Вселенная – электроны, нейтрино и кварки, – это актеры, исполняющие главные роли в разворачивающейся на наших глазах космической драме, но пока у нас нет убедительных способов объяснения, почему состав актеров должен быть именно таков.

Однако верно, что, имея список частиц, мы можем частично предсказать способ их взаимодействия друг с другом, предписываемый правилами рассеяния. Правила рассеяния физики взяли не из воздуха: во всех случаях они предсказываются на том основании, что теория, описывающая взаимодействия частиц, должна быть квантовой теорией поля с неким дополнением, получившим название калибровочной инвариантности[50].

Обсуждение происхождения правил рассеяния завело бы нас слишком далеко от основного направления книги – но мы все же хотим повторить, что основные законы очень просты: Вселенная состоит из частиц, которые двигаются и взаимодействуют в соответствии с рядом правил перехода и рассеяния. Мы можем пользоваться этими правилами при вычислении вероятности того, что «нечто» происходит, складывая ряды циферблатов, причем каждый циферблат соответствует каждому способу, которым «нечто» может произойти.

 

Происхождение массы

 

Заявляя, что частицы могут как перескакивать из точки в точку, так и рассеиваться, мы вступаем в область квантовой теории поля. Переход и рассеивание – это практически все, чем она занимается. Однако мы пока почти не упоминали массу, потому что решили оставить самое интересное напоследок.

Современная физика частиц призвана дать ответ на вопрос о происхождении массы и дает его с помощью прекрасного и удивительного раздела физики, связанного с новой частицей. Причем новая она не только в том смысле, что мы еще не встречали ее на страницах этой книги, но и потому, что на самом деле никто на Земле еще не встречался с ней «лицом к лицу». Эта частица называется бозоном Хиггса, и БАК уже близок к ее обнаружению. К сентябрю 2011 года, когда мы пишем эту книгу, на БАК наблюдался любопытный объект, подобный бозону Хиггса, но пока произошло недостаточно событий[51], чтобы решить, он это или нет. Возможно, это были лишь интересные сигналы, которые при дальнейшем рассмотрении исчезли. Вопрос о происхождении массы особенно замечателен тем, что ответ на него ценен и помимо нашего очевидного желания узнать, что такое масса. Попытаемся объяснить это довольно загадочное и странным образом сконструированное предложение более подробно.

Когда мы говорили о фотонах и электронах в квантовой электродинамике, ввели правило перехода для каждого из них и отметили, что эти правила отличаются: для связанного с переходом электрона из точки А в точку В мы использовали символ P(A, B), а для соответствующего правила, связанного с фотоном, – символ L(A, B). Настало время рассмотреть, насколько сильно отличаются правила в этих двух случаях. Разница состоит, например, в том, что электроны делятся на два типа (как мы знаем, они «крутятся» одним из двух различных способов), а фотоны – на три, но это различие нас сейчас интересовать не будет. Мы обратим внимание на другое: электрон обладает массой, а фотон – нет. Именно это мы и будем исследовать.

На рис. 11.4 показан один из вариантов, как мы можем представить распространение частицы, обладающей массой. Частица на рисунке перескакивает из точки А в точку В за несколько стадий. Она переходит из точки А в точку 1, из точки 1 в точку 2 и так далее, пока, наконец, не попадает из точки 6 в точку В. Интересно, однако, что в таком виде правило для каждого скачка – это правило для частицы с нулевой массой, но с одной важной оговоркой: каждый раз, когда частица меняет направление, мы должны применить новое правило уменьшения циферблата, причем величина уменьшения обратно пропорциональна массе описываемой частицы. Это значит, что при каждом переводе часов циферблаты, связанные с тяжелыми частицами, уменьшаются менее резко, чем циферблаты, связанные с более легкими частицами. Важно подчеркнуть, что это правило системное.

 

Рис. 11.4. Массивная частица, движущаяся из точки А в точку В

 

И зигзагообразное движение, и уменьшение циферблата непосредственно вытекают из правил Фейнмана для распространения массивной частицы без каких‑то других предположений[52]. На рис. 11.4 показан лишь один способ попадания частицы из точки А в точку В – после шести поворотов и шести уменьшений. Чтобы получить итоговый циферблат, связанный с массивной частицей, переходящей из точки А в точку В, мы, как всегда, должны сложить бесконечное количество циферблатов, связанных со всеми возможными способами, которыми частица может проделать свой зигзагообразный путь из точки А в точку В. Самый простой способ – прямой путь без всяких поворотов, но придется принять во внимание и маршруты с огромным количеством поворотов.

Для частиц с нулевой массой уменьшающий коэффициент, связанный с каждым поворотом, просто убийственен, потому что бесконечен. Иными словами, после первого же поворота мы уменьшаем циферблат до нуля. Таким образом, для частиц без массы имеет значение только прямой маршрут – другим траекториям просто не соответствует никакой циферблат. Именно этого мы и ожидали: для частиц без массы мы можем использовать правило скачка. Однако для частиц с ненулевой массой повороты разрешены, хотя если частица очень легкая, то коэффициент уменьшения налагает суровое вето на траектории со многими поворотами.

Таким образом, наиболее вероятные маршруты содержат мало поворотов. И наоборот, тяжелым частицам не грозит слишком большой уменьшающий коэффициент при повороте, так что они чаще описываются маршрутами с зигзагообразным движением. Поэтому можно считать, что тяжелые частицы можно считать частицами без массы, которые двигаются из точки А в точку В зигзагообразно. Количество зигзагов – это и есть то, что мы называем «массой».

Все это замечательно, потому что теперь у нас появился новый способ представления массивных частиц. На рис. 11.5 показано распространение трех разных частиц с возрастающей массой из точки А в точку В. Во всех случаях правило, связанное с каждым «зигзагом» их пути, совпадает с правилом для частицы без массы, и за каждый поворот приходится расплачиваться уменьшением циферблата. Но не следует слишком радоваться: пока мы еще не объяснили ничего фундаментального. Все, что пока удалось сделать, – это заменить слово «масса» словами «стремление к зигзагам». Это можно было сделать, потому что оба варианта – математически эквивалентные описания распространения массивной частицы. Но даже при таких ограничениях наши выводы кажутся интересными, а сейчас мы узнаём, что это, оказывается, не просто математический курьез.

 

Рис. 11.5. Частицы с возрастающей массой движутся из точки А в точку В. Чем более массивна частица, тем больше зигзагов в ее движении

 

Перенесемся в царство умозрительного – хотя к тому моменту, когда вы будете читать эту книгу, теория может уже и получить свое подтверждение.

В настоящий момент на БАК совершаются столкновения протонов общей энергией в 7 ТэВ. ТэВ – это тераэлектронвольты, что соответствует энергии, которую имел бы электрон, пропущенный через разность потенциалов в 7 000 000 миллионов вольт. Для сравнения отметим, что примерно такова энергия, которую субатомные частицы имели через триллионную долю секунды после Большого взрыва, и этой энергии достаточно, чтобы создать прямо из воздуха массу, эквивалентную массе 7000 протонов (в соответствии с формулой Эйнштейна E = mc ²). И это лишь половина расчетной энергии: при необходимости БАК может включить и более высокие обороты.

Одна из основных причин, по которым 85 стран всего мира соединили силы, создали этот гигантский дерзкий эксперимент и управляют им, – стремление найти механизм, отвечающий за создание массы фундаментальных частиц. Наиболее распространенная идея происхождения массы состоит в ее связи с зигзагами и устанавливает новую фундаментальную частицу, на которую «наталкиваются» другие частицы в своем движении по Вселенной. Эта частица – бозон Хиггса. В соответствии со Стандартной моделью, без бозона Хиггса фундаментальные частицы перескакивали бы с места на место без всяких зигзагов, и Вселенная была бы совсем иной. Но если мы заполним пустое место частицами Хиггса, они смогут отклонять частицы, заставляя их совершать зигзаги, что, как мы уже установили, ведет к появлению «массы». Примерно так, как вы идете через переполненный бар: вас толкают то слева, то справа, и вы практически зигзагами пробираетесь к стойке.

Механизм Хиггса получил свое имя в честь эдинбургского теоретика Питера Хиггса; это понятие было введено в физику частиц в 1964 году. Идея, очевидно, носилась в воздухе, потому что ее высказали в одно и то же время сразу несколько человек: во‑первых, конечно, сам Хиггс, а также Роберт Браут и Франсуа Энглер, работавшие в Брюсселе, и лондонцы Джеральд Гуральник, Карл Хейган и Том Киббл. Их работы, в свою очередь, основывались на более ранних трудах многих предшественников, в том числе Вернера Гейзенберга, Ёитиро Намбу, Джеффри Голдстоуна, Филипа Андерсона и Стивена Вайнберга. Полное осмысление этой идеи, за которое в 1979 году Шелдон Глэшоу, Абдус Салам и Вайнберг получили Нобелевскую премию, – это и есть не что иное, как Стандартная модель физики частиц. Сама идея довольно проста: пустое место на самом деле не пусто, что и приводит к зигзагообразному движению и появлению массы. Но нам, очевидно, нужно еще многое объяснить. Как же оказалось, что пустое место вдруг стало набито частицами Хиггса, – разве мы не заметили бы этого раньше? И как это странное состояние вещей вообще возникло? Предложение действительно кажется довольно экстравагантным. Кроме того, мы не объяснили, почему у некоторых частиц (например, у фотонов) нет массы, а другие (W ‑бозоны и топ‑кварки) обладают массой, сопоставимой с массой атома серебра или золота.

На второй вопрос ответить легче, чем на первый, по крайней мере на первый взгляд. Частицы взаимодействуют друг с другом только по правилу рассеивания; не отличаются в этом отношении и частицы Хиггса. Правило рассеивания для топ‑кварка подразумевает вероятность его слияния с частицей Хиггса, и соответствующее уменьшение циферблата (помните, что при всех правилах рассеивания действует уменьшающий коэффициент) будет гораздо менее значительным, чем в случае с более легкими кварками. Вот «почему» топ‑кварк настолько массивнее, чем верхний кварк. Однако это, разумеется, не объясняет, почему правило рассеивания именно таково. В современной науке ответ на этот вопрос обескураживает: «Потому что». Этот вопрос сродни другим: «Почему поколений частиц именно три?» и «Почему сила притяжения так слаба?» Точно так же для фотонов нет правила рассеивания, которое давало бы им возможность составить пару с частицами Хиггса, в результате они с ними и не взаимодействуют. Это, в свою очередь, приводит к тому, что они не движутся зигзагами и не имеют массы. Хотя мы, можно сказать, сняли с себя ответственность, все же это хоть какое‑то объяснение. И уж определенно можно сказать, что если БАК поможет обнаружить бозоны Хиггса и подтвердить, что они действительно образуют пары с другими частицами подобным образом, то мы можем с уверенностью заявить, что нашли возможность удивительным образом подсмотреть за тем, как работает природа.

На первый же из наших вопросов найти ответ несколько труднее. Напомним, мы интересовались: как вышло, что пустое пространство оказалось заполнено частицами Хиггса? Для разогрева скажем следующее: квантовая физика утверждает, что нет такого понятия, как пустое пространство. То, что мы так называем, – это кипучий водоворот субатомных частиц, от которых никак нельзя отделаться. Осознав это, мы уже гораздо проще отнесемся к тому, что пустое пространство может быть полно частиц Хиггса. Но обо всем по порядку.

Представьте себе маленький кусочек межзвездного пространства – одинокий уголок Вселенной в миллионах световых лет от ближайшей галактики. Со временем оказывается, что частицы постоянно возникают там ниоткуда и исчезают в никуда. Почему? Дело в том, что правила разрешают процесс создания и аннигиляции античастицы‑частицы. Пример можно найти на нижней диаграмме рис. 10.5: представьте, что на нем нет ничего, кроме электронной петли. Теперь диаграмма соответствует внезапному возникновению и последующему исчезновению электрон‑позитронной пары. Так как чертеж петли не нарушает никаких правил квантовой электродинамики, мы должны признать, что это реальная возможность: помните, все, что может случиться, случается. Эта конкретная возможность – всего один из бесконечного множества вариантов бурной жизни пустого пространства, и, поскольку мы живем в квантовой Вселенной, правильно будет суммировать все эти вероятности. Иными словами, структура вакуума невероятно богата и состоит из всех возможных способов появления и исчезновения частиц.

В последнем абзаце мы упомянули, что вакуум не так уж пуст, но картина его существования выглядит довольно демократичной: все элементарные частицы играют свои роли. Что же так отличает именно бозон Хиггса? Если бы вакуум был всего лишь кипучей питательной средой для рождения и аннигиляции пар антиматерия‑материя, то все элементарные частицы продолжали бы обладать нулевой массой: сами по себе квантовые петли массу не порождают[53]. Нет, нужно населить вакуум чем‑то иным, и здесь в игру вступает целый вагон частиц Хиггса. Питер Хиггс просто сделал предположение, что пустое пространство полно некими частицами[54], не чувствуя себя обязанным пускаться в глубокие пояснения, почему это так. Частицы Хиггса в вакууме создают зигзаговый механизм, а также постоянно, без отдыха взаимодействуют с каждой массивной частицей во Вселенной, избирательно замедляя их движение и создавая массу. Общий результат взаимодействий между обычной материей и вакуумом, наполненным частицами Хиггса, состоит в том, что мир из бесформенного становится разнообразным и великолепным, населенным звездами, галактиками и людьми.

Конечно, возникает новый вопрос: откуда бозоны Хиггса вообще взялись? Ответ пока неизвестен, но считается, что это остатки так называемого фазового перехода, который произошел вскоре после Большого взрыва. Если достаточно долго смотреть на оконное стекло зимним вечером, когда становится холоднее, вы увидите, как из водяного пара ночного воздуха, словно по волшебству, возникает структурированное совершенство ледяных кристаллов. Переход от водяного пара ко льду на холодном стекле – это и есть фазовый переход, поскольку молекулы воды переформируются в ледяные кристаллы; это спонтанное нарушение симметрии бесформенного облака пара вследствие понижения температуры. Ледяные кристаллы формируются, потому что это энергетически благоприятно. Как мяч катится с горы, чтобы внизу прийти к более низкому энергетическому состоянию, как электроны перестраиваются вокруг атомных ядер, формируя связи, удерживающие молекулы вместе, так и точеная красота снежинки – это конфигурация молекул воды с более низкой энергией, чем бесформенное облако пара.

Мы полагаем, что нечто подобное произошло и в начале истории Вселенной. Новорожденная Вселенная представляла собой изначально горячие частицы газа, затем расширилась и охладилась, и выяснилось, что вакуум без бозонов Хиггса оказался энергетически неблагоприятным, и естественным стало состояние вакуума, полного частиц Хиггса. Этот процесс, по сути, схож с конденсацией воды в капли или льдинки на холодном стекле. Спонтанное образование капелек воды при их конденсации на холодном стекле создает впечатление, что они попросту образовались «ниоткуда». Так и в случае с бозонами Хиггса: на горячих стадиях сразу после Большого взрыва вакуум кипел мимолетными квантовыми флуктуациями (представленными петлями на наших диаграммах Фейнмана): частицы и античастицы возникали из ниоткуда и снова исчезали в никуда. Однако затем, когда Вселенная остыла, произошло нечто радикальное: внезапно, из ниоткуда, как капля воды появляется на стекле, возник «конденсат» частиц Хиггса, которые сначала удерживались вместе благодаря взаимодействию, объединенные в недолговечную взвесь, через которую распространялись другие частицы.

Представление о том, что вакуум заполнен материалом, предполагает, что мы, как и все остальное во Вселенной, живем внутри гигантского конденсата, который возник при остывании Вселенной, как возникает на рассвете утренняя роса. Чтобы мы не думали, что вакуум обрел содержание лишь в результате конденсации бозонов Хиггса, укажем, что в вакууме есть не только они. По мере дальнейшего охлаждения Вселенной кварки и глюоны тоже конденсировались, и получились, что неудивительно, кварковые и глюонные конденсаты. Существование этих двух хорошо установлено экспериментально, и они играют очень важную роль в нашем понимании сильного ядерного взаимодействия. На самом деле именно благодаря этой конденсации появилась большая часть массы протонов и нейтронов. Вакуум Хиггса, таким образом, в конечном счете создал наблюдаемые нами массы элементарных частиц – кварков, электронов, тау‑, W – и Z ‑частиц. Кварковый конденсат включается в дело, когда нужно объяснить, что происходит, если множество кварков объединяется в протон или нейтрон. Интересно, что хотя механизм Хиггса имеет относительно немного значения для объяснения массы протонов, нейтронов и тяжелых атомных ядер, то для объяснения масс W – и Z ‑частиц он очень важен. Для них кварковые и глюонные конденсаты в отсутствие частицы Хиггса создали бы массу примерно 1 ГэВ, но экспериментально полученные массы этих частиц примерно в 100 раз выше. БАК был предназначен для работы в энергетической зоне W – и Z ‑частиц, чтобы выяснить, какой механизм отвечает за их сравнительно большую массу. Что это за механизм – долгожданный бозон Хиггса или что‑то такое, о чем никто и подумать не мог, – покажут только время и столкновения частиц.

Разбавим рассуждения некоторыми удивительными цифрами: энергия, заключенная в 1 м3 пустого пространства в результате конденсации кварков и глюонов, равняется невероятным 1035 джоулям, а энергия в результате конденсации частиц Хиггса еще в 100 раз больше. Вместе они равняются тому количеству энергии, которое наше Солнце производит за 1000 лет. Точнее говоря, это «отрицательная» энергия, потому что вакуум находится в более низком энергетическом состоянии, чем Вселенная, которая не содержит никаких частиц. Отрицательная энергия – это энергия связи, сопровождающая образование конденсатов и сама по себе ни в коей мере не загадочная. Она не более удивительна, чем тот факт, что для кипячения воды (и обращения фазового перехода из пара в жидкость) нужно приложить энергию.

Но загадка все же есть: такая высокая отрицательная энергетическая плотность каждого квадратного метра пустого пространства должна бы вообще‑то принести во Вселенную такое опустошение, что не появились бы ни звезды, ни люди. Вселенная буквально разлетелась бы на части через мгновения после Большого взрыва. Вот что произошло бы, если бы мы взяли из физики частиц предсказания о вакуумной конденсации и непосредственно добавили их в гравитационные уравнения Эйнштейна, применив для всей Вселенной. Этот малоприятный ребус известен как проблема космологической константы[55]. Собственно, это одна из центральных проблем фундаментальной физики. Она напоминает, что заявлять о полном понимании природы вакуума и/или гравитации надо с большой осторожностью. Пока мы не понимаем чего‑то весьма фундаментального.

На этом предложении заканчиваем повествование, потому что дошли до границ нашего познания. Зона познанного – это не то, с чем работает ученый‑исследователь. Квантовая теория, как мы заметили еще в начале книги, имеет репутацию сложной и откровенно странной, поскольку позволяет едва ли не любое поведение материальных частиц. Но все, что мы описали, за исключением этой последней главы, известно и хорошо понятно. Следуя не здравому смыслу, а доказательствам, мы пришли к теории, способной описать огромное количество явлений – от лучей, испускаемых горячими атомами, до ядерного синтеза в звездах. Практическое применение этой теории привело к самому важному технологическому прорыву XX века – появлению транзистора, а работа этого устройства была бы совершенно непонятной без квантового подхода к миру.

Но квантовая теория нечто гораздо большее, чем просто триумф пояснений. В результате насильно заключенного брака между квантовой теорией и относительностью в качестве теоретической необходимости появилась антиматерия, которую после этого действительно открыли. Спин – фундаментальное свойство субатомных частиц, лежащее в основе стабильности атомов, – тоже изначально был теоретическим предсказанием, которое требовалось для устойчивости теории. А сейчас, во втором квантовом столетии, Большой адронный коллайдер отправляется в неизведанное, чтобы исследовать сам вакуум. Это и есть научный прогресс: постоянное и тщательное создание набора объяснений и предсказаний, в итоге изменяющего нашу жизнь. Это и отличает науку от всего остального. Наука – это не просто иная точка зрения, она отражает реальность, которую было бы сложно представить даже обладателю самого извращенного и сюрреалистического воображения. Наука – это исследование реальности, и если реальность оказывается при этом сюрреалистической, значит, она такая и есть. Квантовая теория – наилучший пример силы научного метода. Никто бы не смог выдвинуть ее без как можно более тщательных и подробных экспериментов, а физики‑теоретики, ее создавшие, смогли отбросить свои глубоко укоренившиеся комфортные представления о мире, чтобы объяснить лежащие перед ними доказательства. Возможно, загадка вакуумной энергии – зов к новому квантовому путешествию; возможно, БАК предоставит новые и необъяснимые данные; возможно, все, что содержится в этой книге, окажется лишь приближением к гораздо более глубокой картине – удивительный путь к пониманию нашей квантовой Вселенной продолжается.

Когда мы только обдумывали эту книгу, некоторое время спорили, чем ее закончить. Хотелось найти отражение интеллектуальной и практической мощи квантовой теории, которое убедило бы даже самого скептичного читателя, что наука действительно во всех подробностях отражает происходящее в мире. Мы оба согласились, что такое отражение существует, хотя и требует некоторого понимания алгебры. Мы изо всех сил старались рассуждать без тщательного рассмотрения уравнений, но здесь избежать этого никак нельзя, так что мы хотя бы предупреждаем. Итак, наша книга заканчивается здесь, даже если вам хотелось бы большего. В эпилоге – самая убедительная, на наш взгляд, демонстрация мощи квантовой теории. Удачи – и доброго пути.

 

 

Эпилог: смерть звезд

 

Умирая, многие звезды заканчивают свой путь в качестве сверхплотных шаров ядерной материи, переплетенной с множеством электронов. Это так называемые белые карлики. Такой будет и судьба нашего Солнца, когда оно примерно через 5 миллиардов лет исчерпает запасы ядерного топлива, и судьба еще более 95 % звезд нашей Галактики. Пользуясь только ручкой, бумагой и немного головой, можно вычислить наибольшую возможную массу таких звезд. Эти вычисления, впервые предпринятые в 1930 году Субраманьяном Чандрасекаром, с помощью квантовой теории и теории относительности позволили сделать два ясных прогноза. Во‑первых, это было предсказание самого существования белых карликов – шариков материи, которые, по принципу Паули, спасает от разрушения сила собственной гравитации. Во‑вторых – если мы отвлечемся от листка бумаги со всякими теоретическими каракулями и посмотрим в ночное небо, мы никогда не увидим белый карлик с массой, которая бы более чем в 1,4 раза превосходила массу нашего Солнца. Оба этих предположения отличаются невероятной дерзостью.

Сегодня астрономы уже занесли в каталоги около 10 000 белых карликов. У большинства из них масса составляет примерно 0,6 массы Солнца, а самая большая зафиксированная – немногим менее 1,4 массы Солнца. Это число – 1,4 – свидетельство триумфа научного метода. Оно опирается на понимание ядерной физики, квантовой физики и специальной теории относительности Эйнштейна – трех китов физики XX века. При его вычислении требуются также фундаментальные константы природы, с которыми мы уже встречались в этой книге. К концу эпилога мы выясним, что максимальная масса определяется отношением

 

 

Смотрите внимательно на то, что мы записали: результат зависит от постоянной Планка, скорости света, гравитационной постоянной Ньютона и массы протона. Удивительно, что мы можем предсказать наибольшую массу умирающей звезды с помощью сочетания фундаментальных констант. Трехстороннее сочетание гравитации, относительности и кванта действия, появляющееся в уравнении (hc / G)½, называется планковской массой, и при подстановке цифр оказывается, что она равна примерно 55 мкг, то есть массе песчинки. Поэтому, как ни странно, предел Чандрасекара вычисляется с помощью двух масс – песчинки и протона. Из таких ничтожных величин образуется новая фундаментальная единица массы Вселенной – масса умирающей звезды. Мы можем довольно долго объяснять, как получается предел Чандрасекара, но вместо этого пойдем немного дальше: мы опишем собственно вычисления, потому что они и есть самая интригующая часть процесса. У нас не получится точного результата (1,4 массы Солнца), но мы приблизимся к нему и увидим, как профессиональные физики делают глубокие выводы с помощью последовательности тщательно продуманных логических ходов, постоянно обращаясь при этом к хорошо известным физическим принципам. Ни в один из моментов вам не придется верить нам на слово. Сохраняя холодную голову, мы будем медленно и неотвратимо приближаться к совершенно поразительным заключениям.

Начнем с вопроса: что такое звезда? Можно почти без ошибки сказать, что видимая Вселенная состоит из водорода и гелия – двух самых простых элементов, сформированных в первые несколько минут после Большого взрыва. После примерно полумиллиарда лет расширения Вселенная стала достаточно холодной, чтобы более плотные области в газовых облаках под действием собственной гравитации стали собираться вместе. Это были первые зачатки галактик, и внутри них, вокруг более мелких «комков», начали формироваться первые звезды.

Газ в этих прототипах звезд, по мере того как они коллапсировали, становился все горячее, что известно любому обладателю велосипедного насоса: при сжатии газ нагревается. Когда газ достигает температуры около 100 000 ℃, электроны больше не могут удерживаться на орбитах вокруг ядер водорода и гелия, и атомы распадаются, образуя горячую плазму, состоящую из ядер и электронов. Горячий газ пытается расшириться, противодействуя дальнейшему схлопыванию, но при достаточной массе гравитация одерживает верх.

Так как протоны имеют положительный электрический заряд, они будут взаимно отталкиваться. Но гравитационный коллапс набирает силу, температура продолжает повышаться, и протоны начинают двигаться все быстрее. Со временем при температуре в несколько миллионов градусов протоны будут двигаться максимально быстро и приблизятся друг к другу так, что слабое ядерное взаимодействие возобладает. Когда это произойдет, два протона смогут вступить в реакцию друг с другом: один из них спонтанно становится нейтроном, одновременно испуская позитрон и нейтрино (точно так, как показано на рис. 11.3). Освободившись от силы электрического отталкивания, протон и нейтрон сливаются в результате сильного ядерного взаимодействия, образуя дейтрон. При этом высвобождается огромное количество энергии, поскольку, как и в случае с образованием молекулы водорода, связывание чего‑то вместе высвобождает энергию.

При одном слиянии протонов высвобождается совсем мало энергии по повседневным стандартам. Один миллион слияний пар протонов дает энергию, равную кинетической энергии комара в полете или энергии излучения 100‑ваттной лампочки за наносекунду. Но в атомарном масштабе это гигантское количество; кроме того, помните, что мы говорим о плотном ядре сжимающегося газового облака, в котором количество протонов на 1 см³ достигает 1026. Если все протоны в кубическом сантиметре сольются в дейтроны, освободится 10¹³ джоулей энергии – достаточно для обеспечения годовой потребности небольшого города.

Слияние двух протонов в дейтрон – начало самого разнузданного синтеза. Сам этот дейтрон ищет возможности слиться с третьим протоном, образуя более легкий изотоп гелия (гелий‑3) и испуская фотон, а эти ядра гелия затем порождают пару и сливаются в обычный гелий (гелий‑4) с испусканием двух протонов. На каждой стадии синтеза высвобождается все больше энергии. Кроме того, позитрон, появившийся в самом начале цепочки превращений, тоже быстро сливается в окружающей плазме с электроном, образуя пару фотонов. Вся эта освобожденная энергия направляется в горячий газ, состоящий из фотонов, электронов и ядер, который противостоит сжатию материи и останавливает гравитационный коллапс. Такова звезда: ядерный синтез сжигает находящееся внутри ядерное топливо, образуя внешнее давление, которое стабилизирует звезду, не давая осуществиться гравитационному коллапсу.

Разумеется, когда‑то водородное топливо заканчивается, ведь его количество конечно. Если энергия больше не высвобождается, прекращается внешнее давление, гравитация вновь вступает в свои права, и звезда возобновляет отложенный коллапс. Если звезда достаточно массивна, ее ядро может прогреться до температуры примерно 100 000 000 ℃. На этой стадии гелий – побочный продукт сжигания водорода – воспламеняется и начинает свой синтез, образуя углерод и кислород, и гравитационный коллапс снова прекращается.

Но что происходит, если звезда недостаточно массивна, чтобы начался гелиевый синтез? Со звездами, масса которых менее половины массы нашего Солнца, случается нечто крайне удивительное. При сжатии звезда разогревается, но еще до того, как ядро достигает температуры 100 000 000 ℃, кое‑что приостанавливает коллапс. Это кое‑что – давление электронов, которые соблюдают принцип Паули. Как мы уже знаем, принцип Паули жизненно необходим для понимания того, как атомы остаются стабильными. Он лежит в основе свойств материи. И вот еще одно его достоинство: он объясняет существование компактных звезд, которые продолжают свое существование, хотя уже выработали все ядерное топливо. Как же это работает?

Когда звезда сжимается, электроны внутри нее начинают занимать меньший объем. Мы можем представлять электрон звезды через его импульс p, тем самым ассоциируя его с длиной волны де Бройля, h / p. Напомним, что частица может быть описана только таким волновым пакетом, который по крайней мере не меньше связанной с ней длиной волны[56]. Это значит, что если звезда достаточно плотная, то электроны должны перекрывать друг друга, то есть нельзя считать, что они описываются изолированными волновыми пакетами. Это, в свою очередь, обозначает, что для описания электронов важны эффекты квантовой механики, в особенности принцип Паули. Электроны уплотняются до тех пор, пока два электрона не начинают претендовать на занятие одной и той же позиции, а принцип Паули гласит, что электроны не могут этого делать. Таким образом, и в умирающей звезде электроны избегают друг друга, что помогает избавиться от дальнейшего гравитационного коллапса.

Такова судьба более легких звезд. А что будет с Солнцем и другими звездами подобной массы? Мы ушли от них пару абзацев назад, когда пережигали гелий в углерод и водород. Что будет, когда гелий тоже кончится? Они тоже должны будут начать сжиматься под действием собственной гравитации, то есть электроны будут уплотняться. И принцип Паули, как и в случае с более легкими звездами, в итоге вмешается и прекратит коллапс. Но для самых массивных звезд даже принцип Паули оказывается не всесилен. Когда звезда сжимается и электроны уплотняются, ядро разогревается, и электроны начинают двигаться все быстрее. В достаточно тяжелых звездах электроны приближаются к скорости света, после чего происходит нечто новое. Когда электроны начинают двигаться с такой скоростью, давление, которое электроны способны развивать для противостояния гравитации, понижается, и эту задачу они уже не способны решить. Они просто больше не могут бороться с гравитацией и останавливать коллапс. Наша задача в этой главе – рассчитать, когда это произойдет, и мы уже рассказали самое интересное. Если масса звезды в 1,4 раза и больше превосходит массу Солнца, электроны терпят поражение, а гравитация выигрывает.

Так заканчивается обзор, который послужит основой наших вычислений. Теперь можно двигаться дальше, позабыв о ядерном синтезе, потому что горящие звезды лежат вне сферы наших интересов. Мы будем пытаться осознать, что происходит внутри мертвых звезд. Мы постараемся понять, как квантовое давление уплотнившихся электронов уравновешивает силу гравитации и как это давление уменьшается, если электроны двигаются слишком быстро. Таким образом, суть нашего исследования – противостояние гравитации и квантового давления.

Хотя все это не так важно для последующих расчетов, мы не можем все бросить на самом интересном месте. Когда массивная звезда схлопывается, у нее остаются два варианта развития событий. Если она не слишком тяжелая, то в ней продолжится сжатие протонов и электронов, пока они не синтезируются в нейтроны. Так, один протон и один электрон спонтанно превращаются в нейтрон с испусканием нейтрино, опять же благодаря слабому ядерному взаимодействию. Подобным образом звезда неумолимо превращается в небольшой нейтронный шарик. По словам русского физика Льва Ландау, звезда становится «одним гигантским ядром». Ландау написал это в своей работе 1932 года «К теории звезд», которая появилась в печати в том самом месяце, когда Джеймс Чедвик открыл нейтрон. Наверное, слишком смело было бы сказать, что Ландау предсказал существование нейтронных звезд, но он определенно что‑то подобное предчувствовал, и с большой дальновидностью. Вероятно, приоритет следует признать за Вальтером Бааде и Фрицем Цвикки, которые в 1933 году написали: «Мы имеем все основания предполагать, что сверхновые представляют собой переход от обычных звезд к нейтронным звездам, которые на конечных этапах существования состоят из чрезвычайно плотно упакованных нейтронов».

Эта идея показалась настолько нелепой, что была спародирована в Los Angeles Times (см. рис. 12.1), и нейтронные звезды до середины 1960‑х годов оставались теоретическим курьезом.

 

Рис. 12.1. Карикатура из номера газеты Los Angeles Times от 19 января 1934 года

 

В 1965 году Энтони Хьюиш и Сэмюэл Окойе нашли «свидетельства необычного источника яркости радиоизлучения высокой температуры в Крабовидной туманности», хотя и не смогли опознать в этом источнике нейтронную звезду. Опознание случилось в 1967 году благодаря Иосифу Шкловскому, а вскоре, после более подробных исследований, и благодаря Джоселин Белл и тому же Хьюишу. Первый пример одного из самых экзотических объектов во Вселенной получил название пульсара Хьюиша – Окойе. Интересно, что та же сверхновая, что породила пульсар Хьюиша – Окойе, была замечена астрономами за 1000 лет до этого. Великая сверхновая 1054 года, самая яркая в зафиксированной истории, наблюдалась китайскими астрономами и, как известно благодаря знаменитому наскальному рисунку, жителями каньона Чако на юго‑западе современных США.

Мы пока еще не говорили о том, как этим нейтронам удается сопротивляться гравитации и препятствовать дальнейшему коллапсу, но, возможно, вы и сами в состоянии предположить, почему это происходит. Нейтроны (как и электроны) – рабы принципа Паули. Они тоже могут останавливать коллапс, и нейтронные звезды, как и белые карлики, – один из вариантов окончания жизни звезды. Нейтронные звезды, вообще‑то, отступление от нашего повествования, но мы не можем не отметить, что это совершенно особенные объекты в нашей великолепной Вселенной: это звезды размером с город, настолько плотные, что чайная ложка их вещества весит как земная гора, а не распадаются они только благодаря естественной «неприязни» частиц одного спина друг к другу.

Для самых массивных звезд во Вселенной остается только одна возможность. В этих звездах даже нейтроны движутся со скоростью, близкой к скорости света. Такие звезды ждет катастрофа, потому что нейтроны не способны создавать достаточное давление, чтобы противостоять гравитации. Пока неизвестен физический механизм, не дающий ядру звезды, масса которой примерно в три раза больше массы Солнца, упасть самому на себя, и результатом становится черная дыра: место, в котором все известные нам законы физики отменяются. Предполагается, что законы природы все же продолжают действовать, но для полного понимания внутренней работы черной дыры требуется квантовая теория гравитации, которой пока не существует.

Однако пора вернуться к сути дела и сосредоточиться на нашей двоякой цели – доказательстве существования белых карликов и расчете предела Чандрасекара. Мы знаем, как поступать: необходимо уравновесить гравитацию и давление электронов. Такие вычисления нельзя сделать в уме, так что стоит наметить план действий. Итак, вот план; он довольно длинный, потому что мы хотим сначала разъяснить некоторые второстепенные детали и подготовить почву для собственно вычислений.

Шаг 1: мы должны определить, каково давление внутри звезды, оказываемое сильно сжатыми электронами. Возможно, вас заинтересует, почему мы не обращаем внимания на другие частицы внутри звезды: что насчет ядер и фотонов? Фотоны не подчиняются принципу Паули, так что со временем они все равно покинут звезду. В борьбе с гравитацией они не помощники. Что же до ядер, то ядра с полуцелым спином подчиняются принципу Паули, но (как мы увидим) из‑за того, что их масса больше, они оказывают меньшее давление, чем электроны, и их вклад в борьбу с гравитацией можно спокойно игнорировать. Это существенно упрощает задачу: все, что нам нужно, – давление электронов. На том и успокоимся.

Шаг 2: вычислив давление электронов, мы должны заняться вопросами равновесия. Может быть непонятно, что делать дальше. Одно дело сказать, что «гравитация давит, а электроны противостоят этому давлению», совсем другое – оперировать при этом числами. Давление внутри звезды будет варьироваться: в центре оно будет больше, а на поверхности меньше. Наличие перепадов давления очень важно. Представьте себе куб из звездной материи, который находится где‑то внутри звезды, как показано на рис. 12.2. Гравитация направит куб к центру звезды, и мы должны понять, как будет противостоять этому давление электронов. Давление электронов в газе оказывает воздействие на каждую из шести граней куба, и это воздействие будет равно давлению на грань, помноженному на площадь этой грани. Это утверждение точно. До того мы использовали слово «давление», предполагая, что обладаем достаточным интуитивным пониманием того, будто газ при высоком давлении «давит» больше, чем при низком. Собственно, это известно любому, кто хоть раз накачивал насосом сдувшуюся автомобильную шину.

 

Рис. 12.2. Небольшой куб где‑то в середине звезды. Стрелки показывают силу, действующую на куб со стороны электронов в звезде

 

Поскольку нам нужно должным образом понять природу давления, сделаем краткую вылазку на более знакомую территорию. Обратимся к примеру с шиной. Физик сказал бы, что шина сдулась, потому что внутреннего воздушного давления недостаточно, чтобы удерживать вес автомобиля без деформации шины – за это‑то нас, физиков, и ценят. Мы можем не ограничиться этим и вычислить, каково должно быть давление в шинах для автомобиля с массой 1500 кг, если 5 см шины должно постоянно поддерживать контакт с поверхностью, как показано на рис. 12.3: опять настало время доски, мела и тряпки.

Если ширина шины – 20 см, а длина соприкасающейся с дорогой поверхности – 5 см, то площадь поверхности шины, находящейся в непосредственном контакте с землей, будет равна 20 × 5 = 100 см³. Требуемого давления в шине мы еще не знаем – его‑то и надо вычислить, так что обозначим его символом Р. Нам потребуется также знать действующую на дорогу силу, которую прикладывает воздух в шине. Она равна давлению, помноженному на площадь шины, контактирующую с дорогой, то есть P × 100 см². Мы должны умножить это еще на 4, поскольку у автомобиля, как известно, четыре шины: P × 400 см². Такова общая сила воздуха в шинах, действующая на поверхность дороги. Представьте ее так: молекула воздуха внутри шины молотят по земле (если быть совсем уж точными, то молотят они по резине шины, которая контактирует с землей, но это не так важно).

Земля обычно при этом не проваливается, то есть реагирует с равной, но противоположной силой (ура, наконец‑то нам пригодился третий закон Ньютона). Машину приподнимает земля и опускает гравитация, и, поскольку при этом она не проваливается в землю и не воспаряет в воздух, мы понимаем, что эти две силы должны уравновешивать друг друга. Таким образом, можно считать, что сила P × 400 см² уравновешивается прижимной силой гравитации. Эта сила равна весу автомобиля, и мы знаем, как вычислить его с помощью второго закона Ньютона F = ma, где a – ускорение свободного падения на поверхности Земли, которое равно 9,81 м/с². Итак, вес составляет 1500 кг × 9,8 м/с² = 14 700 Н (ньютонов: 1 ньютон – это примерно 1 кг·м/с², что приблизительно равно весу яблока). Так как две силы равны, то

 

 

P × 400 см² = 14 700 Н.

 

Решить это уравнение легко: P = (14 700 / 400) Н/см² = 36,75 Н/см². Давление в 36,75 H на см² – возможно, не вполне знакомый нам способ выражения давления в шинах, но его можно легко преобразовать в более привычные «бары».

 

Рис. 12.3. Шина немного деформируется под весом автомобиля

 

Один бар – это стандартное давление воздуха, которое равно 101 000 Н на м². В 1 м² 10 000 см², так что 101 000 Н на м² – это 10,1 Н на см². Таким образом, наше желаемое давление в шинах равняется 36,75 / 10,1 = 3,6 бар (или 52 фунта на квадратный дюйм – это вы можете вычислить самостоятельно). С помощью нашего уравнения можно также понять, что если давление в шинах падает на 50 % до 1,8 бар, то мы удваиваем площадь шины, находящуюся в контакте с поверхностью дороги, то есть шина немного сдувается. После этого освежающего экскурса в вычисление давления мы готовы вернуться к кубику звездной материи, который показан на рис. 12.2.

Если нижняя грань куба ближе к центру звезды, то давление на нее должно быть немного больше, чем давление на верхнюю грань. Такая разность давлений порождает действующую на куб силу, которая стремится оттолкнуть его от центра звезды («вверх» на рисунке), чего мы и хотим добиться, потому что куб в то же самое время гравитацией подталкивается к центру звезды («вниз» на рисунке). Если бы мы могли понять, как сочетать две эти силы, то улучшили бы свои представления о звезде. Но это легче сказать, чем сделать, потому что, хотя шаг 1 позволяет нам понять, каково давление электронов на куб, все еще предстоит рассчитать, насколько велико давление гравитации в противоположном направлении. Кстати, нет нужды учитывать давление на боковые грани куба, потому что они равно удалены от центра звезды, так что давление на левую сторону уравновесит давление на правую, и куб не будет двигаться ни направо, ни налево.

Чтобы выяснить, с какой силой гравитация действует на куб, мы должны вернуться к закону притяжения Ньютона, который говорит, что каждый кусочек звездной материи действует на наш кубик с силой, уменьшающейся с увеличением расстояния, то есть более далекие куски материи давят меньше, чем близкие. Кажется, тот факт, что гравитационное давление на наш куб различно для различных кусков звездной материи в зависимости от их удаленности, представляет собой сложную проблему, но мы увидим, как обойти этот момент, по крайней мере, в принципе: мы нарежем звезду на кусочки и затем вычислим силу, которую оказывает на наш куб каждый такой кусочек. К счастью, нет необходимости представлять кулинарную нарезку звезды, потому что можно использовать отличный обходной маневр. Закон Гаусса (названный в часть легендарного немецкого математика Карла Гаусса) сообщает, что: а) можно полностью игнорировать притяжение всех кусочков, находящихся дальше от центра звезды, чем наш кубик; б) общее гравитационное давление всех кусочков, находящихся ближе к центру, в точности равно давлению, которое оказывали бы эти кусочки, если бы находились ровно в центре звезды. С помощью закона Гаусса и закона притяжения Ньютона можно сделать вывод, что к кубику прикладывается сила, которая толкает его к центру звезды, и что эта сила равна

 

 

где Min – масса звезды внутри сферы, радиус которой равен расстоянию от центра до куба, Mcube – масса куба, а r – расстояние от куба до центра звезды (G – константа Ньютона). Например, если куб находится на поверхности звезды, то Min – это общая масса звезды. Для всех остальных местоположений Min будет меньше.

Мы добились определенных успехов, потому что для уравновешивания действий, оказываемых на куб (напомним, это значит, что куб не движется, а звезда не взрывается и не коллапсирует[57]), требуется, чтобы

 

 

где Pbottom и Ptop – давление электронов газа на нижней и верхней гранях куба соответственно, а А – площадь каждой стороны куба (помните, что сила, оказываемая давлением, равна давлению, умноженному на площадь). Мы отметили это уравнение цифрой (1), потому что оно очень важно и мы к нему еще вернемся.

Шаг 3: сделайте себе чаю и наслаждайтесь собой, потому что, сделав шаг 1, мы вычислили давления Pbottom и Ptop, а после шага 2 стало понятно, как именно уравновесить силы. Однако основная работа еще впереди, потому что нам нужно закончить шаг 1 и определить разницу давлений, фигурирующую в левой части уравнения (1). Это и будет нашей следующей задачей.

Представьте звезду, наполненную электронами и другими частицами. Как рассеяны эти электроны? Обратим внимание на «типичный» электрон. Мы знаем, что электроны подчиняются принципу Паули, то есть два электрона не могут находиться в одной и той же области пространства. Что это значит для того моря электронов, которое мы называем «электронами газа» в нашей звезде? Так как очевидно, что электроны отделены друг от друга, можно предположить, что каждый находится в своем миниатюрном воображаемом кубике внутри звезды. Вообще‑то это не совсем верно, потому что мы знаем, что электроны делятся на два типа – «со спином вверх» и «со спином вниз», а принцип Паули запрещает только слишком близкое расположение идентичных частиц, то есть теоретически в кубике могут находиться и два электрона. Это контрастирует с ситуацией, которая возникла бы, если бы электроны не подчинялись принципу Паули. В этом случае они не сидели бы по двое внутри «виртуальных контейнеров». Они бы распространялись и пользовались гораздо большим жизненным пространством. Собственно, если бы можно было игнорировать различные способы взаимодействия электронов друг с другом и с другими частицами в звезде, их жизненному пространству не было бы предела. Мы знаем, что происходит, когда мы ограничиваем квантовую частицу: она совершает скачок в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, и чем больше она ограничена, тем больше совершает скачков. Это значит, что, когда наш белый карлик коллапсирует, электроны все более ограничиваются и становятся все более возбужденными. Именно давление, вызванное их возбуждением, и останавливает гравитационный коллапс.

Мы можем зайти еще дальше, потому что можно применить принцип неопределенности Гейзенберга для вычисления типичного импульса электрона. Например, если мы ограничиваем электрон областью размера Δx, он будет совершать скачки с типичным импульсом p ~ h / Δx. Собственно, как мы говорили в главе 4, импульс приблизится к верхнему пределу, а типичный импульс будет равняться чему‑то от нуля до этого значения; запомните эту информацию, она понадобится нам позже. Знание импульса позволяет немедленно узнать еще две вещи. Во‑первых, если электроны не подчиняются принципу Паули, то они будут ограничены областью не размера Δx, а гораздо большего размера. Это, в свою очередь, означает гораздо меньшее количество колебаний, а чем меньше колебаний, тем меньше давление. Итак, очевидно, что принцип Паули входит в игру; он настолько давит на электроны, что те, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, демонстрируют избыточные колебания. Через некоторое время мы преобразуем идею избыточных колебаний в формулу давления, но сначала узнаем, что же будет «во‑вторых». Так как импульс p = mv, то скорость колебаний тоже имеет обратную зависимость от массы, так что электроны прыгают туда‑сюда гораздо быстрее, чем более тяжелые ядра, которые тоже часть звезды. Вот почему давление атомных ядер пренебрежимо мало.

Итак, как можно, зная импульс электрона, вычислить давление, которое оказывает состоящий из этих электронов газ? Для начала нужно выяснить, какого размера должны быть блоки, содержащие пары электронов. Наши маленькие блоки имеют объем (Δx)³, и, поскольку мы должны разместить все электроны внутри звезды, выразить это можно в виде числа электронов внутри звезды (N), деленного на объем звезды (V). Чтобы поместились все электроны, понадобится ровно N / 2 контейнеров, поскольку в каждом контейнере может располагаться два электрона. Это значит, что каждый контейнер будет занимать объем V, деленный на N / 2, то есть 2(V / N). Нам неоднократно понадобится величина N / V (количество электронов на единицу объема внутри звезды), так что присвоим ей собственный символ n. Теперь можно записать, каким должен быть объем контейнеров, чтобы в нем поместились все электроны звезды, то есть (Δx)³ = 2 / n. Извлечение кубического корня из правой части уравнения дает возможность вывести, что

 

 

Теперь можно соотнести это с нашим выражением, полученным из принципа неопределенности, и вычислить типичный импульс электронов в соответствии с их квантовыми колебаниями:

 

 

p ~ h (n / 2)⅓, (2)

 

где знак ~ означает «примерно равно». Разумеется, уравнение не может быть точным, потому что все электроны никак не могут колебаться одинаково: одни будут двигаться быстрее типичного значения, другие медленнее. Принцип неопределенности Гейзенберга не способен точно сказать, сколько электронов движутся с одной скоростью, а сколько с другой. Он дает возможность сделать более приблизительное утверждение: например, если сжать область электрона, то он будет колебаться с импульсом, примерно равным h / Δx. Мы возьмем этот типичный импульс и положим его одинаковым для всех электронов. Тем самым немного потеряем в точности вычислений, но существенно выиграем в простоте, а физика явления определенно останется той же самой[58].

Теперь мы знаем скорость электронов, что дает достаточно информации для определения давления, которое они оказывают на наш кубик. Чтобы убедиться в этом, представьте, как целый флот электронов движется в одном и том же направлении с одной и той же скоростью (v) по направлению к прямому зеркалу. Они ударяются о зеркало и отскакивают, двигаясь все с той же скоростью, но на сей раз в обратном направлении. Давайте вычислим силу, с которой электроны действуют на зеркало. После этого можно перейти к более реалистичным вычислениям для случаев, когда электроны двигаются в разных направлениях. Такая методология очень распространена в физике: сначала стоит поразмыслить над более простым вариантом задачи, которую хочешь решить. Тем самым можно разобраться в физике явления с меньшими проблемами и обрести уверенность для решения более серьезной задачи.

Представьте, что флот электронов состоит из n частиц на м³ и для простоты имеет в круглом сечении площадь 1 м², как показано на рис. 12.4. Через секунду nv электронов ударится о зеркало (если v измеряется в метрах в секунду).

 

Рис. 12.4. Флот электронов (маленькие точки), движущийся в едином направлении. Все электроны в трубке такого размера будут ежесекундно ударяться о зеркало

 

Мы знаем это, потому что все электроны, удаленные от зеркала на расстояние v × 1 с,