Матрицы. Действия над матрицами
Матрицей порядка 
называется прямоугольная таблица чисел
состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут
, 
, 1 
. Множество всех матриц порядка обозначим 
, множество всех квадратных матриц порядка 
– через 
.
Произведением матрицы 
на число 
(действительное или комплексное) называют матрицу 
, определяемую по правилу 
при этом пишут 
.
Суммой 
матриц 
, 
называют матрицу 
, определяемую по правилу 
; при этом пишут 
. Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка.
Произведением матрицы 
на матрицу 
называют матрицу , элементы которой определяются по правилу 
; при этом пишут 
. Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент 
матрицы есть результат скалярного произведения i -й строки матрицы А на j -й столбец матрицы В.)
Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел
кроме одного: вообще говоря, 
Матрицу
называют транспонированной к матрице А и пишут 
; 
получается из А переменой местами столбцов и строк.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица 
состоящая из нулей.
Единичной матрицей порядка 
называется квадратная матрица 
, на главной диагонали которой, тянущейся слева-сверху-вправо-вниз, находятся единицы, а остальные элементы равны 0:
Часто пишут просто Е, опуская индекс n там, где это не приводит к недоразумению.
Матрицы О и Е играют роль нуля и единицы: 
(операции считаются дозволенными).
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, называется треугольной.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1. Вычислить 3 A – 2 BC, если:
.
Ответ. 
.
2. Вычислить:
.
Ответ. 
.
3. Вычислить: а) 
; б) 
.
Ответ. а) 
; б) 
.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти многочлен от матрицы А, если 
, 
.
Ответ. 
.
2. Найти 
, если 
, 
.
Ответ. 
.
Обратная матрица
Матрица 
называется обратной к матрице 
если AB = BA = Е; при этом пишут 
Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если 
. Если 
– невырожденная матрица, то
где 
алгебраические дополнения элементов 
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида
Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: 
Однородная система всегда является совместной - она имеет решение 
(возможно, не единственное).
Матрицы
называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы 
называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме 
