Системы линейных алгебраических уравнений. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел

состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут

, , 1 . Множество всех матриц порядка обозначим , множество всех квадратных матриц порядка – через .

Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называют матрицу , определяемую по правилу при этом пишут .

Суммой матриц , называют матрицу , определяемую по правилу ; при этом пишут . Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка.

Произведением матрицы на матрицу называют матрицу , элементы которой определяются по правилу ; при этом пишут . Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент матрицы есть результат скалярного произведения i -й строки матрицы А на j -й столбец матрицы В.)

Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел

кроме одного: вообще говоря,

Матрицу

называют транспонированной к матрице А и пишут ; получается из А переменой местами столбцов и строк.

Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица состоящая из нулей.

Единичной матрицей порядка называется квадратная матрица , на главной диагонали которой, тянущейся слева-сверху-вправо-вниз, находятся единицы, а остальные элементы равны 0:

Часто пишут просто Е, опуская индекс n там, где это не приводит к недоразумению.

Матрицы О и Е играют роль нуля и единицы: (операции считаются дозволенными).

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, называется треугольной.

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.

1. Вычислить 3 A – 2 BC, если:

.

Ответ. .

2. Вычислить:

.

Ответ. .

3. Вычислить: а) ; б) .

Ответ. а) ; б) .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти многочлен от матрицы А, если , .

Ответ. .

2. Найти , если , .

Ответ. .

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице если AB = BA = Е; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если . Если – невырожденная матрица, то

где алгебраические дополнения элементов

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида

Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).

Матрицы

называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме