Лекции.Орг


Поиск:




Угол между прямыми. Условия параллельности и




перпендикулярности двух прямых.

 

1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A1,B1} и {A2,B2}. Следовательно,

. (7.10)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

- условие параллельности, (7.11)

- условие перпендикулярности. (7.12).

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

, (7.13)

- условие параллельности, (7.14)

- условие перпендикулярности. (7.16).

Здесь и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)

у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где , а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда

. (7.17)

Условие параллельности имеет вид: k1=k2, (7.18)

условие перпендикулярности – k2=-1/k1, (7.19)

поскольку при этом tgφ не существует.

 

Расстояние от точки до прямой.

 

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку

n ={cos α, sin α }, a OM ={ x,y }, получаем, что

x cosα + y sinα = p, или

x cosα + y sinα ­­- p = 0 - (7.20)

- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

 

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.

 

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х00) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

. (7.21)

Доказательство.

 

Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна

n·OA =x0 cosα + y0 sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =

x0 cosα + y0 sinα - p, что и требовалось доказать

 

 

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

(7.22).

 

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

 

Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением

3 х + 4 у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

 


8. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.

 

Плоскость в пространстве.

 

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М00 0 ,z0) перпендикулярно вектору n = { A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = { x - x0 , y - y0, z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-10-30; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 404 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Не будет большим злом, если студент впадет в заблуждение; если же ошибаются великие умы, мир дорого оплачивает их ошибки. © Никола Тесла
==> читать все изречения...

1002 - | 821 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.