Теоретическое обоснование работы

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

Цель работы: определить удельное сопротивление резистивного провода; изучить зависимость силы тока в цепи от напряжения; выяснить основные закономерности работы источника электрической энергии.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

Характеристикой упорядоченного движения зарядов является сила тока – скалярная величина, численно равная количеству заряда, переносимого носителями тока через сечение проводника за единицу времени:

(1)

Рис.1

Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он течет, неравномерно (рис.1). Поэтому более детально электрический ток характеризуют с помощью вектора плотности тока . Он численно равен отношению силы тока dI, протекающего через расположенную в данной точке площадку, перпендикулярную к направлению движения носителей зарядов, к величине этой площадки:

(2)

где – единичный вектор, перпендикулярный к dS.

Рис.2

Рис.3

За положительное направление тока принимается направление движения положительных носителей тока. Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно найти силу тока I через любую поверхность S:

(3)

где – вектор элементарной площадки поверхности S, составляющий в общем случае с вектором угол a; – проекция вектора на направление нормали n (рис.2).

Сила тока, протекающего через поперечное сечение проводника (рис.3), если j_n = j, будет равна:

(4)

 

Для однородного проводника плотность тока одинакова по всему поперечному сечению S проводника, поэтому:

(5)

Электрический ток в металле возникает под действием внешнего электрического поля, которое вызывает упорядоченное движение электронов. Плотность тока равна:

(6)

где n₀ =(10²⁸–10²⁹) м³ – концентрация электронов проводимости в металле:| e |=1,602×10^-19 Кл – заряд электрона; – средняя скорость упорядоченного движения электронов (для самых больших плотностей токов составляет 10^-4 м/с, что значительно меньше средней квадратичной тепловой скорости электронов = 10⁵ м/спри Т = 273 К).

Для плотности тока справедлив закон Ома в дифференциальной форме:

(7)

где – удельная электропроводность; – удельное электрическое сопротивление среды.

Используя (5) и (7), находим уравнение для определения удельного сопротивления однородного проводника:

(8)

В металлическом проводнике имеется электрическое поле, которое создается электронами и положительными ионами кристаллической решетки поле кулоновских сил. Кулоновское взаимодействие между зарядами в металле приводит к такому равновесному распределению зарядов, при котором электрическое поле внутри проводника равно нулю и весь проводник является эквипотенциальным.

Для создания упорядоченного равновесного (стационарного) движения электронов в металле необходимы неэлектрические сторонние силы, которые непрерывно разъединяют разноименные заряды и поддерживают постоянную разность потенциалов на концах проводника.

Стационарное электрическое поле сторонних сил создается источниками электрической энергии. В любой точке внутри участка проводника, соединяющего источник электрической энергии, существуют электростатическое поле кулоновских сил и электрическое поле сторонних сил . По принципу суперпозиции полей напряженность результирующего поля равна:

(9)

Закон Ома для плотности тока в этом случае дает:

(10)

Рис.4

Это позволяет получить соотношение для участка 1-2
(рис. 4)однородного проводника с сечением S:

(11)

где – вектор с модулем dl, равным элементу длины проводника, направленным по касательной к проводнику в сторону вектора плотности тока.

Интеграл численно равен работе , совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2:

.

Электродвижущая сила (ЭДС) , действующей на участке цепи 1-2, называется линейный интеграл

(12)

численно равна работе , совершаемой сторонними силами при перемещении по проводнику единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Работа производится за счет энергии источника тока.

Напряжением U_1,2 на участке цепи 1-2 называется физическая величина, численно равная работе A_1,2, совершаемой результирующим полем кулоновских и сторонних сил при перемещении вдоль цепи из точки 1 в точку 2 единичного положительного заряда:

(13)

Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью потенциалов только в том случае, если на участке не приложены ЭДС.

Сопротивление R_1,2 участка между сечениями 1 и 2 может быть найдено путем интегрирования:

(14)

Для однородного линейного проводника , , поэтому

(15)

откуда

(16)

где l_1,2 – длина проводника между сечениями 1 и 2.

Умножив левую и правую части уравнения (14) на i и используя (11), получим обобщенный закон Ома для произвольного участка цепи

(17)

Закон Ома для замкнутой электрической цепи имеет вид

;

так как работа кулоновских сил по замкнутому контуру равна нулю:

;

Рис.5

где – алгебраическая сумма всех ЭДС, приложенных в цепи.

Если замкнутая цепь состоит из источника электрической энергии с ЭДС, равной e, и внутренним сопротивлением r, а сопротивление внешней части цепи равно R (рис.5), то закон Ома имеет вид

(18)

(r, e - постоянные величины), то ясно, что величина i полностью зависит от R.

Разность потенциалов на клеммах источника равна напряжению на внешней части цепи:

(19)

 

Если цепь разомкнута (I = 0), то

(20)

Если внешняя часть состоит из сопротивления нагрузки R_н = R, к которой подключен источник ЭДС с внутренним сопротивлением r, то напряжение на нагрузке (совпадающее с напряжением на зажимах ЭДС) получим, умножив левую и правую части уравнения (18) на R_н:

(21)

При (т.е. когда цепь разомкнута) U_н = e.

Применим уравнение (11), используя (12) и учитывая, что для замкнутого контура работа кулоновских сил равна нулю,

(22)

Для определения работы по переносу заряда dq вдоль замкнутой цепи

(23)

Мощность, развиваемая источником ЭДС:

(24)

Подставив значение силы тока из (18), получим (R = R_н)

(25)

В нагрузке выделяется только часть этой мощности:

(26)

Отношение полезной мощности ко всей мощности, развиваемой ЭДС в цепи, определяет КПД источника тока:

(27)

Найдем соотношение между R_н и r, при котором полезная мощность, отбираемая от источника тока, будет наибольшей. Для этого найдем экстремум функции (26):

(28)

Видно, что P_н имеет максимум при R_н = r (другое решение соответствует минимуму P_н).

Следовательно, чтобы отобрать от данной ЭДС наибольшую полезную мощность, нужно взять сопротивление нагрузки, равное сопротивлению источника тока.

 

 

Рис.6

l1.2=0,45 U1.2=0,3 l1.2=0,4 U1.2=0,2 l1.2=0,35 U1.2=0,2 l1.2=0,3 U1.2=0,15 i1 , A 0,16 0,122 0,132 0,115 i2 , A 0,165 0,121 0,134 0,113 i3 , A 0,162 0,122 0,135 0,116 iср , A 0,165 0,123 0,132 0,115 r , Ом ×м 0,163 0,122 0,133 0,114 rср , Ом ×м 1,22*10-6 1,27*10-6 1,34*10-6 1,36*10-6 Таблица 1

 

1.11. По результатам измерений определить среднее значение удельного сопротивления проводника, учитывая, что рабочая формула для определения удельного сопротивления однородного резистивного провода согласно (16), (17) и (19) примет вид:

(29)

где R_1,2 – сопротивление резистивного провода на участке 1-2; S – площадь его поперечного сечения; I – ток, проходящий в проводнике; l_1,2 – длина проводника на участке 1-2; d – диаметр резистивного провода.

1.12. По рассчитанному определить материал проводника.

 

 

Задание 2. Исследование работы источника электрической энергии

 

2.1. Переключатель 1 установить в отключенное положение, а переключатель 2 во включенное и вольтметр покажет ЭДС источника. Записать это значение в тетрадь

2.2. Переключатель 2 установить в отключенное состояние, при этом к источнику тока подключится сопротивление нагрузки R_н.., схема примет вид рис.7.

2.3. Изменяя сопротивление R_н (вращая ручку "Рег.тока"), снять зависимость U_н = f(I) не менее, чем для десяти значений тока с интервалом 15 mA.

 

iн, А 0,075 0,090 0,105 0,120 0,135 0,150 0,165 0,180 0,195 0,210 Uн, В 3,48 3,36 3,24 3,12 3,0 2,85 2,7 2,61 2,49 2,34 Rн, Ом 46,4 37,3 38,0 26,0 22,2 19,0 16,4 14,5 12,8 11,1 r, Ом 12,0 11,4 3,7 10,5 10,2 10,2 10,1 9,8 9,7 9,8 Rн/r 3,87 3,21 10,3 2,48 2,18 1,86 1,62 1,48 1,32 1,13 P, Вт 0,33 0,39 0,46 0,52 0,69 0,66 0,72 0,79 0,85 0,92 Pн, Вт 0,26 0,30 0,34 0,37 0,40 0,42 0,44 0,47 0,48 0,49 e, В 4,38 4,38 4,38 4,38 4,38 4,38 4,38 4,38 1,38 4,36 h 0,79 0,77 0,74 0,71 0,69 0,65 0,62 0,60 0,57 0,53 Таблица 2

 

2.4. После снятия всех результатов измерений прибор выключить.

2.5. Построить график зависимости U_н = f(R_н) и сравнить его с аналитической зависимостью (21). При заполнении таблицы 2 следует учесть, что рассчитывать величины надо только на основе данных, полученных экспериментально, а не в результате других расчетов. Заполнить таблицу 2 согласно формулам:

2.6. Построить график зависимости P = f(R_н/r).

2.7. Построить график зависимости P_н = f(R_н/r).

2.8. Построить график зависимости h = f(R_н/r).

2.9. В заключении к работе необходимо пояснить результаты, полученные в задании 1 и объяснить полученные в задании 2 зависимости.