Уравнение линии и поверхности

Еденичной

-Квадратная матрица называется

треугольной если все элементы

расположенные по одну сторону

диагонали равны нулю

-Матрица содержащая в себе один

столбец или строку называется

вектор столбцом вектор строкой

-Матрица полученная заменой строк

столбцами наз-ся транспонированной

-Минором некоторого элемента aij

определителя n-го порядка наз-ся

определитель (n–1)-го порядка,

полученный из исходного путём

вычёркивания строки и столбца,

на пересечении которых нах-ся

выбранный элемент.

- Алгебраическим дополнением

элемента aij определителя наз-ся

его минор, взятый со знаком «+»,

если сумма i+j чётное число,

и со знаком «-», если эта сумма неч.

- Правило треугольников

Свойства определителей

-Определитель матрицы не изменится

при транспонировании матрицы

-При перестановке двух IIрядов

определитель меняет знак на

противоположный

-Определитель имеющий два

одинаковых ряда равен нулю

-Общий множетель элементов

какоголибо ряда определителя

можно вынести за знак определителя

-Если элементы какого-либо ряда

определителя представляют собой

суммы двух слагаемых то опред.

может быть разложен на сумму

двух соответствующих определителей

-Определитель не изменится если

к элементам одного ряда прибавить

соответствующие элементы II ряда,

умноженные на любое число

-Величина определителя не меняется,

если по всем эл-ам ряда добавить соотв.

эл. др. ряда, умножен. на любое число к

-Величина опред. равна сумме пр-ий

эл. некоторого ряда на их алгебраич. доп.

Вычисл. опред. разложением по 1-ой стр.

det = = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁,

= - +

Действия над матрицами

-Операция слож. матриц вводится только

для матриц одинаковых размеров

-Суммой двух матриц А и B называется

матрица С у которой элементы cij=aij+bij

-ТАкжеопределяется разность матриц

-Произведение матрицы на число наз-ся

матрица В у которой элементы bij=k*aij

-Матрица–А=(-1)А наз-ся противополож.

матрице А.Разность матриц А-Вможно

определить как А-В=А+(-В)

-Операция умнож двух матриц вводится

только тогда когда число столбц первой

матрицы равно числу строк второй

матрицы m*n умножить на n*p равно

матрицы m*p.

-Умножение производиться следующим

образом эл. iой строки и kго столбца

матрицы произведения матрицы С равен

сумме произведений элементов iй

строки матрицы А на соответствующие

элементы kго столбца матрицы В

-Операции сложения и умножения

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1*А=А

6. k*(A+B)=kA+kB

7. (k+c)*A=k*A+c*A

8. k*(c*A)=(k*c)*A

9. A*(B*C)=(A*B)*C

10. A*(B+C)=A*B+A*C

11. (A+B)*C=A*C+B*C

-Произведением матрицы А на матрицу

В наз-ся матрица С у которой элемент

i-строки и k-столбца равен сумме пр-ий

элементов i-строки матрицы А на

соот. элементы k-столбца матрицы В

- Матрица А- наз-ся обратной матрице А

если их пр-ие дает единичн. Матр

если detA><0, то невырожденная

если detA=0, то вырожденная

Матрица имеющая обратную

матрицу называется обратимой.

Т. Если квадратная матрица А

имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С –

две матрицы обратные к матрице А.

Тогда и

-Рангом матрицы наз-ся наибольший

из порядков миноров отличных от нуля,

Ранг канонической матрицы равен числу

единиц стоящих на ее диагонали, Ранг

матрицы равен максимальному числу

линейно независимых строк матрицы А.

 

-При трансп. матр. ранг не меняется

-Если вычеркнуть из матрицы нулевой

столбец, то ранг матрицы не изменится

-Ранг матрицы не изменится при

элементарных преобразованиях

-Эквивалентными матрицами наз-ся

матрицы, когда одна матрица получена

из другой с помощью элементарных

преобразований матрицы ни яв-ся

равными, но их ранги равны

- Т: Для того чтобы матрица А имела

обратную необходимо и достаточно,

чтобы ее опред. был отличен от нуля

Базисный минор матрицы A

любой ненулевой минор матрицы A

порядка r, где r=rangA.

-Т Крамера система из m уравнений

и n неизвестных в случае, когда

определитель этой системы

отличен от нуля имеет решение и

только одно это решение находится

по формулам Х=deti/det для всех i

где det-определитель системы

deti-определитель матрицы полученной

заменой i-го столбца столбцом

свободных членов.

-Т о базисном миноре:

Всякий столбец матрицы есть

линейная комбинация ее базисных

столбцов сами базисные столбцы

линейно независимы (верно для строк).

-Метод Гауса (метод последовательного

исключения неизвестных) если число

базисных элементов соответствует

числу строк то у системы единственное

решение если число строк больше

числа базисных элементов то у

системы множество решений

-Однородная система – система

уравнений когда свободный член

равен нулю и система неоднородна

в противн случае aj1X1,…+…, ajnXn=0

или в матричном виде АХ=0. Любая

однородная система имеет одно

решение и совместна

-Т Кронекера-Копелы: сист. линейных

ур-ий совместна тогда и только тогда

когда ранг расширенной матрицы равен

рангу системы (необходимо достаточно)

 

 

-Вектором называется направленный

отрезок.

-Векторы называются коллинеарными,

если они параллельны одной прямой

-Векторы называются компланарными,

если они параллельны одной плоскости.

-Длиной или модулем вектора называется

длина соотв. направленного отрезка

- a + b = c,

-Вектор b называется противоположным

вектору a, если a и b коллинеарные,

имеют противоположные направления и

Вектор, противоположный вектору

a, обозначается -а, то есть АВ=_ВА.

- а-в=а+(-в)

-Пр-ием вектора a на вещественное

число называется вектор b,

определяемый условием

1)
и, если , то еще двумя усл:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направл одинаково,

если , и противопол, если .

Произведение вектора a на число

обозначается (рис 1.4).

- свойства:
1) а+в=в+а
2) (а+в)+с=а+(в+с)
3)а+0=а;
4)а=(-а)=0;
5)
6)
7)
8)1*а=а.

-свойства линейной зависимости

1Если среди векторов есть нулевой

2если част векторов л.з. один из

векторов равен линейной

комбинации других

3векторы коллинеарны/компланарны

4любые 4 вектора всегда л.з.

5если часть векторов л.з.

-Базис. Множество векторов на прямой

назовем одномерным векторным

пространством, множество векторов

на плоскости -- двумерным векторным

пространством, в пространстве –

трехмерным векторным пространством.

Базисом векторного пространства L

будем называть упорядоченную

систему векторов пространства,

состоящую: из одного ненулевого

вектора, если пространство одномерное;

из двух неколлинеарных векторов, если

пространство двумерное; из трех

некомпланарных векторов, если

пространство трехмерное.

Число векторов в базисе равно

размерности пространства.

 

Координатами вектора a в

базисе называются

коэффициенты разложения вектора

a по векторам базиса.

Для указания, что вектор a имеет

координаты , мы

будем использовать

запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе

каждый вектор имеет, единственный,

набор координат. Сложение векторов

и умножение их на число связаны с

аналогичными действиями с их

координатами.

- Т о единственности разложения

Любой вектор можно разложить

по базису и это разложение

единственно т.к. три вектора

базиса л.н.з. если добавить 4 вектор

то все четыре вектора л.з.

-Декартов базис- тройка упорядо-

ченных взаимно перпендик. векторов

единичной длины (i, j, k)

-Если и взаимно перпендик.

и их модули равны единице, то базис

называется ортонормированным

- , , .

;

-Проекцией точки A на ось l называется

число, соответствующее основанию

перпендикуляра AB, опущенного

на ось lиз точки A.

-Проекцией вектора ABна ось lназ-ся

разность проекций конца вектора и

его начала.

Проекцию будем обозначать

- .

-Скалярным произведением векторов

a и b называется число, равное

где -- угол между векторами a и b.

-1) ,
2) ,
3) ;
4) при ;
5) ;
6) Если -- угол между векторами

a и b, то ;
7) , если ;
8) тогда и только тогда,

когда векторы a и b ортогональны.

- Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а, в, с наз.

правоориентированной (правой), если с

конца 3го вектора с кратчайший поворот от

1го ко 2му вектору мы будем видеть против

час. стрелки. Если кратчайший поворот от

1го ко 2му по час. стрелки - левая.

Векторным произведением 2х векторов а и

в наз. такой вектор с, который удовлетворяет

условиям: 1. | c |=| a |*| b |*sinj. 2. c ^ a и c ^ b. 3.

тройка а, в, с -правая.

 

 

Уравнение линии и поверхности.

1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое

место точек, равноудаленных от 1ой точки,

называемой центром.

 

O(a,b,c)

| OM |=r, OM ={x-a,y-b,z-c}

 

 

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- уравнение сферы.

x²+y²+z²=r²- ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю,

удовлетворяющему координатам x,y,z

любой точки, лежащей на поверхности.

2. Уравнение окружности

| OM |=r, OM ={x-a,y-b)

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- ур-е окружности

а=b=0, то x²+y²=r²

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

 

Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную

точку, перпендикулярно заданному вектору.

N -вектор нормали

M₀M {x-x₀,y-y₀,z-z₀}

 

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и

достаточно чтобы вектора N ^ M₀M

(т.е. N * M₀M =0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости,

проходящей через данную точку ^вектору.