Поняття зворотньої тригонометричної функції y=arccos(x). Вводиться на уроці №3.
Спосіб введення поняття: конкретно - індуктивний шлях.
3.1. Підготовчий етап
3.1.1. Мотивація необхідності введення поняття
З того часу, як людина стала існувати на землі, основою поліпшення побуту і інших сфер життя стала наука. Основи усього, що створено людиною - це різні напрями в природних і математичних науках. Одна з них - геометрія. Архітектура не єдина сфера науки, в якій використовуються тригонометричні формули. Більшість композиційних рішень і побудов малюнків проходили саме за допомогою геометрії. Але теоретичні дані мало що означають. Хочу навести приклад на побудову однієї скульптури французького майстра Золотого століття мистецтва.
Пропорційне співвідношення в побудові статуї було ідеальне. Проте при піднятті статуї на високий п'єдестал, вона виглядала потворною. Скульптором не було враховано що в перспективі до горизонту зменшуються багато деталей і при погляді від низу до верху вже не створюється враження її ідеальності. Велася безліч розрахунків, щоб фігура з великої висоти виглядала пропорційно. В основному вони були засновані на методі візування тобто приблизного виміру, на око. Проте коефіцієнт різниці тих або інших пропорцій дозволили зробити фігуру наближенішої до ідеалу. Таким чином, знаючи зразкову відстань від статуї до точки зору а саме від верху статуї до очей людини і висоту статуї, можна розрахувати синус кута падіння погляду за допомогою таблиці (теж саме ми можемо зробити і з нижньою точкою зору), тим самим знайдемо точку зору (мал.1)
На малий.2 ситуація міняється, оскільки статую піднімають на висоту АС і НС збільшуються, можна розрахувати значення косинуса кута, c допомогою зворотної тригонометричної функції arccos знайдемо кут падіння погляду.
Порівнявши виміри АН в першому і в другому випадку, можна знайти коефіцієнт пропорційності. Згодом ми отримаємо креслення, а потім скульптуру, при піднятті якої зорово фігура буде наближена до ідеалу.
| МАЛ. 1 |
| a |
| А |
| С |
| Н |
| А |
| МАЛ. 2 |
| Н |
| С |
3.1.2. Актуалізація знань і умінь учнів,
необхідних для свідомого засвоєння поняття
Для успішного засвоєння нового матеріалу необхідно згадати тригонометричне коло, відкладання на ній позитивних і негативних кутів, значення косинуса кутів, згадати графік косинуса, періодичність косинуса.
Вправи:
1. Позначити на одиничному колі точку, яка виходить при повороті радіусу, - вектору на кут а) 45°; б) 150°; в)
;
2. У якій чверті одиничного кола косинус кута негативний, в якій - позитивний?
3. Зображувати на одиничному колі кути, косинуси яких дорывнюють выдповыдно а); б) 
; в) 
; г) 
; д) -1; е) 0; ж) 1;
4. Побудувати графік функції 
, відмітити на осі абсцис значення усіх кутів, косинус яких рівний.
3.1.3. Підведення учнів
до формулювання визначення поняття:
Пропоную Вам провести зараз невелику розминку. Давайте вирішимо рівняння. Тільки нехай зараз кожен з вас, вирішуючи, постарається обов'язково обгрунтовувати свій хід дій. Отже, а) 
= 
; б) 
; в); г) 
=10;
д) 
. Як ми бачимо, усі рівняння окрім останнього ми з вами змогли вирішити досить швидко. Я рада ще тому, що ви вивчили табличні значення тригонометричних функцій деяких кутів. А як же бути з останнім рівнянням, яке ми так і не змогли вирішити? Як взагалі вирішується рівняння, коли змінна є аргументом косинуса? Як ми зможемо знайти кут, косинус якого нам дан, тим більше якщо значення косинуса не є табличним? Щоб розібратися з цим питанням, давайте познайомимося з новим визначенням. Отже,
arccos a - це такий кут з проміжку, косинус якого рівний а.
3.2. Етап засвоєння
3.2.1. Формулювання визначення, оволодіння його змістом
arccos a – це такий кут з проміжку, косинус котрого рівний а.
Запам'ятаєте просто, що приставка arc означає кут. arccos a - це кут, аналогічно як -это кути. Не плутайте їх з самими тригонометричними функціями. Якщо косинус - це тригонометрична функція, то арккосинус - це функція, зворотна до косинуса.
} arccos a –это: 1. Кут;
2. Кут з проміжка;
3. Косинус цього кут дорівнює a
3.2.2. Відробіток дій,
що входять до складу оволодіння поняттям
Приклад1. Знайти 
.
Розв`язок. Існує незліченна безліч аргументів, косинус яких рівний, наприклад: 
, 
і т.д. Але нас цікавить тільки той аргумент, який знаходиться на відрізку [0; 
]. Таким аргументом буде . Отже, 
.
.
Пример2. Устные упражнения.
Найти 
, 
, 
, 
.
Пример3. Имеют ли смысл выражения: 
, 
, 
?
Пример4. Расположите в порядке возрастания:
, 
.
4. Методика вивчення теореми
Теорема “ Якщо тригонометричне рівняння має вигляд
cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1, те його розвёязок можна представити у вигляді
” вивчається на уроці №5.
Этап введення
41.1. Мотивація доцільності вивчення теореми
На попередньому занятті ми з вами познайомилися з поняттям зворотної тригонометричної функції арккосинус, розглянули її властивості, тим самим навчилися знаходити кут, якщо нам даний його косинус. Проте якщо ми звернемося до графіку косинуса або нашій з вами добре відомому одиничному колу, то неважко побачити, що нескінченна безліч різних кутів має одно і те ж значення косинуса, хоча далеко не усі такі кути можна назвати арккосинусом. Тому якщо для рівняння
cos x = 1 ми приведемо наступне рішення тобто, то це буде не вірно, оскільки і cos 360° = 1, і cos 720° = 1, і cos - 360° = 1, і так далі, хоча ні кут 360°, ні 720°, ні - 360° не є арккосинусами за визначенням, оскільки не лежать в проміжку від 0 до П. Ось і проблема: як же правильно записати рішення тригонометричного рівняння cos x = а, щоб охопити усі можливі рішення? А теорема, яку ми з вами сьогодні розглянемо, дозволить нам це зробити.
4.1.2. Актуалізація знань і умінь учнів, необхідних для свідомого засвоєння теореми
Для свідомого і успішного засвоєння нової теореми корисно згадати згадати графік косинуса, його властивості (область визначення, безліч значень, парність, періодичність) також необхідно повторити визначення зворотної тригонометричної функції арккосинус і її властивості(область визначення, безліч значень), повторити табличні значення косинусів деяких кутів.
Вправи:
5. Побудувати графік функції 
, вказати по графіку область визначення, множину значень, період. Чи є тригонометрична функція косинус парною або непарною і чому?
6. Відмітити на осі абсцис значення усіх кутів, косинус яких рівний 
.
7. Якому з відмічених кутів можна дати визначення арккосинуса і чому?
8. Знайти 
, 
, 
, 
, 
.
4.1.3.Підведення учнів до формулювання теореми
Ми з вами тільки що повторили властивості тригонометричної функції косинус і зворотній їй тригонометричній функції арккосинус. Отже, з'ясували, що косинус - функція парна. А що ми можемо сказати про арккосинус? (Відповідь: те, що його область визначення від 0 до 
, а безліч значень від - 1 до 1). Давайте з вами спробуємо вирішити таке рівняння: cos x = 1/2. Косинус яких кутів рівний? (Відповідь: косинус кута 
). І все? Ми ж з'ясували, що косинус - функція парна. Що означає парна? (Відповідь: це означає, що область визначення симетрична відносно початку відліку і виконується умова). Тоді можна зробити висновок, що косинус кута - теж рівний. Отже у безлічі рішень нашого рівняння вже є два кути: и - . Чи є ці кути арккосинусаи і чому? (Відповідь: кут 
є арккосинусом, тому що він належить проміжку 
, тобто можна записти наступним чиом: arccos 
= , а кут - не є арккосинусом, тому що не належить проміжку , але так як цей кут симетричен куту відносно осі абсцис, то можна записати, що - 
). Чи вплине як - нибудь на наше рішення така властивість косинуса, як періодичність? (Відповідь: так, вплине. У косинуса період 2 , значить, якщо ми будемо до наших рішень додавати і віднімати будь-яку кількість 2 , те отримуватимемо також кути з цим косинусом). Оскільки тоді записати правильно рішення нашого рівняння? (Відповідь: 
).Так, це дійсно так. А як це рішення записати в загальному вигляді, якщо нам дане рівняння cos x = а? (Відповідь: ). Правильно, діти, ось ви тепер самі зможете сформулювати теорему про рішення тригонометричческого рівняння cos x = а. Спробуйте це зробити! Після цього школярі за допомогою учителя формулюють теорему.
4.2. Етап засвоєння
4.2.1. Формулювання теореми, оволодіння її змістом, структурою, призначенням
Якщо тригонометричне рівняння має вигляд
cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1, то його рішення можна представити у виді
Ця теорема дозволяє нам вирішувати тригонометричні рівняння виду
cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1. Почему ǀ a ǀ ≤ 1? Згадаємо властивість косинуса, а конкретніше - безліч значень косинуса. Важко собі уявити, що в коротенькій формулі 
міститься нескінченне число кутів - рішень нашого рівняння. Звідки ми бачимо, що коренів рівняння саме нескінченне число? Цей факт міститься в шматочку формули 
.
Структура теореми:
Роз'яснювальна частина: Дано тригонометричне рівняння.
Умова: 1) воно має вигляд cos x = а,
2) ǀ a ǀ ≤ 1.
Вимога: його рішення можна представити у вигляді
Ця теорема складна, тому що в ній дві умови і одна вимога
4.2.2. Формування орієнтовної схеми доказу
Доведемо, що якщо тригонометричне рівняння має вигляд
cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1, то його рішення можна представити у виді
1. Малюємо одиничне коло.
2. Відмічаємо на ній косинус, рівний а.
3. Відмічаємо кути, косинус яких рівний а (звертаємо увагу на парність косинуса).
4. Скористаємося періодичністю косинуса і запишемо рішення тригонометричного рівняння.
Проведення доведення
Розглянемо доказ за допомогою одиничного кола. Відмітимо на одиничному колі косинус, рівний 
.(значення косинуса не переверщує 1, отже, ǀ a ǀ ≤ 1) Радіус - вектор повертаємо за годинниковою стрілкою на кут, косинус якого рівний , які відповідають цьому значенню косинуса: це 
и 
(парність косинуса). Період косинуса 
, отже, очевидно, що при повороті на 360° будь-яка кількість разів радіус - вектор займає те ж положення, значить, усі рішення нашого рівняння можна представити формулою
.
4.3. Этап закріплення
Формулювання питань для закріплення теореми.
Яка формула рішення тригонометричного рівняння виду
cos x = а? При якому а рішення існує?
1. Виділите в теоремі роз'яснювальну частину, умову, укладення.
2. Чи має сенс рівняння cos x =3? І чому?
3. Скільки розв`язків має рівняння cos x = -1,5? cos x = 0?
Розгляд зворотних, протилежних тверджень, пов'язаних з теоремою.
Зворотне твердження: Якщо рішення тригонометричного рівняння можна представити у виді , те це тригонометричне рівняння має вигляд cos x = а, причем ǀ a ǀ ≤ 1.
Протилежне твердження: Якщо тригонометричне рівняння не має вигляд у cos x = аили ǀ a ǀ >1, то рішення його не можна представити у виді .
Зворотне протилежному твердження: Якщо рішення тригонометричного рівняння не уявно у виді , те це рівняння не має вигляду cos x = а, либоǀ a ǀ >1.
Завдання базового і основного і просунутого рівнів складності.
Базовый рівень:
1. Розв`язати рівняння: 
.
A. 
,
B. 
,
C. 
.
2. Скільки коренів має рівняння
?
3. Розв`язати рівняння: 
.
4. Знайти область знчення функції 
.
План-конспект уроку
Мета: систематизувати і узагальнити знання, і уміння учнів з даної теми; підготувати їх до тематичного оцінювання; розвивати мислення, пам'ять; виховувати уважність, відповідальність, культуру математичних записів.
Тип уроку: узагальнення та систематизація знань учнів.
Хід уроку
І. Організацій момент
Учитель повідомляє тему, мету уроку.
ІІ. Перевірка домашнього завдання
1. Перевірка наявності домашнього завдання.
2. Дати відповіді на запитання.
ІІІ. Усне опитування
1. Яке рівняння називається найпростішим?
2. Яке рівняння називається однорідним?
3. Яке рівняння зводиться до алгебраїчного квадратного?
4. Яке рівняння розв'язується винесенням спільного множника за дужки?
IV. Математичний диктант
1. Розв'язати рівняння:
sin 4x = 0;
cosx/5 = 1;
tgx+4 = 0;
sin(p/2-x) = -1;
cos(p/2+x) = 1;
3cos2x-7 = 0;
sin2x = ½;
V. Займи позицію
Три учні працюють біля дошки:
а) (cos2x/2-sin2 x/2)2 - sin2x = -1/2;
cos2x-sin2x = -1/2;
cos2x = -1/2;
2x = + arcos(-1/2) + 2pn, n є Z;
2x = + (-p/3) + 2 pn, n є Z;
x = + (-2p/3) + 4pn, n є Z;
б) cosx - sinx = 2;
cosp/6cosx-sinp/6sinx = 1;
cos(p/6-x) = 1;
p/6-x = 2pn, n є Z;
-x = 2pn-p/6;
x = p/6-2pn, n є Z.
в) 2sin2x-5sinx+2 = 0.
Нехай sinx = t;
2 t2-5 t+2 = 0;
D = 25-4*2*2+9;
t1 = 5+3/4 = 2;
t2 = 5-3/4 = ½;
sin x = 2;
x(-1) arcsin2 + pn, n є Z;
x + (-1) p/6 + pn.
Після того як всі завдання розв'язані на дошці, пропоную учням, яким важко знайти спосіб розв'язання тригонометричних рівнянь і нерівностей, проговорити алгоритм розв'язання кожної вправи.
Учні, які добре володіють програмовим матеріалом, розв'язують вголос вправу № 59 (26).
sin2x + sin(x-p/4) = 1.
VI. Підсумок уроку
Відповідаю на запитання учнів і аналізую написання математичного диктанту, та роботу кожної групи.
Тест:
1. Чому дорівнює arcsin(-0,5):
а) p/3;
б) -p/6;
в) -p/4;
г) p/2?
2. Яка з функцій є парною:
а) y = sinx;
б) y = cosx;
в) y = tgx.
3. Функція y=arcos x парна чи не парна:
а) парна;
б) не парна;
в) ні парна, ні непарна.
4. Яка область визначення функції y=arcos x:
а) вся числова вісь;
б) проміжок (-1; 1);
в) проміжок (-p/2; p/2)?
5. Обчислити arcsin 1:
а) p/4;
б) p/3;
в) p/2;
г) p;
д) p/6.
6. Яка множина значень функції y=arcsin x:
а) х є R;
б) х є (0; p);
в) х є (-p/2; p/2);
г) х є (-1; 1)?
7. Якою є функція y=arcsin x:
а) спадною;
б) зростаючою;
в) не монотонна;
г) то зростає, то спадає?
VII. Домашнє завдання
Підготуватися до тематичної контрольної роботи.
1. Розв'язати рівняння:
а) ctg(x=p/3) = 1;
б) 1-cosx = 4sin2x;
в) sin2x-sin2x = 0.
2. Розв'язати систему рівнянь:
sinx*siny + cosx*cosy = 1;
sinx*cosy + cosx*siny = ½.
