Теорема 2. Если 
, где 
то для любой матрицы 
. (14)
Доказательство.
Пусть матрица 
, тогда, согласно определению 7, матрица 
, где
, так как 
Пусть матрица 
, тогда, согласно определению 7, матрица 
, где
, так как
Из полученных результатов следует, что 
и 
, следовательно, . Утверждение доказано.
Следствие 1. Если матрица 
где 
- некоторое число, т.е. B - cкалярная матрица порядка n, то для любой матрицы
. (15)
Доказательство. Нетрудно заметить, что 
. Следовательно,
; 
.
Что и требовалось доказать.
Определение 13. Операция перехода от матрицы 
к матрице 
, где 
, 
, т.е. когда столбцы матрицы А превращаются в соответствующие строки матрицы В, называется транспонированием матрицы А. Матрица В в этом случае называется транспонированной матрицей А.
Обозначение: 
Пример 11. 
, 
.
Замечание. Нетрудно заметить, что при транспонировании матриц элементы, стоящие на главной диагонали, не изменяю своего положения.
Теорема 3 (свойства операции транспонирования)
1) 
, где 
- единичная матрица порядка n.
2) 
, для любых матриц .
3) 
, где и 
(16)
4) 
, где 
и 
. (17)
5) 
, для любых матриц А и любых постоянных .
Доказательство. Справедливость свойств 1 и 2 следует из определения 13. Следовательно, доказать требуется лишь свойства 3 и 4.
3) Пусть 
.
Так как , , то для матрицы 
, где 
.
Следовательно, 
, и, согласно определению 13, 
, где
, 
(18)
Пусть 
. Так как , , то матрица 
- матрица вида 
, где 
, 
а матрица 
- матрица вида 
, где 
,
Следовательно, 
и 
, где
, (19)
Из формул (18) и (19) следует, что 
, Это означает равенство матриц С и D, а значит, и справедливость формулы (16). Утверждение 3 доказано.
4) Применяем ту же методику: доказываем, что матрицы в левой и правой части равенства (17) состоят из одинаковых элементов.
, , тогда 
, где 
, элементы которой определяются по формуле (20):
, 
(20)
Пусть 
, тогда 
и, согласно определению 13, , где 
, В этом случае, из (20) следует, что элементы матрицы определяются по формулам (21):
, (21)
Так как , , то матрица - матрица вида 
, где , 
а матрица - матрица вида 
, где 
, 
Следовательно, матрица 
, 
, элементы которой определяются по правилу:
, (22)
Используя представления элементов матриц L и S с помощью элементов матриц А и В, получаем:
, (23)
Из равенств (21) и (23) следует, что элементы матриц D и К, стоящие на одинаковых местах, совпадают, значит, 
, что означает, что . Утверждение доказано.
5) Данное свойство докажите самостоятельно.
Определение 14. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции над матрицами:
1) перестановка двух строк матрицы местами;
2) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на одно и то же число;
3) прибавление к элементам некоторой строки матрицы соответствующих элементов другой строки этой же матрицы, умноженных на число;
4) те же операции над столбцами.
Определение 15. Матрицы А и В, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными.
Обозначение: 
.
Смысл этой эквивалентности станет Вам понятен позднее, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.
Пример 12.
а) 
. Здесь у матрицы A поменяли первую и вторую строку местами.
б) 
. Здесь у матрицы A все элементы первой строки умножили на число 2.
в) 
. Здесь к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2.
Определение 16. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы, расположенные ниже элементов 
, 
, в соответствующих столбцах, т.е. ниже главной диагонали, равны нулю.
Пример 13. Матрицы 
, 
, 
- матрицы треугольного вида.
Замечание. Иногда треугольные матрицы рассмотренного вида называют правыми верхними треугольными матрицами. Соответственно, матрицы, у которых все элементы, расположенные выше элементов , , в соответствующих столбцах (т.е. выше главной диагонали), равны нулю, называют левыми нижними треугольными матрицами (Шев. КР., стр. 118). Используя побочную диагональ 
, можно, соответственно, также ввести левую верхнюю и правую нижнюю треугольные матрицы.
Так как для изложения рассматриваемого нами курса достаточно использования треугольных матриц правого верхнего вида, далее во всех случаях мы их будем называть просто матрицами треугольного вида.
Теорема 3. Любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к треугольному виду.
Доказательство. Проведите самостоятельно.
Справедливость данного утверждения легко подтвердить на следующем примере.
Пример 14.
Нетрудно заметить, что последовательность выполненных действий – следующая:
1)меняются местами первая и вторая строки матрицы;
2)к элементам второй строки прибавляются соответствующие элементы первой строки, умноженные на (- 2), результат записывается во вторую строку, первая остается без изменения;
3)к элементам третьей строки прибавляются элементы первой строки, умноженные на (- 3), результат записывается в третью строку, первая оставляется без изменения;
4) все элементы второй строки делятся на (- 5), так нельзя подобрать походящего множителя; результат записывается во вторую строку;
5) к элементам третьей строки прибавляются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 4; результат записывается в третью строку, вторая оставляется без изменения.
Замечание. Из рассмотренного примера становится понятным алгоритм приведения матриц к треугольному виду, в нашем случае к правому верхнему треугольному виду (а значит, и алгоритм доказательства теоремы 3): сначала необходимо добиться того, чтобы все элементы, первого столбца, располагающиеся ниже элемента 
стали равным нулю, затем, чтобы элементы второго столбца, располагающиеся ниже элемента 
, стали равны 0 и так далее.
