Достаточное условие выпуклости функции на интервале.
Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:
1) при f"(х) > 0 (знак +) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);
2) при f"(х) < 0 (знак -) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).
Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую производную и решить неравенства
f"(х) < 0 и f"(х) > 0.
Точка М0 (х0; f(х0)) графика функции у = f(х) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М0 имеет разные направления выпуклости.
На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М0(х0; f (х0)).
Рис. 5. График функции, имеющей перегиб
Необходимый признак существования точки перегиба.
Если функция в точке х0 имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.
Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос решается с помощью следующего признака.
Достаточный признак существования точки перегиба.
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х0 и f"(х) > 0 при х > х0 или f"(х) > 0 при х < х0 и f"(х) < 0 при х > х0, то М0(х0, (f(х0)) является точкой перегиба кривой у = f(х).
II. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Понятие предела функции
Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х 
х0), если для любого положительного числа 
найдется такое положительное число 
, что для всех х 
х0 , удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Обозначают 
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция 
называется бесконечно малой при 
, если 
.
Функция называется бесконечно большой при , если 
или 
.
Теоремы о пределах
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Первый замечательный предел 
Второй замечательный предел 
Правило Лопиталя.
Пусть функции 
и 
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: 
. Пусть 
в окрестности точки x0. Если существует предел 
, то 
.
Односторонние пределы
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А1 называется пределом функции y= f(x) слева в точке х0, если для любого числа 
существует число 
такое, что при х 
выполняется неравенство 
. Предел слева записывают так: 
или коротко: 
(обозначение Дирихле).
Аналогично определяется предел функции справа. Число А2 называется пределом функции y= f(x) справа в точке х0, если для любого числа существует число такое, что при х 
выполняется неравенство 
. Предел справа записывают так: 
. Коротко предел справа обозначают f(xo+0)=A2.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Непрерывность функции
Функция называется непрерывной в точке 
, если предел функции при равен значению функции при :
.
А также говорят, функция 
называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.
.
Существует теорема о непрерывности функции в точке. Функция y= f(x) непрерывна в точке x0, тогда и только тогда, когда функция имеет конечные пределы в точке x0 и предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.
Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Для элементарных функций справедливы следующие положения:
1. область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения
2. элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках
3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.
Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции 
, если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е 
и 
.
При этом:
если А1=А2, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва (рис.6)
если 
, то точка х0 называется точкой конечного разрыва (рис.7).
Величину 
называют скачком функции
Рис. 6. График функции с устранимым разрывом
Рис. 7. График функции с конечным разрывом
Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен ∞ (рис.8).
Рис. 8. График функции с точкой разрыва 2-го рода
