Поперечно нагруженной пластинки

Рассмотрим изгиб пластинки нагруженной поперечной силой, которая свободно опирается по контуру, то есть опорные реакции на краях должны быть нормальны к пластинке. Прогибы при этом примем малыми в сравнении с толщиной. При этих условиях можно пренебречь деформацией в срединной плоскости пластины.

Рассмотрим элемент, вырезанный из пластинки, как показано на рис.4.

Рис. 4

Кроме изгибающих и крутящих моментов, в данном случае будут еще и вертикальные перерезывающие силы, приложенные по боковым граням элемента

. (6)

Так как моменты и перерезывающие силы являются функциями координат х и у, то при исследовании условий равновесия элемента мы должны будем принять во внимание малые изменения этих величин, обусловленные изменениями координат на малые величины dx и dy.

Срединная плоскость элемента представлена на рис.5, где указаны те направления сил и моментов, которые принимаются положительными.

Рис. 5

Если нагрузка распределена по верхней поверхности пластинки, то интенсивность такой нагрузки q, или действующая на элемент поверхности q d x d y.

Проектируя все приложенные к элементу силы на ось z, получим следующее уравнение равновесия:

из которого

, (7)

Взяв моменты от всех действующих на элемент сил относительно оси х, получим другое уравнение равновесия

. (8)

Моментом нагрузки q и моментом, возникающим вследствие изменения силы , пренебрегаем ввиду того, что они представляют собой величины более высокого порядка малости. Тогда после упрощений уравнение равновесия (8) принимает вид

относительно оси х

, (9)

относительно оси у

. (10)

Так как в направлениях х и у сил нет, а относительно оси z нет моментов, то три уравнения (7), (9) и (10) полностью определяют равновесие элемента. Исключим из этих уравнений перерезывающие силы и , определив их из уравнений (9), (10) и произведя подстановку их значений в уравнение (7) получим

. (11)

С учетом , вследствие того, что , представим уравнение равновесия (11) в окончательной форме:

. (12)

Для определения зависимости изгибающих моментов от функции прогибов рассмотрим чистый изгиб пластинки (рис.6).

Рис.6

Выделим из пластинки элемент, как показано на рис.7. Пусть и обозначают кривизны этой нейтральной поверхности в сечениях, параллельных соответственно плоскостям xz и yz. В таком случае, как и для балки, мы можем найти относительные удлинения в направлениях x и y для элементарного слоя abcd, отстоящего от нейтрального слоя на расстояние z; они будут равны.

, . (13)

С учетом закона Гука (1) находим соответствующие напряжения в слое abcd

(14)

Эти напряжения пропорциональны расстоянию слоя abcd от нейтральной поверхности и зависят от величины кривизны изогнутой пластинки.

Так как эти нормальные растяжения распределены по боковым граням показанного на рис.7 элемента, то их можно привести к парам, величины которых, приходящиеся на единицу длины, должны быть, очевидно, равны внешним моментам и . Таким путем получаем уравнения

(15)

Подставив в них вместо и выражение (14), получим соотношения для определения моментов

(16)

. (17)

Отметим, что в следствии малой толщины в сравнении с размерами пластинки пренебрегаем влиянием на изгиб перерезывающих сил и и сжимающего напряжения , вызванного нагрузкой q.

Подставляя эти выражения (16), (17) в уравнение (12) найдем дифференциальное уравнение изогнутой поверхности

(18)

или в символической форме

. (19)

Это уравнение (18) было представлено Лагранжем в 19811г., когда он рассматривал доклад, представленный во Французскую Академию наук Софией Жермен.

Уравнениями (9), (10) воспользуемся для определения перерезывающих сил

, (20)

, (21)

Компоненты тензора напряжений при изгибе определяются

, (22)

или с учетом закона Гука , (23)

где – изгибающий момент (рис.8); – момент инерции; z – расстояние до срединной поверхности. Тогда максимальные напряжения определяются в виде

, (24)

в декартовой системе координат

, , (25)

Рис. 7. Максимальные напряжения при изгибе пластины

В случае действия касательных напряжений сдвиговые деформации определяются как

, (26)

где G – модуль сдвига.

Максимальные касательные напряжения имеют вид:

, (27)

Для определения напряжений и , предположим, что они распределены по толщине пластинки по параболическому закону. Тогда

, . (28)

Таким образом, задача об изгибе пластинки поперечной нагрузкой сводится к интегрированию Уравнения Софии Жермен (18). Если для какого-либо частного случая решение этого уравнения найдено и оно удовлетворяет граничным условиям, то с учетом выражений (16), (17) для определения моментов могут быть вычислены нормальные и касательные напряжения, а также деформации

; ; , (29)

то есть определить напряженно деформированное состояние пластинки, которая находится под поперечной нагрузкой.

Деформации также можно выразить через моменты

; ; . (30)

Кривизны в осевых направлениях

, , , (31)

где – радиусы кривизны в соответствующих направлениях.

Изгиб круглых пластин

При изгибе круглой пластинки (рис.9) решение необходимо вести в цилиндрических координатах. Если начало координат поместить в центре не изогнутой пластинки, через r обозначим радиальные расстояния точек, лежащих в срединной плоскости. Тогда максимальный наклон изогнутой поверхности в некоторой точке А будет равен , кривизна же срединной поверхности пластинки в диаметральном сечении rz для малых прогибов выразится производной

, (32)

где – малый угол между нормалью к изогнутой поверхности в точке А и осью симметрии ОВ. Из условий симметрии заключаем, что представляет собой одну из главных кривизн изогнутой поверхности в точке А. Вторая главная кривизна лежит в сечении, проходящем через нормаль АВ и перпендикуляр к плоскости rz. заметив, что подобные АВ нормали для всех остальных точек срединной поверхности с радиальным расстоянием r образуют в своей совокупности коническую поверхность с вершиной в В, очевидно, что расстояние АВ представляет собой радиус кривизны, который мы обозначим через . тогда из чертежа получим

. (33)

Имея выражения (32) и (33) для главных кривизн, мы можем получить и соответствующие значения изгибающих моментов, полагая, что между этими моментами и кривизнами остаются в силе соотношения (16), которые выведены в предположении незначительного влияния касательных напряжений на величину прогибов. Пользуясь этими соотношениями, получаем изгибающие моменты по окружным (тангенциальным) сечениям пластинки и диаметральному сечению rz.

, (34)

. (35)

Уравнения (34) и (35) содержат лишь одну переменную из двух, которая может быть определена из условий равновесия элемента пластинки, аналогичного, например, элементу abcd на рис.10, вырезанному из пластинки двумя цилиндрическими сечениями ab и cd и двумя диаметральными ad и bc.

Например, пара, действующая по грани cd элемента, равна

(36)

соответствующая пара по грани ab выразится произведением

. (37)

Каждая из пар, приложенных по граням ad и bc элемента, равна обе же вместе они дадут равнодействующую пару в плоскости rOz, равную

. (38)

Полная перерезывающая сила, действующая по грани cd элемента, будет ; соответствующая же сила по грани ab равна

. (39)

Пренебрегая малой разностью между перерезывающими силами по двум противоположным граням элемента, мы вправе утверждать, что эти силы дают пару в плоскости rz, равную

. (40)

Складывая с надлежащими знаками моменты (36), (37), (38), (40) и пренебрегая моментом от приходящейся на элемент внешней нагрузки, как малой величиной более высокого порядка, получим для элемента abcd следующее уравнение равновесия:

из которого, пренебрегая малой величиной более высокого порядка, находим

. (41)

Если вместо подставив сюда их выражения (34), (35), то уравнение (41) примет вид

(42)

или в другом виде

. (43)

В любом частном случае симметрично нагруженной круглой пластинки перерезывающая сила легко может быть вычислена путем деления распределенной по окружности радиуса r нагрузки на . Тогда уравнениями (42) и (43) можно будет воспользоваться для определения наклона и прогиба пластинки. интегрирование этих уравнений упрощается, если мы заметим, что их можно представить следующим образом:

, (44)

. (45)

В случае если, например, пластинка нагружена равномерно распределенной по поверхности нагрузкой инесивностью q, то величина перерезывающей силы Q на расстоянии r от центра пластинки определяется из уравнения

, .

Таким образом, если представлена в функции r, то уравнения (44), (45) без всяких затруднений можно будет проинтегрировать в любом частном случае, а постоянные интегрирования найти из граничных условий.

Граничные условия

1. В случае, когда край пластинки защемлен (рис.11) прогиб по этому краю равен нулю и плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает на нем с начальным положением срединной плоскости пластинки (угол поворота равен нулю). Тогда граничные условия имеют вид

. (46)

2. Если край пластинки свободно оперт (рис.12), то его прогиб должен быть равен нулю. В то же время этот край может свободно поворачиваться относительно оси х; это значит, что изгибающие моменты обращаются на нем в нуль

. (47)

Также наряду с этим обращается в нуль , поэтому уравнения (47) можно считать эквивалентным уравнениям

, (48)

не содержащим коэффициента Пуассона

3. В том случае, край пластинки совершенно свободен (рис.13), то естественно принять, что поэтому краю нет ни изгибающих или крутящих моменнтов, ни вертикальных перерезывающих сил

, (49)

В этой форме граничные условия для свободного края были выражены Пуассоном. Позднее Кирхгофф доказал, что трех условий слишком много и что для полного определения удовлетворяющих дифференциальному уравнению С. Жермен прогибов достаточно двух условий. На этом основании объединенное требование относительно крутящего момента и перерезывающей силы для свободного края принимает вид

(50)

подставив сюда вместо и их выражения (20) и (17), получаем окончательно для свободного края :

. (51)

Условие, чтобы изгибающие моменты на свободном крае были равны нулю, требует

. (52)

Уравнения (51) и (52) представляют собой два необходимых граничных условия для свободного края пластинки.

Применение энергетических методов к расчету пластин.

Примеры решения задач

В тех случаях, когда точное решение задач по определению напряжений и деформаций в пластинках невозможно, прибегают к приближенным методам.

Одними из них являются вариационные, они дают приближенное аналитическое выражение для искомой функции.

Это – метод Ритца, метод Галеркина, метод Треффца, метод Канторовича.

Вариационные методы базируются на экспериментальных свойствах потенциальной энергии.

Определение: Потенциальной энергией упругой системы называется та работа, которую совершают как внутренние, так и внешние силы системы, при переводе её из деформированного состояния в начальное состояние - недеформированное.

Э = U + V

Э – полная энергия системы; U – потенциальная энергия внутренних сил, линейно зависящих от деформации. Всегда положительна и вычисляется как половина произведения сил на соответствующие перемещения; V – потенциальная энергия внешних сил.

Потенциальная энергия работы внешних сил всегда отрицательна и определяется как полная величина произведения силы на путь:

V = –A _н

где А _н – работа внешних сил.

Потенциальная энергия действительного состояния системы имеет экстремальное значение, математически это можно записать следующим образом:

δЭ = 0

Потенциальная энергия в состоянии равновесия минимальна, т.е.:

δ²Э > 0

Для решения согласно методу Ритца, необходимо найти такую функции прогиба ω(x), которая будет сообщать минимум функционалу

Если задать функцию ω(x) в виде ряда

где – неопределенные параметры; – подходящие функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи

и подставить её в функционал J, мы получим функцию от неизвестных параметров .

После определения производных

из системы n уравнений находим определяющие коэффициенты .

Потенциальная энергия пластинки

Потенциальная энергия пластинки , в общем случае, выражается через перемещения:

(1)

где ω(x, y) – функция прогибов. Основная задача расчетов пластин – определение прогибов, т.к. по известным прогибам можно рассчитать напряжения в пластине и возникающие моменты.

Наиболее удобной формой выражения функции ω(x,y) – аппроксимирующей функции, является представление функции в виде ряда: