Об истинном познании, возрождении и Т. Д. 7 страница

Я мог бы здесь прибавить еще другие теоремы, чтобы лучше выяснить т. 14, ч. II и объяснить силы вещей во всяком состоянии, как это сделано здесь относительно движения. Но достаточно перечитать § 43, ч. II «Начал» и прибавить здесь лишь одну теорему, необходимую для понимания следующего.

Теорема 23

Если модусы какого-либо тела принуждены испытать перемену, то эта перемена всегда будет наименьшей.

Доказательство. Эта теорема довольно очевидно вытекает из теоремы 14, ч. II.

Теорема 24. Первое правило.

Если два тела, например А и В (см. фиг. 1), вполне равны друг другу и движутся друг к другу с равной скоростью, то при встрече их каждое отразится в противоположную сторону, не теряя своей скорости.

В этом предположении ясно, что для устранения противоположности этих двух тел или оба они должны отразиться в противоположном направлении, или одно должно увлечь за собой другое, так как они противоположны друг другу не в отношении движения, а лишь направления.

Доказательство. Если А и В сталкиваются, то они должны испытать некоторое изменение (по акс. 19). Но так как одно движение не противоположно другому (по кор.к т. 19, ч. II), то они нисколько не должны терять свое движение (по акс. 19). Поэтому изменение коснется

246

 

лишь направления. Но нельзя себе представить, что меняется лишь направление одного из этих тел, например В, в том случае, если А, от которого оно должно получить изменение, не будет предположено сильнее В (по акс. 20). Но последнее было бы противно допущению. Поэтому если перемена направления может произойти лишь у одного тела, то она произойдет у обоих, причем A и В отразятся в противоположном направлении (по изложенному в «Диоптрике», гл. 2), но сохранят все свое движение, что и требовалось доказать.

Теорема 25. Второе правило.

Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А (см. фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними, то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с равной скоростью.

Доказательство. Поскольку А предполагается меньше В,то оно имеет также меньшую силу, чем В (по т. 21, ч. II). Но так как при этом предположении, так же как и в предыдущем, противоположны лишь направления, и потому, как показано в предыдущей теореме, изменение может касаться только направления, то оно произойдет только в А,а не в В (по акс. 20); поэтому только А будет отражено более сильным В в противоположном направлении, не теряя, однако, нисколько своей скорости, что итребовалось доказать.

Теорема 26

Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости, именно В вдвое больше А (см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В, а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в противоположном направлении и каждое удержит прежнюю скорость.

Доказательство. Так как А и В по предположению движутся друг против друга, то в одном столько же движения, как и в другом (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому движение одного не противоречит движению другого (по кор. к т. 19, ч. II) и силы обоих равны (но кор. 2 к т.22, ч. II). Таким образом, это предположение совер-

247

 

шенно подобно предположению т. 24, и потому, согласно предыдущему доказательству, А и В отразятся в противоположном направлении, и каждое при этом сохранит всю свою скорость, что и требовалось доказать.

Королларий. Из трех последних теорем очевидно, что направление тела требует для своей перемены столько же силы, как изменение движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более половины своего определения следовать в данном направлении и более половины своего движения, испытывает большую перемену, чем тело, теряющее все свое определение.

Теорема 27. Третье правило.

Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А, то не только А отразится в противоположном направлении, но и В перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.

Доказательство. А (по допущению) противоположно В не только по своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым отражением в противоположном направлении изменяется только направление, но не устраняется вся противоположность обоих тел. Следовательно (по акс. 19), перемена должна наступить как в направлении, так и в движении, и так как В по допущению движется скорее А,то В (по т. 22, ч. II) сильнее А,и потому (по акс. 20) перемена в А произойдет через В,и А будет посредством В отражено в противоположном направлении. Это первое. Далее, А,пока оно движется медленнее В,противоположно последнему (по кор. 1 к т. 22, ч II), следовательно, должна наступить перемена (по акс. 19), по которой А не будет двигаться медленнее В. Но А не принуждается при этом допущении никакой достаточно сильной причиной к тому, чтобы двигаться скорее В.

Таким образом, если А не может двигаться медленнее В,так как оно сталкивается с В,ни скорее В,то А должно двигаться с такой же скоростью, как В. Но, если бы В переносило на А менее половины своего излишка скорости, то А продолжало бы двигаться медленнее В;а если бы В переносило более половины своего излишка скорости на

248

 

А,то А двигалось бы скорее В. Но, как уже показано, то и другое нелепо. Поэтому перемена будет происходить лишь, пока В не перенесет на А половину своей большей скорости, которую В должно потерять (по т. 20, ч. II), и, следовательно, оба будут продолжать движение с равной скоростью в том же направлении без всякого противоречия, что и требовалось доказать.

Королларий. Отсюда следует, что, чем скорее движется тело, тем более оно определено продолжать движение в направлении линии своего следования, и наоборот, чем оно медленное движется, тем менее оно склонно к этому.

Схолия. Для того чтобы читатели не смешали здесь силу направления с силой движения, кажется, неплохо прибавить несколько замечаний, отчего станет яснее различие обоих. Итак, если предположить, что тела А и С равной величины и движутся с равной скоростью прямо друг против друга, то оба (по т. 24, ч. II) отразятся в противоположном направлении, удержав все свое движение. Если же тело С находится в B и движется косвенно к А,то, очевидно, оно ужо менее склонно двигаться в направлении BD или С А (см. фиг. 13). Поэтому оно, правда, имеет одинаковое движение с А,но сила направления тела С, если оно движется прямо по направлению к В,которая тогда одинакова с силой направления А,больше силы направления С,если оно движется от В к А,а именно настолько больше, насколько линия В А больше С А. Ибо, чем больше линия С А,тем более времени (именно, если В и А движутся, как здесь допущено, с одинаковой скоростью) требует В,чтобы двигаться в направлении BD или С А,по которому оно движется прямо противоположно направлению тела А. Итак, если С идет из В навстречу А косвенно, то оно направляется так, как будто оно продолжало двигаться в направлении АВ’ к В’ (я предполагаю, что, когда С находится в точке, где линия АВ’ пересекает продолженную линию ВС,то эта точка отстоит от С так же далеко, как С от В).Напротив, А удерживает все свое движение и направление и продолжает свое движение к С и захватит тело В с собой, так как В,имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует больше времени, чем А,для прохождения части линии АС и лишь постольку противоположно направлению более сильного тела А. Но сила направления С,движущегося из В к А,поскольку оно совпадает с линией

249

 

С А,равна силе направления С,когда оно движется прямо к А (пли, по допущению, силе самого А).Поэтому В должно иметь настолько степеней движения больше А,насколько линия В А больше линии С А,так что, если С направляется к А косвенно, А отразится в противоположном направлении к А’, а В к В’,причем каждое тело удержит все свое движение. Если же излишек движения В над А больше излишка линии В А над С А,то В оттолкнет тело А к А’ и сообщит ему столько своего движения, сколько нужно, чтобы движение В относилось к движению А,как линия В А к линии С А,а В потеряет столько движения, сколько перенесет на А,и будет с остатком его продолжать свое движение в прежнем направлении. Если, например, линия АС относится к АВ,как 1 к 2, а движение тела А к движению тола В,как 1 к 5, то В сообщит одну степень своего движения А и оттолкнет его в противоположном направлении, а В с остальными четырьмя степенями будет продолжать свое движение в том же направлении, как прежде.

Теорема 28. Четвертое правило.

Если тело А (см. фиг. 1) находится в совершенном покое и немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость, никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в противоположном направлении и удержит при этом свое движение неизменным.

Надо заметить, что противоположность между этими телами может быть устранена тремя способами: или так, что одно тело увлечет другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть своего движения на другой. Четвертого случая

250

 

не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II) доказать, что эти тела при нашем предположении испытают наименьшую перемену.

Доказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали бы двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20, ч. II) перенести на А столько своего движения, сколько А приобретает, и (по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять больше половины своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II) потерять больше половины своего направления. Таким образом, оно (по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы оно потеряло только свое направление. А если бы А потеряло часть своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со скоростью, равной В,то противоположность между обоими телами не была бы устранена. В самом деле, А своей медленностью, поскольку оно причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II), противостояло бы скорости В,следовательно, В также должно бы отразиться в противоположном направлении, причем В потеряло бы все свое направление и часть своего движения, перенесенную на А;эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем предположении и касающаяся только направления, будет наименее возможной для этого тела, так что (по т. 23, ч. II) никакой другой не может произойти, что и требовалось доказать.

Надо заметить при доказательстве этой теоремы, что то же самое имеет место и в других случаях, именно мы не привели т. 19, ч. II, в которой доказывается,что направление может полностью измениться, причем само движение ничего не теряет. Однако на это надо обратить внимание, чтобы правильно понять силу доказательства. Ибо в т. 23, ч. II мы не сказали, что перемена безусловно всегда будет наименьшей, но лишь возможно наименьшей. Но то, что возможна перемена только в одном направлении, как предполагается в этом доказательстве, очевидно из т. 18 и 19, ч. II с кор.

Теорема 29. Пятое правило.

Если покоящееся тело А (см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет часть своего движения на А, а именно столько,

251

 

что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью (см. § 50, ч. II «Начал»).

Для этого правила, как и в предыдущем случае, также можно представить лишь три случая, в которых устраняется настоящая противоположность. Но мы докажем, что при моем предположении происходит наименьшая перемена в телах, и потому (по т. 23, ч. II) они должны измениться таким образом.

Доказательство. По нашему предположению, В переносит на А (по т. 21, ч. II) менее половины своего движения и (но кор. к т. 17, ч. II) менее половины своего направления. Но если бы В но захватывало за собой А,но отталкивало его в противоположном направлении, то оно потеряло бы все свое направление и перемена была бы больше (по кор. к т. 26, ч. II); она была бы гораздо больше, если бы В потеряло все свое направление и, кроме того, еще часть своего движения, как предполагается в третьем случае. Поэтому предположенная мною перемена будет наименьшая, что и требовалось доказать.

Теорема 30. Шестое правило.

Если покоящееся тело А совершенно равно движущемуся к нему телу В, то оно частью будет увлекаться им, частью тело В будет отталкиваться телом А в противоположном направлении.

И здесь, как в предыдущем случае, можно представить себе лишь три возможности, и потому я должен доказать, что при нашем предположении имеет место возможно меньшая перемена.

Доказательство. Если тело В увлекает за собою тело А так, что оба начинают двигаться с равной скоростью, то в одном будет столько же движения, сколько в другом (по т. 22, ч. II и по кор. к т. 27, ч. II). Тело В в этом случае должно потерять половину своего направления, а также (по т. 20, ч. II) половину своего движения. Если же В отталкивается телом А в противоположную сторону, то оно потеряет все свое направление, но удержит все свое движение (по т. 18, ч. II): но эта перемена равна предыдущей (но кор. к т. 26, ч. II). Но ни то, ни другое не может произойти, ибо если бы А удерживало свое состояние и могло изменить направление В,то А должно быть (по акс. 20) сильнее В,что было бы противно пред-

252

 

положению. Если же В увлекло бы с собой А,пока оба нестали бы двигаться с равной скоростью, то В было бы сильнее А,что также противоречит допущению. Но так как ни одно из двух не может иметь места, то остается лишь третье, именно, что В подвигает тело А немного далее и само немного отталкивается им, что и требовалось доказать (см. § 51, ч. II «Начал»).

Теорема 31. Седьмое правило.

Если В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В, следуя за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если при этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка величины А, то В перенесет на А столько своего движения, что после этого оба тела будут двигаться с равной скоростью и в том же направлении. Ио если бы излишек величины А был больше излишка скорости В, то В было бы отражено телом А в противоположном направлении, но удержало бы при этом все свое движение.

Прочти § 52, ч. II «Начал». Здесь, как и раньше, можно себе представить лишь три случая.

Доказательство первой части. Тело В не может отталкиваться телом А в противоположном направлении, так как В предполагается сильнее А (по т. 21 и 22, ч. II и акс. 20), следовательно В,будучи сильнее, увлечет с собой А,притом так, что оба тела будут двигаться с равной скоростью. Ибо тогда наступит возможно меньшая перемена, как это очевидно из вышесказанного.

Доказательство второй части. Тело В в этом случае не может увлечь А,так как оно (по т. 21 и 22, ч. II) предполагается слабое (по акс. 20); оно не может также сообщить ему части своего движения. Поэтому В (по кор. к т. 14, ч. II) сохранит все свое движение, но не в том же направлении, так как предполагается, что оно в этом встречает препятствие со стороны А. Таким образом, В отразится (по сказанному в гл. 2 «Диоптрики») в противоположном направлении, но удержит при этом все свое движение (по т. 18, ч. II), что и требовалось доказать.

Надо заметить, что и здесь, и в предыдущих теоремах мы считали доказанным, что всякое тело, встречающее по прямой линии другое, которое безусловно препятствует

253

 

ему продолжать движение в том же направлении, должно двигаться в противоположном и ни в каком ином направлении. Чтобы убедиться в этом, прочти гл. 2 «Диоптрики».

Схолия. До сих пор для объяснения перемен, испытываемых телами при столкновении, я рассматривал лишь два тела, как будто они полностью отделены от всех других тел, и я не обращал внимания на окружающие их тела. Теперь я намерен исследовать их состояние и их перемены, принимая в расчет окружающие их тела.

Теорема 32

Если тело В окружено малыми движущимися телами, толкающими его по всем направлениям с равной силой, то оно будет оставаться неподвижно на одном и том же месте, пока не присоединится еще другая причина.

Доказательство. Эта теорема очевидна само собой, ибо если бы тело от толчка телец, движущихся с одной стороны, двигалось в одном направлении, то движущие его тельца должны бы были толкать его с большей силой, чем толкающие его одновременно тельца с другой стороны, которые не могут устранить своего действия (по акс. 20), что шло бы против допущения.

Теорема 33

При вышеизложенных условиях от приложения малейшей силы тело В может двигаться по всякому направлению.

Доказательство. Все тела, непосредственно прилегающие к В,будучи подвижны (по допущению), а В неподвижно (по т. 32), тотчас при соприкосновении с В отразятся в другую сторону, не теряя своего движения (по т. 28, ч. II). Поэтому В будет постоянно само оставляемо непосредственно прикасающимися телами, и, как бы велико ни было В,не нужно никакой силы для отделения его от непосредственно соприкасающихся тел (согласно четвертому из наших замечаний к опр. 8). Поэтому даже малейшая внешняя сила, могущая сообщиться телу В,всегда больше той, которая стремится удержать его на своем месте (ибо мы уже доказали, что ему не при-

254

 

суща никакая сила, которая могла бы удержать его у непосредственно касающихся тел). Вместе с тем сила телец, толкающих В в том же направлении, больше силы других телец, толкающих В в противоположном направлении (так как сила и тех и этих предполагается одинаковой, если не прилагается никакая внешняя сила). Таким образом, тело В (по акс. 20) будет приводиться в движение этой внешней силой, как бы она ни была мала, притом в любую сторону, что и требовалось доказать.

Теорема 34

Тело В при этих условиях не может двигаться быстрее, чем оно побуждается внешней силой, хотя бы окружающие его частицы двигались гораздо быстрее.

Доказательство. Тельца, которые одновременно с внешней силой толкают тело В в том же направлении, хотя бы они двигались гораздо быстрее, чем может двигать В внешняя сила, все-таки (по предположению) не будут иметь большей силы, чем тельца, толкающие В в противоположную сторону, и потому их общая сила будет истрачена на сопротивление последним тельцам, причем они не перенесут на В (по т. 32, ч. II) какой-либо скорости. Но так как никакие иные условия или причины не предполагаются, то В получит свою скорость лишь от этой внешней причины, и потому оно (по акс. 8, ч. 1) не может двигаться скорее, чем будучи приведено в движение внешней силой, что и требовалось доказать.

Теорема 35

Если тело В приводится в движение внешним толчком, то оно получает большую часть своего движения от постоянно окружающих его тел, а не от внешней силы.

Доказательство. Каким бы большим ни предполагалось В,оно все-таки приводится в движение малейшим толчком (по т. 33, ч. II).

Теперь предположим, что В вчетверо больше внешнего тела, сила которого дает ему толчок; тогда оба (по предыдущей теореме) будут двигаться с равной скоростью, и в В будет вчетверо больше движения, чем во внешнем теле,

255

 

толкающем его (по т. 21, ч. II). Поэтому оно получит большую часть своего движения (по акс. 8, ч. 1) не от внешнего тела. А так как сверх этого не предполагается никаких иных причин, кроме окружающих В тел (само В предположено неподвижным), то оно получит (по акс. 7, ч. 1) большую часть своего движения только от окружающих его тел, а не от внешней силы, что и требовалось доказать.

Надо заметать, что мы здесь не можем сказать, как выше, что движение частиц, идущих из одного направления, необходимо для сопротивления движению частиц, идущих с противоположной стороны. Ибо тела, идущие друг против друга с равным движением (как здесь предположено), противоположны одно другому лишь по направлению *, а не по движению (по кор. к т. 9, ч. II). Поэтому на взаимное сопротивление они расходуют лишь свое направление, а не движение, так что тело В не может получить от окружающих его тел ни своего направления, ни (по кор. к т. 27, ч. II) своей скорости, поскольку она отличается от движения, но лишь свое движение. Даже если появится внешняя причина, тело необходимо должно приводиться в движение другими телами, как мы доказали в этой теореме и как это очевидно из способа, которым доказана т. 33.

Теорема 36

Если бы тело, например наша рука, могла двигаться по любому направлению с равным движением, нисколько не противодействуя другим телам и не встречая противодействия со стороны других тел, то в пространстве, по которому она движется, необходимо будет двигаться столько же тел в одном направлении, сколько во всяком другом, со скоростью, равной скорости руки.

Доказательство. Тело не может двигаться через пространство, которое наполнено телами (но т. 3, ч. II). Поэтому я говорю, что пространство, через которое наша рука может двигаться, наполнено телами, которые будут

__________________

* См. т. 24, ч. II, где показано, что два тела, оказывающие взаимное сопротивление, расходуют на него свое направление, а не свое движение.

256

 

двигаться по указанным условиям. Если кто оспаривает это, то мы допустим, что тола находятся в покое или движутся другим образом. Находясь в покое, они необходимо будут оказывать сопротивление движению нашей руки до тех пор (по т. 14, ч. II), пока ее движение не сообщится им, и они будут двигаться с нею в том же направлении и с одинаковой скоростью (по т. 20, ч. II). Но мы предположили, что они не оказывают сопротивления, следовательно, эти тела движутся. Это первое.

Далее, они должны двигаться по всем направлениям. Если кто это оспаривает, то допустим, что они не движутся в одном направлении, например от А к В. Таким образом, если рука движется от А к В,то она неизбежно встретится с движущимися телами (по первой части этого доказательства), притом, как мы допустили, с телами, движущимися в ином направлении, чем рука. Поэтому они будут ей оказывать сопротивление (по т. 14, ч. II) до тех пор, пока они
не будут двигаться в одинаковом направлении с рукой (по т. 24 и сх. к т. 27, ч. II). Но тела (по допущению) но оказывают ей сопротивления, следовательно, они будут двигаться по всем направлениям. Это второе.

Затем эти тела будут двигаться в любом направлении с одинаковой степенью (vis aequalis) скорости. Если же допустить, что это происходит не с равной скоростью, то этим предполагается, что тела движутся от А к В не с такой степенью скорости, как тела, движущиеся от А к С. Поэтому, если бы рука двигалась с той же скоростью (так как допускается, что она может двигаться равным движением без сопротивления по всем направлениям), как тела движутся от А к С,то тела, движущиеся от А к В,оказывали бы руке сопротивление (по т. 14, ч. II) до тех пор, пока они но станут двигаться с одинаковой скоростью, как и рука (по т. 31, ч. II). Но это противно допущению, поэтому тела будут двигаться с равной силой и скоростью по всем направлениям. Это третье.

Если, наконец, тела двигались бы не с одинаковой степенью скорости, по сравнению с рукой, то рука должна

257

 

была бы двигаться или медленнее, т.е. сменьшей скоростью, или скорее, т.е. с большей скоростью, чем тела. В первом случае рука будет оказывать сопротивление толам, следующим за ней в том же направлении (по т. 31, ч. II). В последнем случае тела, за которыми следует рука и движется с ними в одном направлении, будут оказывать ей сопротивление (по той же теореме). Но то и другое противно допущению. Поэтому, если рука не может двигаться ни медленнее, ни быстрее, то она должна двигаться с одинаковой степенью скорости, как и тела, что и требовалось доказать.

Если не ясно, почему я говорю «с одинаковой степенью скорости», а не просто «с одинаковой скоростью», то надо прочесть сх. к кор., т. 27, ч. II. А если не ясно, почему рука, двигаясь, например, от А к В, не противится телам, которые одновременно с равной силой движутся от В к А, то надо прочесть т. 33, ч. II. Из нее видно, что сила этих тел уравновешивается силой тех тел, которые одновременно с рукой движутся от А к В (так как эта сила по части этой теоремы равна той).

Теорема 37

Если какое-нибудь тело, например А, может в результате приложения малейшей силы двигаться в любом направлении, то оно необходимо окружено телами, которые движутся с равной между собою скоростью.

Доказательство. Тело А должно быть окружено со всех сторон телами (по т. 6, ч. II), которые движутся

равномерно по всем направлениям. Ибо если бы они находились в покое, то А не могло бы двигаться в ре
зультате приложения малейшей силы по любому направлению (как предположено); по меньшей мере эта сила должна быть так велика, чтобы она могла двигать за собой тела, непосредственно соприкасающиеся с А (по акс. 20, ч. II). Далее, если бы тела, окружающие тело А,двигались в одном направлении с большей силой, чем в другом, например от В к С,с большей силой, чем от С к В, то, поскольку А со всехсторон окружено телами (как уже доказано),

258

 

тела, движущиеся от В к С,будут необходимо (по доказанному в т. 33) увлекать тело А в том же направлении. Таким образом, не всякая малейшая сила б дет достаточна для передвижения А к В,но только такая, которая могла бы восполнить избыток движения тел, движущихся от В к С (по акс. 20). Поэтому тела, окружающие А,должны двигаться по всем направлениям с равной силой, что и требовалось доказать.