Теоремы о пересекающихся хордах окружности, касательной и секущей (двух секущих) к окружности из общей точки

1. При пересечении хорды делятся на отрезки, произведения которых равны.

2. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

3. Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

4. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

16. Измерение углов, связанных с окружностью: центральный, вписанный, с вершиной внутри окружности, с вершиной вне окружности и пересекающими её сторонами, между хордой и касательной с общей точкой.

1. Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается.

2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3. Вписанный угол равен половине централь­ного угла, опирающегося на ту же дугу.

4. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

5. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну и ту же сторону от этой хорды, равны.

6. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

7. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

8. Угол между пересека­ющимися хордами измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается, заключенных между этими хордами.

9. Угол между се­кущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полу­разностью дуг, на которые он опирается, заключенных между секущими.

10. Угол между касательной и хордой измеряется поло­виной дуги, заключенной между касательной и хордой.

17. Формулы площадей треугольников, четырёхугольников (общего и частных видов), круга и его частей.

Треугольник:

1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны; — угол между сторонами a и b; — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S = ah_a, S = ab sin , , S = pr,

2. Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота, проведенная к стороне c.

S = ab, S = ch_c

3. Равносторонний треугольник

Четырехугольники:

1. Произвольный выпуклый четырехугольник
d₁, d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь. S = d₁d₂ sin

2. Параллелограмм
a и b — смежные стороны; — угол между ними; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S = ah_a, S = ab sin , S = d₁d₂ sin

3. Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

, S = lh

4. Прямоугольник

S = ab, S = d₁d₂ sin

5. Ромб

S = ah_a, S = a²sin , S = d₁d₂

6. Квадрат
d — диагональ.

S = a² S = d²

^{Окружность:}

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей ее окружности на радиус:

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле , где r – радиус окружности, α – градусная мера соответствующего центрального угла.

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле , где r – радиус окружности, α – градусная мера соответствующего центрального угла, ограничивающего сегмент. Знак «+» выбирается, если α < 180º; знак «–» – если α > 180º.