1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:
а)  ;
| г)  ;
|
б)  ;
| д)  ;
|
в)  ;
| е)  .
|
2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:
а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
|
3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:
а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
|
Лекция 15
Понятие о классификации линий второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго
Порядка к каноническому виду
Понятие о классификации линий второго порядка
Уравнение
, (43)
где 
не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.
Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).
Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.
Справедлива
Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.
В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:
| Название линии второго порядка | Каноническое уравнение |
| 1. Эллипс 2. Гипербола 3. Парабола 4. Мнимый эллипс 5. Пара пересекающихся прямых 6. Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 7. Пара параллельных прямых 8. Пара мнимых параллельных прямых 9. Пара совпавших прямых | 
 или 
 или 
 или 
 или 
 или 
|
Задания для самостоятельной работы
1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:
а) 
; г) 
;
б) 
; д) 
;
в) 
; е) 
.
2. Определите тип линии второго порядка:
а) 
; г) 
;
б) 
; д) 
;
в) 
; е) 
.
3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:
а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:
а) 
; г) 
;
б) 
; д) 
;
в) 
; е) 
.
Приведение общего уравнения линии второго порядка
К каноническому виду
По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат 
, в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат 
, в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.
Итак, пусть линия второго порядка 
задана в системе общим уравнением .
Если 
, то приведение общего уравнения линии к каноническому виду происходит в два этапа:
I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение 
. Угол поворота 
находят следующим образом:
Тогда координаты координатных векторов 
и 
в системе 
будут находиться так:
. (44)
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол 
:
(45)
Подставляем 
и 
из формул (45) в общее уравнение линии . После преобразований исчезает член 
. Получаем уравнение линии в промежуточной системе координат 
.
II этап. Выделяем полные квадраты при 
и 
и совершаем перенос начала 
в точку 
по формулам
(46)
Координаты 
точки 
вычислены в системе .
Подставляем 
из формул (46) в уравнение линии в системе . После преобразований получаем каноническое уравнение линии в новой системе и определяем ее вид.
Строим старую систему координат 
, промежуточную , новую и линию по ее каноническому уравнению в системе .
Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:
1.Уравнение содержит переменные и во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при и . В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.
2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.
3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.
Замечание 2. Если в общем уравнении линии 
, то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача. Привести общее уравнение 
линии к каноническому виду, определить вид линии и построить ее изображение.
Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим 
.
Найдем угол поворота координатных осей:
Находим координаты координатных векторов 
и 
в системе координат 
:
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
Подставляем и из полученных формул в общее уравнение линии :
После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат :
.
II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и :
Положим
тогда получаем формулы переноса начала:
При этом точка переходит в точку 
, координаты которой найдены в системе .
Линия в системе будет иметь уравнение
.
Приведем это уравнение к каноническому виду:
.
Следовательно, - гипербола с мнимой осью 
.
Последовательность построения изображения гиперболы такова:
а) Строим старую систему координат .
б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторов 
и 
на угол , построим сначала вспомогательные векторы 
и 
, которые будут коллинеарны векторам 
и 
соответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами 
и 
(рис. 98). Тогда единичные векторы и будут сонаправлены с векторами 
и 
, а оси координат 
и 
пройдут через точку и точки и соответственно (рис. 98).
в) Строим новую систему координат .
г) Строим линию по ее каноническому уравнению в системе координат (рис. 99).
 |
