Тема 6.2. Определенный интеграл

Тема 5.1 Производная функции.

№1. Найти производную функций:

а) ; б) ; в) ; г) д) ; е) ;

ж) ; з) .

№2. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .

№3. Составить уравнение касательной к кривой ,которая проходит параллельно прямой .

№4. Скорость точки, которая движется прямолинейно, задана уравнением . В какой момент времени ускорение точки будет равно 2м/с²?

№5. Точка движется по координатной прямой по закону . В какой момент времени скорость точки будет равна 19? ( - координата точки в момент времени ).

№6. Вращение тела вокруг оси происходит по закону . Найти, в какой момент времени тело остановится (t- время в секундах, - угол поворота в радианах)

№7. По прямой движутся две материальные точки по законам и . В какой момент времени их скорости будут равны?

Тема 5.2. Исследование функций с помощью производной.

№1. Проведите полное исследование функции по данной схеме и постройте его график.

Схема исследования функции для построения ее графика:

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, является ли функция четной и нечетной (или периодической)

3.Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).

4.Производная и критические точки функции.

5.промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и значения функции в этих точках.

6.Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).

7.Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках)

8.Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).

9. На основании полученного исследования построить график функции.

№2. Разбейте число 18 на два положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.

№3. Площадь прямоугольника равна 25 см². Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

№4. Периметр равнобедренного треугольника равен 60 см. При каком значении высоты, проведенной к основанию треугольника, площадь треугольника наибольшая?

№5. На странице текст занимает 384 см². Верхнее и нижнее поля должны быть по 2 см, правое и левое – по 3 см. Какими должны быть размеры страницы с точки зрения экономии бумаги?

Тема 6.1 Неопределенный интеграл; решение задач.

№1. Найдите неопределенный интеграл:

а) ; б) ; в) ;

г) ; тд) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) ;

м) ; н) ; о)

 

Тема 6.2. Определенный интеграл.

№1. Подготовить реферат на одну из тем:

1)Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

2)Интеграл и его применение.

3)Общее понятие определенного интеграла, его геометрический и механический смысл.

4)Применение определенного интеграла к решению физических задач.

5) Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

6) Применение определенного интеграла к вычислению объемов.

7)Свойства определенного интеграла.

8)Методы интегрирования.

9)Интегральное исчисление. Исторический очерк.

10)Лейбниц Готфрид Вильгельм.

№2. Вычислить интеграл:

а) ; б) ;

№3. Дана функция .

Вычислить: а) ; б) .

№4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и

№5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , касательной к этой параболе в ее вершине и прямой .

№6. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) , , , ; б) ,, , ;

№7. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

а) , ; б) ,, , , ;

№8. Скорость движения точки меняется по закону , где - скорость, м/с; t - время, с. Найдите:

а) путь пройденный точкой за первые три секунды движения;

б) путь, пройденный точкой за третью секунду;

в) путь, пройденный точкой от начала движения t=0 до ее остановки.

№9. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы растянуть

пружину, находящуюся в положении равновесия, на 10 см. Известно, что при

растяжении пружины на 1 см сила натяжения равна 5 Н.

№10. Дан прямоугольный неоднородный стержень, плотность в точке определяется по формуле . Найдите массу стержня длиной .