Дифференциальные уравнения первого порядка

Справочный материал

1. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные различных порядков .

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называют его порядком.

– дифференциальное уравнение n-го порядка.

– дифференциальное уравнение первого порядка.

– диф. уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

 

2. Решением дифференциального уравнения называют всякую функцию, которая обращает уравнение в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называют такую функцию , , которая является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном с.

Частным решением дифференциального уравнения 1 порядка называют функцию , полученную из общего решения при конкретном значении .

Общее решение дифференциального уравнения, записанное в неявном виде , называется общим интегралом, тогдауравнение – частный интеграл.

Задача отыскание частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.

 

3. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют уравнение вида

(1)

(1^/)

Правило решения:

1) разделить переменные;

2) интегрируя уравнение почленно, найти общий интеграл дифференциального уравнения;

3) выяснить имеет ли уравнение (1) особые решения, не входящие в общий интеграл;

4) если требуется, найти частные решения.

 

4. Однородным дифференциальным уравнением 1 порядка называют уравнение вида

(2)

где – однородная функция нулевого порядка, т.е. , .

Однородное уравнение можно представить в дифференциальной форме:

, (2^/)

где – однородные функции одного порядка.

При решении однородного уравнения его можно записать в виде: (2^//)

и с помощью замены или , где – искомая функция, преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Дифференцируя равенство , имеем . Подставляя у и в уравнение (2^//), получим

– уравнение с разделяющимися переменными, решив которое и заменив u на , получим решение однородного уравнения (2^//).

 

5. Линейное дифференциальное уравнение 1 порядка имеет вид:

(3)

Линейное уравнение содержит искомую функцию и ее производную и не содержит их произведений.

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разрешающимися переменными при помощи подстановки , где , – функции от х, одну из которых можно выбрать произвольно. Тогда, дифференцируя подстановку, получаем

Подставляя в уравнение (3) и группируя относительно u, имеем

(3^/)

Выбирая функцию v, так, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль, получаем – уравнение с разделяющимися переменными, имеющее частное решение .

Подставляя в уравнение (3^/), имеем – уравнение с разделяющимися переменными, откуда находим . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид .

 

6. Уравнением Бернулли называют уравнение вида

(4)

Решают уравнение также как линейное, т.е. с помощью подстановки приводят к уравнению с разделяющимися переменными.

Задачи

1. Проверить, являются ли решениями (интегралами) дифференциальных уравнений данные функции

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Найти общее (частное) решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Найти общий (частный) интеграл линейного дифференциального уравнения

а) ; б) ;

в) ; г) .

5. Решить уравнение Бернулли

а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее (частное) решение

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .