Тема 2. Общая характеристика эконометрического моделирования

Рассмотрим типичную для исследования социально-экономических объектов ситуацию. Имеются разные экономические показатели, потенциально управляемые непосредственно и опосредованно. При этом циклически возобновляются похожие условия управления. И имеется возможность измерять (отслеживать) значения указанных показателей в совокупности. Тогда основная цель применения эконометрической модели – обеспечить на основании накопленных данных прогнозирование значений зависимой переменной(объясняемой, опосредованно управляемой)при определённых значениях других переменных (объясняющих, непосредственно управляемых). Причём, параллельно с оценкой ожидаемой погрешности прогнозов либо из-за отсутствия данных, либо из-за случайности. Так, по конкретным данным может быть восстановлена зависимость, например, в форме y=18000-1000·x₁-0,5·x₂+ε, где y – цена автомобиля, x₁ – срок его эксплуатации (в годах), x₂ – пробег (в тыс.км), ε – погрешность(ошибка) [1, с.10]. Тогда допустимо оценивать стоимость автомобиля при известных сроке эксплуатации и пробеге.

Эконометрическое моделирование, предусматривает оперирование понятием «вероятность», предполагая идеализацию – отвлечение от измерительных погрешностей, допуская потенциальную многократную повторяемость статистической проверки. В целом, предполагается стохастическая (случайная) природа исследуемых явлений. Математические модели скрытых (неявно существующих) закономерностей вместе с их теоретическим и эмпирическим анализом основаны на теории вероятностей и математической статистике. Теоретико-вероятностный, статистический подход к выработке рекомендаций по принятию управленческих решений диктуется и обычным здравым смыслом. Такой подход основан на применении пространства возможных событий и, в целом, расширяет знания о природе явлений, в частности о возможностях приложения полученных выводов на основании и теоретико-вероятностных заключений, и на основании накопленной статистики практических проявлений, связанных с теорией. В частности это позволяет «сворачивать» таблицы данных, выявлять эконометрические зависимости параллельно с оценками ожидаемых отклонений при их применении.

Термин «регрессия» в обыденном понимании иногда увязывают с понятиями «отступление», «возврат». В статистике термин «регрессия» интерпретируется иначе – если и отступление, то отступление к «истокам» (скорее – «восхождение к сущности»). Специальный математический смысл термина «регрессия» – это зависимость среднего значения какой-либо величины от нескольких других величин. «Парная регрессия», предполагает зависимость среднего значения какой-либо величины (у) от некоторой другой величины (х). В отличие от функциональной зависимости (у = f(х)), когда каждому значению аргумента (х) ставится в соответствие единственное значение функции (у), при наличии регрессионной связи одному значению «объясняющей» переменной (х) могут соответствовать разные, в зависимости от случая, значения «объясняемой» переменной (у). Если при значении «объясняющей» переменной х=х_i наблюдается m значений у _i1, у _i2,…, у _im «объясняемой» переменной у, то зависимость математического ожидания

у _i* = (у _i1 + у _i2+…+ у _im)/m

от х_i является регрессией в статистическом понимании этого термина.

Понятие «парная регрессия», рассматриваемое в рамках специальных дисциплин, таких как теория вероятностей, математическая статистика, эконометрика, предусматривает рассмотрение случайных величин Х, У с заданным совместным распределением вероятностей. Получается, что при фиксированном значении Х=х

величина У является случайной величиной с определенным (зависящим от значения х)

условным распределением вероятностей. По существу, регрессия величины У по величине Х определяется условным математическим ожиданием У при условии, что Х=х:

E(Y|Х=х) = у(х)

Уравнение у = у(х), в котором х выступает в роли «независимой» переменной, называют уравнением регрессии. Соответствующий график (на плоскости) принято считать линией (кривой) регрессии величины У по величине Х; х называют регрессором. Эконометрическая модель принимает вид:

Y = E(Y|Х=х) + ε,

ε – возмущение (ошибка). Получаем уравнение регрессионной модели. Заметим, эконометрическая модель не всегда является регрессионной, т.е. объяснённая часть не всегда представляет собой условное математическое ожидание (возможны смещения).

Точность, с которой уравнение регрессии величины Y по величине X отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х=х:

D(Y|X=х) = σ²(х).

Если σ²(х)= 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью (с вероятностью 1) утверждать, что величины Y и X связаны строгой функциональной зависимостью. Если σ²(х)≠ 0 ни при каких значениях х и у(х) не зависит от х, то говорят, что регрессия величины Y по величине X отсутствует. «Регрессия» обладает следующим важным свойством: среди всех действительных функций у = у(х) минимум мат.ожидания

E(Y- у(х))²

достигается для функции у(х)= E(Y|Х=х), то есть регрессия величины Y по величине X дает наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X. Это свойство используют для прогноза Y по X: если наблюдается лишь компонента X вектора [ X, Y ], то в качестве прогнозируемого значения Y используют величину у(X).

Регрессионная модель, восстанавливающая зависимость, в общем случае имеет вид y= f(x₁,…,x_k,β₁, …,β_p), где x₁,…,x_k – независимые (объясняющие) переменные, β₁,…, β_p – параметры. В зависимости от вида функции (f) выделяют линейные и нелинейные модели. Построение указанной модели предусматривает анализ экономической сущности объекта с целью определения объяснимого фактора (y), выбор вида f, подбор объясняющих факторов (переменных x₁,…,x_k). Кроме того, потребуется применить специальные вероятностно-статистические (математические) методы для выявления параметров модели β₁,…, β_p. При этом предполагается наличие «статистического ансамбля» (имеется практическая или мысленно представимая возможность многократного тождественного воспроизведения событий) и данных, характеризующих проявления искомой зависимости.

Наличие регрессии может проявляться в том, что для одного Х уместно наблюдать разные значения величины Y. При этом природа ошибки может быть разной. Во-первых, модель в виде определенной зависимости всегда предполагает упрощение реальности (возможно, отброшены влияющие на результат факторы, а значит и соответствующие переменные). Во вторых, могут присутствовать ошибки измерений. Тогда случайной величине ε_i может соответствовать случайная величина Y _i согласно линейной модели

Y _i=a+b·X _i+ε_i, i=1,…,n

(независимо от того, что X _i детерминированная величина, то есть неслучайная). Типовые ситуации приложений модели парной линейной регрессии для пространственных данных («cross-sectional data») определяют следующие гипотезы:

1. Y_i=a+b·X_i+ε_i, i=1,…,n.

2. X _i детерминированная величина; вектор [ X₁,…,X _n ], неколлинеарен вектору [ 1,…,1 ].

3а. E(ε_i) = 0, E(ε_i²) = V(ε_i) = σ² – не зависит от i (i=1,…,n).

3b. E(ε_jε_i) = 0 при j≠i (некореллированность ошибок при разных наблюдениях).

Часто добавляют условие…

3c. ε_i ~ N(0, σ²),то есть ε_i – нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией σ².

Иногда на практике могут присутствовать и нестандартные условия, проявляющиеся в специфике соответствующих гипотез. Так, условие независимости дисперсии от номера наблюдений (E(ε_i) = 0, E(ε_i²) = V(ε_i) = σ, i=1,…,n) называют гомоскедастичностью (дополняющее условие, то есть невыполнение гомоскедастичности, называют гетероскедастичностью, например, может быть E(ε_i) = X _i² с асинхронным разбросом ошибки в зависимости от i). Условие E(ε_jε_i) = 0, в частности, не характерно временным рядам. При E(ε_jε_i) ≠ 0 говорят о наличии автокорреляции остатков.

В моделях временных рядов (применяемых для «time-series data» – упорядоченных по времени данных) в аддитивной форме один фактор y= f₁(x₁,…,x_k,t,β₁₁, …,β₁_p)+ f₂(x₁,…,x_k, t,β₂₁, …,β₂_q)+ε_t увязывают с независимыми (объясняющими) переменными дважды, выделяя так называемый «тренд» (f₁) и «сезонность»(f₂). Здесь ε_t – случайная (стохастическая) компонента, зависящая от времени t. Мультипликативная форма во многом аналогична y= f₁(x₁,…,x_k,t,β₁₁, …,β₁_p)× f₂(x₁,…,x_k,t,β₂₁, …,β₂_q) +ε_t. Причем сезонность, в свою очередь, может включать несколько составляющих (например, недельную, проявляющуюся ежемесячно, годовую тенденции).

Обобщением понятия регрессионная модель выступает модель в форме системы одновременных уравнений. Принципиальное отличие в том, что рассматриваются несколько (конечное множество) регрессионных моделей в совокупности. Естественно их одновременное использование обеспечивает поиск решений принципиально по иному, нежели, например, при последовательном применении каждой из моделей отдельно.

Прикладное математическое моделирование – это циклически возобновляемый процесс. Основные этапы вероятностно-статистического моделирования таковы:

1) постановочный, включает определение набора факторов, подразделение их на объясняющие (входные переменные) и объяснимые (выходные показатели);

2) априорный, выбор связей между факторами;

3) информационно-статистический, сбор информации по объясняющим факторам;

4) спецификация модели, выявление структурных характеристик модели;

5) идентификация модели, подбор значений параметров модели;

6) верификация модели, проверка адекватности прогнозов по модельным решениям результатам применения модельных решений на практике;

Наличие 3) и 5) этапов определяет вероятностно-статистическую сущность модели.

Вопросы по 2-ой теме:

2.1. В чём основная цель применения эконометрической модели о связи между показателями?

2.2. Какова роль теории вероятностей, математической статистики в эконометрике?

2.3. Каков специальный математический смысл термина «регрессия», что является регрессией в статистическом смысле?

2.4. Как принято интерпретировать понятие «парная регрессия»? Что принято считать уравнением, кривой (линией) регрессии, регрессионной переменной, регрессором?

2.5. Как связаны строгая функциональная зависимость между переменными и соответствующая «парная регрессия»? В чем проявляется оптимальная вероятностно-статистическая природа модели парной (множественной) регрессии?

2.6. Как связаны детерминированная и случайная величины в рамках модели парной линейной регрессии? Какова природа возможных ошибок в оценивании с помощью модели парной линейной регрессии? Какие гипотезы сопровождают стандартные и нестандартные условия приложений модели парной линейной регрессии? Что означают: гетероскедастичность, автокорреляция остатков?

2.7. В чём специфика эконометрической модели временных рядов?

2.8. Что собой представляет эконометрическая модель «система одновременных уравнений»?

2.9. Каковы основные этапы эконометрического моделирования?