Свободные электромагнитные колебания

Свободными (собственными) электромагнитными ко­лебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Рассмотрим колебательный контур, со­стоящий из резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 14.1); сопротивлением проводов и возможным излучением электромагнитных волн пренебрегаем. Конденсатор ключом К заряжается от источ-

ника, а затем разряжается на резистор и катушку индуктивности. Приэтом в контуре возникает ЭДС самоиндукции (ко­торая, согласно закону Ома, будет равна сумме напряжений на эле­ментах цепи: на резисторе U_R = IR и конденсаторе U_c = q/c Поэтомуnзапишем

Преобразуем это уравнение, поделив все члены на L

 

Это есть дифференциальное уравнение свободных электромаг­нитных колебаний. Произведя замены:

получим уравнение

Незатухающие колебания. Если контур не содержит резис­тора (рис. 14.2), то из (14.4) имеем:

Известно, что (14.5) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (5.8)] имеет вид

где q_m — наибольший (начальный) заряд на обкладках конденса­тора, ω₀ — круговая частота собственных колебаний (собст­венная круговая частота) контура, φ₀ — начальная фаза.

Графики зависимости заряда (напряжения) от времени анало­гичны графику зависимости смещения x(t), а график зависимости силы тока от времени — графику скорости v (t) (см. рис. 5.4).

Из (14.3) найдем выражение для периода собственных колеба­ний (формула Томсона):

Затухающие колебания. При наличии резистора (рис. 14.1) процесс в контуре описывается уравнением (14.4), которое анало­гично уравнению (5.19) для механических колебаний. При усло­вии, что затухание не слишком велико, находим следующее решение [см.

(5.20)]:

Неравенство (14.12) выполняется, в частности, в контуре при отсутствии индуктивности (L → 0). Для этого случая (разряд кон­денсатора на резистор) из (14.1) имеем

Интегрируя последнее уравнение, находим

 

 

Потенцируя второе из выражений (14.14), имеем

 

 

Уравнение (14.15) описывает процесс разрядки конденсатора С на резистор R. При отсутствии индуктивности колебания не воз­никают (рис. 14.3, а). По такому закону изменяется и напряже­ние на обкладках конденсатора. Теоретически такой процесс, как это следует из (14.15), протекает бесконечно долго, однако приня­то длительность подобных процессов оценивать временем, в тече­ние которого параметр, характеризующий процесс (в данном слу­чае заряд и напряжение), уменьшится в е раз (постоянная вре­мени, τ).

Выражение для постоянной времени можно получить из (14.15),

если вместо q подставить q_m/e, a t заменить на τ: откуда для контура с конденсатором и резистором постоянная времени равна

 

Можно показать, что зарядка конденсатора от источника по­стоянной ЭДС также происходит по экспоненциальному закону

График этой зависимости представлен на рис. 14.3,6.

 

Переменный ток

В широком смысле слова переменный ток — любой ток, изме­няющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к квазистационарным токам, зависящим от времени по гармоническому закону.

Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи зна­чительно меньше периода колебаний.

Будем считать, что для квазистационарных токов, так же как и для постоянных, сила тока одновременно одинакова в любом се­чении неразветвленного проводника. Для них справедлив закон Ома, однако сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока. Потерями энергии на электромагнитное излучение этих то­ков пренебрегаем. Переменный ток можно рассматривать как вы­нужденные электромагнитные колебания.

Представим три разных цепи (рис. 14.4, а — 14.6, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение

 

где U_m — амплитудное значение напряжения, ю — круговая час­тота колебаний.

Для цепи с резистором (рис. 14.4, а) выражение (14.18) запишем в форме

Используя закон Ома, получим выражение для тока через со­противление R:

где

-амплитуда тока. Как видно из (14.19) и (14.20), ток и напряжение при этом изменяются в одной фазе, что можно изобразить с помощью векторной диаграммы (рис. 14.4, б). На диаграмме амплитуды U_Rm и I_т представлены как одинаково направленные векторы, равномерно вращающиеся против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Про­екция этих векторов на «ось токов» (горизонтальная прямая) дает мгновенные значения напряжения и тока. В цепи с сопротивлением R (омическим сопротивлением) происходит выделение тепла.

Цепь, представленная на рис. 14.5, а, содержит катушку с ин­дуктивностью L, омическое сопротивление равно нулю.

Для этой цепи выражение (14.18) запишем в форме

При приложении переменного напряжения U_L в катушке возни­кает противоположно направленная ЭДС самоиндукции, при этом, согласно закону Ома, U_L = ξ_i. Подставляя (14.23) в (14.22), имеем

Постоянный член в (14.25) равен нулю, так как в цепи действу­ет только переменное напряжение и нет причин для появления постоянной составляющей тока. Окончательно получаем

— амплитуда тока. Как видно из (14.26) и (14.22), фаза тока (ωt - π/2), а напряжения — ωt. Следовательно, ток отстает по фазе от напряжения на π/2, что показано на векторной диаграмме рис. 14.5, б.

Сравнивая (14.27) с законом Ома, заметим, что выражение

играет роль сопротивления цепи, которое называют индуктив­ным. Это сопротивление вместе с U_Lm определяет силу тока: чем больше частота со и индуктивность L, тем меньше I_m.

При чисто индуктивном сопротивлении теплота в цепи не вы­деляется, так как R = 0. Роль индуктивности сводится к накопле­нию энергии магнитного поля и возвращению этой энергии обрат­но источнику тока. Таким образом, происходит периодическая перекачка энергии от источника в цепь и от цепи к источнику, в идеальном случае без потерь энергии.

В цепи, в которой имеется только конденсатор с электроемко­стью С (рис. 14.6 а), омическое сопротивление всюду, кроме ем­кости, и индуктивность цепи равны нулю. Омическое сопротивле­ние R конденсатора для постоянного тока бесконечно велико. На­пряжение на конденсаторе выражается зависимостью:

Ток в цепи будет определяться скоростью изменения заряда на обкладках конденсатора. Используя соотношение для электроем­кости, найдем

На основании (14.29) запишем

где

— амплитуда тока. Как видно из (14.31) и (14.29), фаза тока (ωt+ π/2), а фаза напряжения — ωt. Следовательно, ток опережа­ет напряжение на π/2, что показано на векторной диаграмме (рис. 14.6, б).

Сравнивая (14.32) с законом Ома, заметим, что выражение

играет роль сопротивления цепи, которое называют емкостным. Оно определяет амплитуду тока: чем меньше емкость С и частота со, тем меньше I_m. Для постоянного тока (ω = 0) емкость являет­ся бесконечно большим сопротивлением, и тока в такой цепи не будет. Заметим, что отсутствие конденсатора в цепях с резистором или индуктивностью формально означало не С = 0, т. е. С→ о.

Вцепи с конденсатором теплота не выделяется, так как омиче­ское сопротивление проводников равно нулю (нагревание ди­электрика в переменном электрическом поле здесь не учитывает­ся, оно будет рассмотрено позже). Роль емкости сводится к накоп­лению энергии электрического поля конденсатора и возвращению этой энергии обратно источнику тока. Происходит периодическая перекачка энергии от источника в цепь и от цепи к источнику, в идеальном случае без потерь энергии.

Из формул (14.28) и (14.33) можно убедиться, что индуктивное и емкостное сопротивление в СИ измеряются в омах.