Уравнение Эйлера
Уравнение 
(1)
Называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части
(2)
Называется однородным линейным уравнением Эйлера.
Уравнения (1) и (2) подстановкой 
приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Уравнения
и 
приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи замены 
Рассмотрим пример. 
Делаем замену 
Находим производные 
по переменной x, с учетом того, что x = x (t) и 
Подставляем 
в уравнение:
или 
значок t производных опущен. Получили уравнение с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения 
. Возвращаемся к переменной x ( 
): 
Глава III. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
§1. Основные понятия.
Рассмотрим систему 
уравнений с 
неизвестными функциями 
) и их производными до 
-ого порядка включительно:
(1)
Определение.
Число 
называется порядком системы уравнений (1). Слагаемое 
в предыдущей сумме называется порядком системы уравнений (1) относительно функции 
.
Определение.
Система уравнений, разрешённых относительно старших производных:
называется канонической системой ОДУ.
Утверждение.
Каноническую систему ОДУ 
-ого порядка 
всегда можно свести к системе уравнений 1-ого порядка, разрешённых относительно производной.
Рассмотрим на примере сведения уравнения 
порядка к системе уравнений 1-ого порядка. Сделаем замену
тогда уравнение преобразуется к виду 
Аналогичное преобразование можно сделать для всех переменных, входящих в систему.
Определение.
Система уравнений вида
(3)
где функции 
заданы в некоторой области 
, называется нормальной системой ОДУ.
В дальнейшем будем считать, что 
, 
.
Введём обозначения: 
, 
, 
,где 
, 
. Тогда система (3) может быть записана
. (4)
Определение.
Решением или частным решением системы уравнений (3) (векторного уравнения (4)) на интервале 
называется упорядоченная система 
функций 
, т.е. вектор-функция 
, удовлетворяющая следующим условиям:
1) 
.
2) 
.
3) 
на 
.
При этом вектор-функция 
задаёт в пространстве 
некоторую кривую, называемую интегральной кривой системы (3) (векторного уравнения (4)).
Определение.
Общим решением системы уравнений (3) (векторного уравнения (4)) на промежутке 
называется совокупность решений вида 
(или в векторном виде 
), зависящих от произвольных постоянных 
, которая при соответствующем выборе постоянных даёт любое частное решение.
Постановка задачи Коши.
Из общего решения системы уравнений (3) (векторного уравнения (4)) выделить такое частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям: 
, 
, …, 
, т.е. начальному условию
, (5)
где 
- заданные числа, называемые начальными данными или данными Коши, причём 
.
Геометрическая интерпретация.
Среди всех интегральных кривых системы уравнений (3) (векторного уравнения (4)) найти ту кривую, которая походит через заданную точку 
.
Теорема (ТСЕ для нормальной систему ОДУ).
Если Функции 
- непрерывны в прямоугольнике 
и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, начиная со 2-ого, т.е. 
такое, что 
.
то 
решение 
задачи Коши (3), (5), определённое при 
, где 
, 
.
/Без доказательства/.
Определение.
Нормальная система ОДУ вида
(6)
где 
и 
- функции, заданные и непрерывные на некотором интервале 
, называется линейной.
Пусть 
, 
, 
, тогда линейная система (6) может быть записана в векторной форме:
. (7)
Если на множестве вектор-функций 
ввести оператор 
, по правилу
, (*)
то система (7) перепишется ещё короче в операторном виде
. (8)
Очевидно, что оператор 
является линейным, т.е.
Ø 
,
Ø 
,
где 
, 
и 
- произвольные числа.
Определение.
Если 
, то система уравнений (6) и уравнения (7) и (8) называются однородными, в противном случае – неоднородными.
Теорема (ТСЕ решения задачи Коши нормальной линейной системы ОДУ).
Если Элементы матрицы 
и координаты вектора 
непрерывны на 
.
то 
, где 
, существует единственное решение задачи Коши: 
, причём это решение определяется на всём интервале 
, где 
/Без доказательства/