Механизм с качающимся цилиндром

Разработка математической модели механизма АКУ

 

Постановка эксперимента в рассматриваемом случае оптимизации кинематических параметров механизма АКУ связана с его компьютерным моделированием.

Каждый опыт из построенного в соответствии с принятыми генерирующими соотношениями плана представляет собой реализацию модели с соответствующими данному опыту параметрами механизма (координатами шарниров его звеньев).

Модель механизма представляет собой совокупность моделей его кинематических звеньев. Для построения математической модели механизма используется известный метод векторных контуров. Смысл его состоит в том, что для каждой двухповодковой структуры образуется векторный контур, составляющие векторы которого связаны со звеньями группы, а сумма равна вектору, называемому базовым вектором структурной группы.

Рассмотрим последовательно разработку математической модели рассматриваемого механизма. Но прежде поясним ее существо.

Традиционно модель механизма представляет собой систему аналитических зависимостей, получаемую из тригонометрии механизма. Эти зависимости позволяют рассчитать положения звеньев механизма, их скорости и ускорения.

Современные средства моделирования, обладающие высокой точностью, позволяют принципиально изменить подход к моделированию механизмов. Смысл его состоит в том, что на основе тригонометрии находятся вторые производные звеньев (углов их поворота, линейных перемещений и др. в зависимости от характера движения конкретного звена). Сведенные вместе выражения для вторых производных представляют собой систему дифференциальных уравнений движения механизма, интегрирование которой позволяет определить скорости и перемещения звеньев.

Иначе говоря, целостный по своей природе механизм фактически разбивается на составляющие его независимые модели. Это позволяет, используя математическое описание отдельных звеньев и вводя соответствующим образом систему присоединительных параметров, собирать модель любого плоского механизма. Рассмотрим теперь принципы разработки модели механизма АКУ.

 

Механизм с качающимся цилиндром

 

Структурная и векторная схемы его представлены на рис.1 и 2. Там же приведены все обозначения.

Напомним, что основой для разработки модели являются тригонометрические соотношения (теоремы синусов и косинусов и др.).

Применение теоремы косинусов приводит к появлению в уравнениях функции , производная которой зависит от того, в каком квадранте угол. Для того, чтобы избежать этой неоднозначности, функция раскладывается в ряд

.

Дифференциальные уравнения движения звеньев данного механизма определяются исходя из следующих соотношений:

;

.

В последнем выражении заменим функцию на приведенное выше разложение в ряд. Получим:

,

где .

Угол поворота поршня (и корпуса пироцилиндра) определяется следующим соотношением:

, где

.

Дважды дифференцируя выражения для углов и вспомогательных величин получим окончательно дифференциальные уравнения, моделирующие движение звеньев рассматриваемой структурной группы механизма:

;

;

;

Приведенная система дифференциальных уравнений должна быть дополнена законом движения входного звена в виде его второй производной (т.е. законом изменения ускорения по времени). Этот закон вообще говоря может быть любым, так как при формировании параметра оптимизации величины, зависящие от скорости и ускорения ведущего звена, взяты как отношение (угловой скорости катапультируемого груза к линейной скорости его центра масс). В связи с этим, закон движения входного звена не является определяющим. (Мгновенные положения звеньев механизма определяются мгновенным положением ведущего звена, а не его скоростью или ускорением).

Одним из наиболее мощных современных средств моделирования различных систем является пакет MatLab с встроенной в него подсистемой Simulink. Особенностью Simulink, выделяющей его среди всех средств моделирования, является простота пользовательского интерфейса, что позволяет собирать модели различной степени сложности (аналоговые и дискретные) даже не вполне квалифицированному пользователю. Практически все элементы автоматизированных систем представлены в Simulink графическими образами. Пользователю необходимо разместить их на рабочем столе Simulink и установить необходимые связи и начальные условия. Пакет имеет развитые средства отображения информации (как графические, так и числовые).

Приведем реализацию рассмотренной модели в указанном пакете (см. рис.).