Математическое ожидание и дисперсия для биномиального закона.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. о. случайной величины Х(w), 
определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере 
в исходном вероятностном пространстве 
М. о. может быть вычислено и как интеграл Лебега от хпо распределению вероятностей Р Х величины X:
где 
- множество всех возможных значений X. М. о. функций от случайной величины Xвыражается через распределение Р Х:напр., если X - случайная величина со значениями в 
и f(x) - однозначная бо-релевская функция х, то
Если F(x) - функция распределения X, то М. о. представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса)
при этом интегрируемость Xв смысле (*) равносильна конечности интеграла
В частных случаях, если Xимеет дискретное распределение с возможными значениями х k, k= 1, 2,..., и соответствующими вероятностями 
то
если Xимеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то
при этом существование М. о. равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла. Основные свойства М. о.:
а) 
б) ЕС=С для любого действительного С:
в) 
для любых действительных a и b;
г) 
если сходится ряд
д) 
для выпуклых функции g(x).
е) любая ограниченная случайная величина имеет конечное М. о. Кроме того,
ж) 
для взаимно независимых случайных величин X1 ,..., Х п.
Биномиальное распределение
Биноминальный закон распределения
Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q.
Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:
где pn - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит n раз;
qn - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу;
- вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Āнаступит n-m раз;
- число сочетаний (комбинаций) появления события А и Ā.
Числовые характеристики биноминального распределения:
М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;
D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;
- среднее квадратическое отклонение частоты.
Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей
Функцией распределения вероятностей называют функцию 
, определяющую вероятность того, что случайная величина 
в результате испытания примет значение, меньшее 
, то есть:
.
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Интегральная функция (функция распределения)
Свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности)
где F (x) - интегральная функция.
Свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание
Дисперсия
