Найти цикломатическое число и построить матрицу фундаментальных циклов графа. Построить три нефундаментальных цикла графа

Кафедра специализированных компьютерных систем

 

РАСЧЁТНАЯ ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

по дисциплине "Дискретная математика"

 

 

Выполнил: Турчанинов Г.И.

Группа: КВ-22

Номер зачетной книжки: КВ-2219

Вариант: 28

 

 

2 семестр 2012/2013 уч. года

Задание №1

Решить уравнение в алгебре отношений. При решении использовать алгебраический метод. В качестве неизвестного принимается множество, обозначенное символом В.

 

Базовое уравнение:

Где значение:

 

(Символ означает операцию «симметрическая разность»)

Решение:

Упростим базовое уравнение:

 

Подставим:

 

При:

 

 

Ответ:

 

Задание №2

Граф задан матрицей смежности:

 

R=

 

Представим орграф графически:

 

X1

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X2

 

 

 

 

 

 

Выполнить разложение орграфа на компоненты сильной связности методом Мальгранжа - Томеску

Решение:

Дополняем матрицу смежности R слева столбцом прямого транзитивного замыкания и снизу строкой обратного транзитивного замыкания .

Заполняем их по определенному алгоритму и находим компоненты сильной связности C(x_i) по формуле: .

 

 

Найти методами Магу все внутренне устойчивые множества вершин графа, все внешне устойчивые множества вершин графа, ядра графа.

 

Решение:

Найдем все внутренне устойчивые множества вершин графа методом Магу:

 

(1Ú67)(2Ú1456)(3Ú25)(4Ú12356)(5Ú28)(6Ú1257)(7Ú5)(8Ú5)=(12Ú1456Ú267Ú

Ú1457)(34Ú12356Ú245Ú12356)(56Ú1257Ú268Ú12578)(78Ú57Ú58Ú5)=

=(1234Ú12356Ú1245Ú13456Ú123456Ú12456Ú23467Ú123567Ú24567)(5678Ú

Ú56Ú12578Ú1257Ú2678Ú2568)=123456Ú123457Ú1234678Ú12356Ú123567Ú

Ú1235678Ú12456Ú12457Ú1245678Ú13456Ú1234567Ú12345678Ú234567Ú

Ú1234567Ú234678Ú24567Ú124567Ú245678=12356Ú12456Ú12457Ú13456Ú

Ú234678Ú24567

 

Ответ:

Инвертируя каждое полученное множество, получим внутренне устойчивые множества:

 

X4,x7,x8 }; { x3,x7,x8 }; { x3,x6,x8 }; {x2,x7,x8}; {x1,x5}; {x1,x3,x8}.

Число внутренней устойчивости графа a(G)=3.

Найдем все внешне устойчивые множества вершин графа методом Магу:

(1Ú2Ú4Ú6)(2Ú3Ú4Ú5Ú6)(3Ú4)(4Ú2)(5Ú2Ú3Ú4Ú6Ú7Ú8)(6Ú1Ú2Ú4)(7Ú1Ú6)(8Ú5)=

= (34Ú23Ú4Ú24)(78Ú57Ú18Ú15Ú68Ú56) = 2378Ú2357Ú1238Ú1257Ú2368Ú2356Ú

Ú478Ú457Ú148Ú145Ú468Ú456

 

Ответ:

Внешне устойчивые множества:

 

{ x₂,x₃,x₇,x₈ }; { x₂,x₃,x₅,x₇ }; { x₁,x₂,x₃,x₈ }; { x₁,x₂,x₃,x₅}; { x₂,x_3,x₆,x₈ };

{ x₂,x_3,x₅,x₆}; { x₄,x₇,x₈ }; { x₄,x₅,x₇ }; { x₁,x₄,x₈ }; { x₁,x₄,x₅ }; { x₄,x₆,x₈ };

{ x₄,x₅,x₆ };

Число внешне устойчивости графа b(G)=3.

 

Ядро графа: { x_4,x_7,x₈ } – одновременно максимально внутренне устойчивое множество вершин графа, и минимально внешне устойчивое множество вершин графа)

 

Найти цикломатическое число и построить матрицу фундаментальных циклов графа. Построить три нефундаментальных цикла графа.

Решение:

Перейдём от орграфа к неографу и зададим его графически.

X1

X3

X5

X6

X7

X8

X4

X2

17

16

15

14

13

12

11

9

10

8

7

6

5

4

3

2

1

X6

X5

X7

X8

X1

X2

X3

X4

Рёбра, не входящие в остов, нарисуем тонкой линией и пронумеруем все ребра графа: вначале не входящие в остов, а затем остовые.

Цикломатическое число n(G)=m-n+1=17-8+1=10,

где m — количество ребер неографа, n — количество вершин неографа.

(m-n+1 — число рёбер, не вошедших в остов, а также количество фундаментальных циклов)

ÞМаксимальное количество фундаментальных циклов графа равно n(G)=10, а максимальное количество всех циклов графа равно 2^n(G)-1=1023.

Матрица фундаментальных циклов графа:

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

Три нефундаментальных цикла графа:

F1ÅФ5

F2ÅФ7

F3ÅФ10

1

Изобразим их графически:

 

16

F₁ÅФ₅:

13

 

17

 

12

 

 

11

 

F₂ÅФ₇:

2

13

15

7

11

16

F₃ÅФ₁₀:

13

10

11