Ренты пренумерандо. Под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. При этом каждый член ренты "работает" на один период больше, чем в ренте постнумерандо, отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее как FVпре, больше в (1+r) раз аналогичной ренты постнумерандо: 
Если начисление процентов происходит для годовой ренты m раз в году
(6.20)
Для p – срочных рент, у которых m=1 и m≠p, получим:
Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями и коэффициентами приведения рент постнумерандо и пренумерандо:
Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется начать спустя обусловленный срок (льготный период). Сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы, другое дело современная стоимость ренты.
Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна PV. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты имеем:
, (6.21)
где 
- современная стоимость отложенной на t лет ренты.
Вечная рента. Под вечной рентой понимается ряд платежей, количество которых неограниченно – теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. На практике прибегают к такой абстракции, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Современная величина вечной ренты
(6.22)
Отдаленные платежи оказывают очень малое влияние на величину коэффициента приведения. С ростом n прирост этого показателя уменьшается. Поэтому при больших сроках ренты и высоком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (5.22) без заметной потери точности. Например, для ограниченной ренты при r =20%, n =100, R =1 получим точное значение: PV =4,9999999, а по формуле (5.22) находим PV =5.
Для других видов рент получим:
при p>1, m=1;
при p=m>1. 
Задачи по теме «Денежные потоки»
Задача 1. Вам предлагают сдать в аренду участок на три года с оплатой по 5 тыс. руб. в конце каждого полугодия. При этом возможно начисление процентов: 1) ежегодное; 2) полугодовое; 3) ежеквартальное. Оценить, что выгоднее.
Задача 2. Найти современную стоимость для варианта ренты p = m = 4, взяв за основу FV = 31,785 млн. руб., годовая процентная ставка 18,5%, n = 5 лет.
Задача 3. Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой, получает от неё страховые взносы по 20 тыс. руб. в конец каждого полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых. Найти приведённую стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если проценты начисляются: 1) раз в полгода: 2) ежемесячно.
Задача 4. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых?
Задача 5. Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчёта 12% годовых?
Задача 6. Годовая рента постнумерандо характеризуется параметрами: R=4млн. руб., n=5. производится дисконтирование по сложной процентной ставке 18.5% годовых, однако рента выплачивается не сразу, а спустя 1,5 года после момента оценки. Определить современную стоимость отложенной ренты.
Задача 7. Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн. руб., выплачиваемый в конце каждого полугодия. Определить капитализированную стоимость такой ренты, при условии, что применяется годовая ставка 25%
