Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа

В схеме (рисунок 5) 5 узлов, следовательно, составляется 4 уравнения (в качестве опорного выбран узел e).

Уравнения по I закону Кирхгофа:

Для узла а: I₆ + I₈ – I₂ = 0

Для узла b: –I₆ + I₁ + I₇ = 0

Для узла с: – I₇ + I₅ = – J

Для узла d: I₂ + I₄ = J

 

 

Рисунок 5

 

Для того чтобы написать уравнения по II закону Кирхгофа, нужно выбрать положительные направления обхода контуров, пусть таковыми будут направления по часовой стрелке.

Уравнения по II закону Кирхгофа:

1К: RI₆ + RI₁ – RI₈ = E₁

2K: RI₇ + 2RI₅ – RI₁ = – E₁

3K: RI₈ – RI₄ = E₂

4K: –2RI₅ – U_J + RI₄ = 0

 

 

Рисунок 6

 

С помощью пакета MathCAD решаем систему уравнений (рисунок 7):

Рисунок 7

 

Результаты расчета в пакете MathCad:

I₁ =2.222 A,

I₂ = 2.848 A,

U_J= –17.935 В,

I₄= - 2.248 A,

I₅= - 0.526 A,

I₆= 2.296 A,

I₇= 0.074 A,

I₈= 0.552 A.

 

Задание 3

Преобразование схемы до трех контуров

Исходная схема на рисунке 8:

 

Рисунок 8

 

Эквивалентная схема изображена на рисунке 9:

 

 

Рисунок 9

Где:

R_э

E_Э E₂

Задание 3.1

Метод контурных токов

Схема с обозначенными контурами изображена на рисунке 10

 

 

Рисунок 10

 

Согласно методу контурных токов имеем:

I₁₁ = J

I₂₂ (R₆+R+R_Э) – I₃₃R = R_ЭJ + E₂ + E₁ – E_Э

– I₂₂R + I₃₃ (R+R+2R) = 2R_ЭJ – E₁

Решаем данную систему в пакете MathCAD (рисунок 11):

A:= B:=

Рисунок 11

I₁₁ = 0.6 A

I₂₂ = 2.296 A

I₃₃ = 0.074 A

Токи определяются следующим образом:

I₆ = I₂₂ = 2.296 А

I₇ = I₃₃ = 0.074 A

I₅ = I₃₃ – J = 0.074 – 0.6 = – 0.526 A

I₁ = I₂₂ – ­I₃₃ = 2.296 – 0.074 = 2.222 A

I_Э = - I₂₂ + J = 0.6 – 2.296 = – 1.696 A

Напряжение на источнике тока можно найти по II закону Кирхгофа:

U_J = – E_Э +I_ЭR_Э – 2RI₅ = – 21 – 1.696 7.5 + 2 15 0.526 = -17.94 В

Таким образом, найденные методом контурных токов токи и напряжение на источнике тока совпадает с результатом расчета методом уравнений Кирхгофа.

Задание 3.2

Метод узловых потенциалов

Схема с обозначенными узловыми потенциалами показана на рисунке 12:

 

 

Рисунок 12

Пусть потенциал узла с равен нулю:

φ_с = 0

Проводимости:

Y₁=Y₇=1/R

Y₆=1/R₆

Y₅=1/2R

Y_Э=1/R_Э

Уравнения по методу узловых потенциалов:

φ₁ (Y₇ + Y₁ + Y₆) – φ₂ Y₁ - φ₃Y₆ = -E₁Y₁ +E₂Y₆

- φ₁ Y₁ + φ₂ (Y₁ + Y₅ + Y_Э) - φ₃ Y_Э = E₁Y₁ + E_ЭY_Э

- φ₁ Y₆ - φ₂ Y_Э + φ₃ (Y_Э+ Y₆) = - E_ЭY_Э + J – E₂Y₆

Найденные потенциалы однозначно определяют токи ветвей:

I₁= (φ₁ - φ₂ + E₁) Y₁

I₅= - φ₂ Y₅

I₆= (φ₃ – φ₁ + E₂) Y₆

I₇= φ₁ Y₇

I_Э= (φ₃ – φ₂ + E_Э) Y_Э

Воспользуемся пакетом MathCAD для расчетов (рисунок 13):

Рисунок 13

 

Результаты:

I₁ =2.222 A,

I₅= - 0.526 A,

I₆= 2.296 A,

I₇= 0.074 A,

I_э= - 1.696 A.

Как видно, полученные результаты полностью совпадают с результатами, полученными другими методами ранее.

Задание 3.3

Баланс мощностей

P_П=I_­6²R+ I_­1²R+ I_Э²R_Э+ I₅²2R+ I_­7²R =2.296² 15 +2.222² 15 +1.696² 7.5 + 0.526² 30 + 0.074² 15 = 156.73 Вт

P_И = I_­6E₂ + I_­ЭE_Э + I_­1E₁ + JU_J = 2.296 42 - 1.696 21 +2.222 48 – 0.6 17.935

= 156.71 Вт

Допустимая относительная погрешность расчета:

σ_P=(| P_И – P_П |/ P_И) 100% = 100% = 0.01%

 

Задание 3.4

Метод наложения

Искомое напряжение определяется суммой составляющих:

U_J = U_J(E₁) + U_J(E₂) + U_J(E_Э) + U_J(J)

1. Оставляем только Е₂ как на рисунке 14:

 

Рисунок 14

Имеем схему как на рисунке 15:

 

Рисунок 15

U_J(E₂) = - I₅R₅ - I_ЭR_Э

R₅₇ =R₅ + R₇=30 + 15 = 45 Ом

R_6Э =R₆ + R_Э=10 + 7.5 = 17.5 Ом

I_Э= = 42 / 28.75 = 1.461 Ом

I₅= = 21.9 / 60 = 0.365 A

U_J(E₂) = - (1.461 7.5 +0.365 30) = – 10.96 – 10.95 = – 21.91 В

2. Оставляем только Е₁ как на рисунке 16:

 

 

Рисунок 16

 

Рисунок 17

Имеем схему как на рисунке 17:

 

 

U_J(E₁) = I₅R₅ - I_ЭR_Э

R₅₇ =R₅ + R₇=30 + 15 = 45 Ом

R_6Э =R₆ + R_Э=10 + 7.5 = 17.5 Ом

I₁= = 48 / 27.5 = 1.739 Ом

I₅= = 30.43 / 62.5 = 0.486 A

I_Э= = 78.25 / 62.5 = 1.252 A

U_J(E₂) = 0.486 30 - 1.252 7.5 =14.58 – 9.39 = 5.2 В

3. Оставляем только Е_Э как на рисунке 18:

Рисунок 18

 

Рисунок 19

Имеем схему как на рисунке 19:

 

U_J(E_Э) = - I₅R₅ - I_ЭR_Э

R₅₇ =R₅ + R₇=30 + 15 = 45 Ом

R_6Э =R₆ + R_Э=10 + 7.5 = 17.5 Ом

I_Э= = 21 / 28.75 = 0.73 Ом

I₅= = 10.95 / 60 = 0.1825 A

U_J(E₂) = - (0.1825 30 +0.73 7.5) = – 5.075 – 5.075 = –10.1 В

4. Оставляем только источник тока как на рисунке 20:

Рисунок 20

 

Рисунок 21

Имеем схему как на рисунке 21:

 

 

Для преобразованной схемы имеем:

Результирующее напряжение:

U_J = U_J(E₁) + U_J(E₂) + U_J(E_Э) + U_J(J) = -21.9+5.2-10.1+8.8= - 18 В

Погрешность расчета составляет допустимую величину:

σ_U= = 100% = 0.3%

Задание 3.5