Теория функции комплексного переменного

Вопросы

Теория рядов

1.1 Числовой ряд. Сходимость. Общий член ряда. Сумма ряда. Достаточный признак расходимости. Обобщенно-гармонический ряд.

1.2 Признаки сходимости: признаки Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши, признак сравнения.

1.3 Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

1.4 Степенные ряды: интервал и радиус сходимости. Разложение функции в степенной ряд. Применение к приближенным вычислениям.

1.5 Ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.

Кратные интегралы

2.1 Двойной интеграл: вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах.

2.2 Приложения двойного интеграла к задачам геометрии.

2.3 Тройной интеграл: вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических координатах.

2.4 Приложения тройного интеграла к задачам геометрии и физики.

 

Криволинейные и интегралы

3.1 Криволинейный интеграл 1-го рода: вычисление, свойства и приложения.

3.2 Криволинейный интеграл 2-го рода: свойства, вычисление, приложения. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости.

 

Теория поля

4.1 Поле. Скалярное поле. Векторное поле.

4.2 Характеристики скалярного поля: линии (поверхности) уровня, градиент, производная по направлению.

4.3 Характеристики векторного поля: векторные линии, дивергенция, поток, циркуляция, ротор, потенциал.

Теория функции комплексного переменного

5.1 Функции комплексного переменного.

5.2 Дифференцирование функции комплексного переменного.

5.3 Интегрирование функции комплексного переменного.

 

Банк задач

Ряды

1. 1) Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену: а) ; б) .

2) Найти суммы рядов: а) ; б) ; в) .

3) Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) , е) .

4) Исследовать ряды на абсолютную сходимость:

а) ; б) .

2. Найти область сходимости рядов. Выяснить сходимость на концах интервала сходимости:а) ; б) ; в) ; г) ; д)

3. 1) Разложить в ряд Маклорена следующие функции (используя «готовые» разложения):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

2) Вычислить приближенно с точностью до 0,001:

а) ; б) ; в) ; г) (определив );

ж) ; з) ; и) ; к) .

4. 1) Разложить в ряд Фурье функцию y = 1+ на (-p,p).

2) Разложить функцию в ряд Фурье y=x -1, -2 <x 2.

3) Разложить функцию в ряд Фурье y=2x, -1 <x 1.

Кратные интегралы

1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. 1) Вычислить , если область ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

2) Вычислить , если область ограничена линиями х = 0, х = у ², у = 2.

3) Вычислить , если область интегрирования ограничена линиями ху =1, у = , х =2.

4) Вычислить , если область интегрирования .

5) Вычислить по области D, ограниченной линиями:

3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) ; 2) ; 3) ;

4)

4. 1) Вычислить: .

2) Вычислить , где ограничена линиями

3) Вычислить интеграл , где , .

4) Вычислить интеграл , где .

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

5. 1) Вычислить .

2) Вычислить где

3) Вычислить

4) Вычислить объем тела , ограниченного поверхностями: , , .

5) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: .

6) Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями и имеющего плотность .

 

Криволинейные интегралы

1. 1)Вычислить , где L – дуга параболы от т. А(2;7) до т. В(4;19);

2) , где L – кривая ; 3) , где L -

 

2. 1) Вычислить , если кривая интегрирования С: y=2x²; от А(1,2) до В(2,8).

2) Вычислить по кривой от точки до точки .

3) Вычислить , где - ломаная, проходящая через точки , , .

4) Вычислить , где L – линия, заданная уравнением .

5) Вычислить : 1) по дуге кубической параболы ; 2) по дуге . Результаты, полученные в заданиях 1 и 2 объяснить.

 

3. Вычислить криволинейные интегралы по формуле Грина:

1)

2) , вдоль контура треугольника ABC, где А(1,2), В(1,5), С(3,5).

3) .

Теория поля

1. Дана функция и точки A₁(-1;2;1), A₂(3;1;-1)

Вычислить:

А) производную этой функции в точке A₁ по направлению вектора ;

В) grad U(A₁).

2. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью и координатными плоскостями с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора .

4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура , в направлении обхода – в сторону увеличения параметра t.

5. Выяснить, является ли векторное поле гармоническим.

Теория функции комплексного переменного

1. Найти значения функций W = f (z) в точках Z₁ , Z₂ .

2. Проверить, выполняются ли для функции условия Коши-Римана, и найти производную в данной точке: .

3. Вычислить интегралы, считая, что обход замкнутого контура происходит в положительном направлении: .

СТРУКТУРА БИЛЕТА: 14 ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЯ – ПО 1 БАЛЛУ, 6 ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ – ОТ 3 ДО 6 БАЛЛОВ.

ЧТО МОЖНО ПРИНЕСТИ НА ЭКЗАМЕН: