Счетные множества. Мощность континуума

Эквивалентные множества

1. Установить взаимно–однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 5.

 

 

 

2. Установить биекцию полуокружности и ее диаметра.

 

 

3. Установить биекцию двух окружностей; двух кругов.

 

 

4. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка на отрезок (геометрически и аналитически).

Пусть , , тогда

 

.

 

 

5. Найти взаимно–однозначное отображение интервала на всю числовую прямую (геометрически и аналитически).

 

Пусть , , тогда .

 

 

6. (Отель Гилберта). Где-то в далеком космосе есть гостиница с бесконечным числом одноместных номеров, причем все они заселены. В гостиницу приехал человек и попросил поселить его в отдельный номер. Администратор сумел удовлетворить его просьбу, не выселив при этом ни одного постояльца. Как ему удалось это сделать?

 

Занумеруем номера числами 1, 2, 3, …, n, … Переселим постояльца из 1-го номера во 2-й, из 2-го в 3-й, …, из n-го – в (n+1)-й и т.д. Таким образом, мы освободим 1-й номер, в который и поселим нового постояльца.

 

7. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка на полусегмент .

Так как на первом промежутке точек как бы на одну "больше", то нужно куда-то убрать "лишнюю" точку.

Возьмем на каждом из промежутков произвольную последовательность и поступим так же, как с отелем Гилберта: точке x₁ из множества поставим в соответствие точку x₂ из множества , точке x₂ из А –

точку x₃ из В, …, точке x_n из А – точку x_n+1 из В и т.д. Таким образом, в В освободится точка x₁, которую мы и поставим в соответствие точке b из множества А. Остальные точки в множествах А и В одинаковые, следовательно, мы их поставим в соответствие друг другу.

Таким образом, получим взаимно-однозначное соответствие между А и В.

 

 

8. Доказать, что все конечные промежутки числовой прямой эквивалентны.

 

Как уже показано в № 4, все одноименные промежутки (то есть все сегменты, все интервалы и т.д.) эквивалентны между собой, а в предыдущем примере мы показали, что и разноименные промежутки тоже эквивалентны, что и требовалось доказать.

 

 

9. Доказать, что любой промежуток числовой прямой эквивалентен всей числовой прямой.

См. № 8 и № 5.

 

10. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок на всю числовую прямую?

Нет, так как, если функция непрерывна на сегменте, то множеством ее значений тоже является сегмент.

 

 

Домашние примеры

11. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка на интервал .

отображаем в (аналогично задаче 7, только в последовательность "прячем" две точки).

 

12. Найти взаимно–однозначное отображение полусегмента на луч .

 

С помощью функции y = tgx.

 

13. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок на интервал ?

 

14. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок на множество, состоящее из двух отрезков?

 

В 13 и 14 ответ "нет" (см. задачу 10).

 

15. Установить взаимно–однозначное соответствие между окружностью и прямой.

Точке О соответствует бесконечно удаленная точка числовой прямой.

 

Занятие 2

Счетные множества. Мощность континуума

 

1. Какова мощность множества ?

Это множество является объединением двух последовательностей. Поскольку последовательность – это счетное множество, то и множество А счетно.

 

2. Какова мощность множества точек на плоскости, у которых обе координаты рациональны?.

Множество точек на плоскости с рациональными координатами можно представить в виде . Таким образом, это множество, элементы которого различаются двумя значками, пробегающими счетное множество значений, следовательно, по лемме 2.1 это множество счетно.

 

3. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

Это множество счетно (см. задачу 2).

 

4. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра – рациональные числа, счетно.

См. задачу 2.

 

5. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества Е на прямой больше 1, то множество Е не более, чем счетно.

Окружим каждую точку множества окрестностью, длиной 1, тогда эти окрестности не будут пересекаться. В каждой окрестности выберем рациональное число. Получим некоторое множество А рациональных чисел, которое находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством Е. Так как множество А – часть множества Q, то оно не более чем счетно, следовательно, множество Е тоже не более чем счетно.

 

6. Доказать эквивалентность сегмента и интервала , пользуясь теоремами о свойствах бесконечных множеств.

Так как и множество несчетно, то по теореме 3.2 эквивалентен .

 

7. На прямой задано множество попарно не пересекающихся отрезков. Что можно сказать о мощности этого множества?

Это множество не более чем счетно (см. задачу 5).

 

8. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

Во-первых, поскольку функция задана на всей числовой прямой, то она может иметь лишь точки разрыва 1-го рода, т.е. конечные скачки.

Поставим каждой точке разрыва, например, х₁ в соответствие сегмент , характеризующий величину скачка в этой точке. Очевидно, что для монотонной функции это соответствие будет взаимно-однозначным, и указанные сегменты не пересекаются. Тогда в силу задачи 7 их множество не более чем счетно, следовательно, не более чем счетно и множество точек разрыва.