Краткие теоретические сведения. Отчет по лабораторной работе №1

Отчет по лабораторной работе №1

Разработка аналитической модели

 

Цель работы

 

Получить навыки работы при разработке простой аналитической модели в табличном процессоре MS Excel.

 

Краткие теоретические сведения

 

Рассмотрим на простом примере реализацию этапов компьютерного математического моделирования.

Назовем рассматриваемую ниже модель «Прыжок с трамплина». Отметим, что математическое моделирование в спорте широко используется и позволяет как повышать результаты, так и оптимизировать процесс подготовки спортсменов, конструирование спортивной одежды и т. д. Наша модель будет упрощенной по отношению к реальности. Тем не менее, и с ее помощью можно уловить определенные черты процесса и проиллюстрировать описанные в предыдущей лекции приемы.

Исходный процесс, подлежащий моделированию (см. рис. 1.1), — прыжок с трамплина. Цель — определить длину и установить, как зависит дальность прыжка (по горизонтали) от конфигурации трамплина (и иных факторов).

Наш трамплин изображен на рис. 1.1. Он упрощен конфигурацией (отличия малозначимыми). Жирная линия – предполагаемая траектория полета. Понятно, что реальная траектория может быть выявлена в ходе моделирования. Начало системы координат выбрано в точке отрыва прыгуна от трамплина.

Основой для математического описания в этой модели являются законы механики (движения тел). Прежде всего, это, конечно, второй закон Ньютона. Кроме того, большую роль в движении прыгуна играют трение лыж о поверхность трамплина (на этапе разгона) и сопротивление воздуха. Все, кто видел прыжки, помнят, как приседают и «сжимаются» прыгуны на этапе разгона и как они приводят свое тело почти в горизонтальное положение на этапе полета. Все остальные факторы являются, с нашей точки зрения, менее значимыми и в происходящем ранжировании будут полностью отброшены.

Рис. 1.1. Схема прыжка с трамплина

 

 

Первоначально разработаем модель движения прыгуна при полном пренебрежении трением лыж о поверхность трамплина и сопротивлением воздуха (1 модель).

1-ая модель будет приближенной, т.е. простой.

Входными параметрами в 1-ой модели являются геометрические характеристики трамплина h ₁, h ₂, a (см. рис. 1.1). Выходной параметр, как следует из постановки задачи, один — l. В первой модели форма и размеры прыгуна не имеют значения. Скорость, с которой он отрывается от трамплина, легко найти: при скатывании с высоты h₁ потенциальная энергия тела прыгуна mgh ₁ (g — ускорение свободного падения) преобразуется без потерь (трения нет!) в кинетическую (т — масса, v * — скорость отрыва), откуда v * = .

Отметим, что эта скорость, благодаря конструкции модельного трамплина, направлена горизонтально.

Далее все очень просто. Движение в полете складывается из двух составляющих: по горизонтали (равномерное со скоростью v *) и по вертикали (равноускоренное с ускорением g). Отсюда по элементарным формулам, описывающим эти движения, имеем: х = v * t, у = (t — время). Исключая отсюда t и воспользовавшись приведенным выше выражением для v *, получаем:

(1.1)

т. е. движение происходит по параболе (которая не очень-то похожа на кривую, гипотетически изображенную на рис. 2.2!).

Теперь найдем l. Связь между расстоянием по вертикали, равным h ₂, и соответствующим полным временем свободного полета (обозначим его Т) такова: . Отсюда получаем: Т = . За это время прыгун пролетит по горизонтали расстояние l = v * T. Подставляя сюда выражения для v * и Т, получаем:

. (1.2)

Формулы (1.1) и (1.2) дают аналитическое решение задачи, т.е. являются конкретным выражением символической.

Формулы (1.1) и (1.2) имеют приближенное отношение к реальным прыжкам с трамплина. На самом деле, эти формулы описывают скорее не движение прыгуна, а то, как будет скатываться и падать с трамплина небольшой тяжелый шарик.

Понятно, что от умения лыжника многое зависит — иначе, зачем проводить соревнования и изнурительные тренировки, если длина прыжка определяется исключительно размерами трамплина?

По большому счету, дальность прыжка определяется умением лыжника управлять трением лыж о трамплин и сопротивлением воздуха. Проведя первичное моделирование и проанализировав результаты, пришли к заключению, что модель слишком грубая, и необходимо продолжить учет наиболее значимых факторов.

 

Практическая часть

 

Задача 1.3.1. Найти значение простой аналитической модели с использованием табличного процессора MS Excel.

Рассмотрим решение этой задачи.

=> в ячейки А1, В1 и С1 ввести заголовки h1, h2 и l. Набрать их полужирным шрифтом (следует отметить, что ТП MS Excel должен интерпретировать вводимые данные как текст, т.е. выравнивать их по левому краю);

=> введем в ячейку h1 число 10, а в ячейку h2 – число 2 (следует отметить, что ТП MS Excel должен интерпретировать вводимые данные как числовое значение, т.е. выравнивать их по правому краю);

=>в ячейку С2 следует ввести вычисляемую формулу и нажать Enter, что позволит получить результат и поместить в ячейку С2.