Численное интегрирование функций

ФГБОУ

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра компьютерной математики

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

« Языки и технологии программирования »

Группа МКН-107	Фамилия И.О.	Подпись	Дата	Оценка
Студент	Тен Д.К
Консультант	Житников В.П
Принял	Зиннатуллина О.Р

Уфа 2012

 

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине

«Языки и технологии программирования»

Факультет, группа: ОНФ, МКН-107 Студент: Тен Д.К.

Вариант:___12__Срок сдачи работы - ____16_____ неделя

 

1.. Численное интегрирование функций методом трапецийфункции y=x/(x^2+1)

2. Оценка погрешности и уточнение результатов методом Ромберга.

 

 

Дата выдачи задания: «_13__»_______03________ 2011г.

Преподаватель: ______________________________

 

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр.
Введение
1 Теоретические основы
	1.1 Численное интегрирование функции
	1.2 Применение экстраполяции для оценки погрешности интегрирования
2 Программная реализация метода интегрирования по методу трапеций и оценки погрешности результата, уточнения результата
3 Визуализация результатов уточнения
Заключение
Список литературы

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Целью данной курсовой работы является приобретение знаний и навыков, необходимых для разработки программного обеспечения при проведении расчетов, требующих численного дифференцирования функций, а также оценки результатов расчетов и их уточнения.

Курсовая работа состоит из трех разделов. В первом разделе содержатся теоретические сведения по численному интегрированию функций и применению экстраполяции для оценки погрешности интегрирования. Второй раздел содержит программную реализацию используемых методов – листинг программы, написанной на языке C++, с подробными комментариями. Третий раздел включает визуализацию результатов уточнения полученных значений, составленную средствами Microsoft Excel.

Численное нахождение интеграла функции осуществляется посредством методом трапеций. Для оценки погрешности найденного решения и его уточнения проводится несколько этапов экстраполяции полученных значений с использованием процесса Ромберга. Для оценки необходимости последующей экстраполяции используется следующее условие: оценка принимается, если коэффициент уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями меньше 1/3. Визуализация результатов уточнения полученных значений представляет собой графическое сравнение полученных значений с точным, "эталонным" значениями и по правилу Рунге.

Данная работа может быть использована студентами и специалистами при разработке программного обеспечения для проведения математических расчетов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Численное интегрирование функций

 

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f (x)

. (6)

Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y = f (x), осью x и вертикальными прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек x_j Î[ a,b ], x_j=a+jh, j= 0 ,...,n. Величина называется шагом разбиения. Обозначим f_j=f (x_j).

С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).

Рис. 2. Численное интегрирование

Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов

. (7)

Метод трапеций

 

Рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис.а). Тогда интеграл приближенно равен ее площади

,

Рис. а