ФГБОУ
Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра компьютерной математики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе по дисциплине
« Языки и технологии программирования »
| Группа МКН-107 | Фамилия И.О. | Подпись | Дата | Оценка |
| Студент | Тен Д.К | |||
| Консультант | Житников В.П | |||
| Принял | Зиннатуллина О.Р |
Уфа 2012
ЗАДАНИЕ
на курсовую работу по дисциплине
«Языки и технологии программирования»
Факультет, группа: ОНФ, МКН-107 Студент: Тен Д.К.
Вариант:___12__Срок сдачи работы - ____16_____ неделя
1.. Численное интегрирование функций методом трапецийфункции y=x/(x^2+1)
2. Оценка погрешности и уточнение результатов методом Ромберга.
Дата выдачи задания: «_13__»_______03________ 2011г.
Преподаватель: ______________________________
СОДЕРЖАНИЕ
| Стр. | |||
| Введение | |||
| 1 Теоретические основы | |||
| 1.1 Численное интегрирование функции | |||
| 1.2 Применение экстраполяции для оценки погрешности интегрирования | |||
| 2 Программная реализация метода интегрирования по методу трапеций и оценки погрешности результата, уточнения результата | |||
| 3 Визуализация результатов уточнения | |||
| Заключение | |||
| Список литературы |
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной курсовой работы является приобретение знаний и навыков, необходимых для разработки программного обеспечения при проведении расчетов, требующих численного дифференцирования функций, а также оценки результатов расчетов и их уточнения.
Курсовая работа состоит из трех разделов. В первом разделе содержатся теоретические сведения по численному интегрированию функций и применению экстраполяции для оценки погрешности интегрирования. Второй раздел содержит программную реализацию используемых методов – листинг программы, написанной на языке C++, с подробными комментариями. Третий раздел включает визуализацию результатов уточнения полученных значений, составленную средствами Microsoft Excel.
Численное нахождение интеграла функции осуществляется посредством методом трапеций. Для оценки погрешности найденного решения и его уточнения проводится несколько этапов экстраполяции полученных значений с использованием процесса Ромберга. Для оценки необходимости последующей экстраполяции используется следующее условие: оценка принимается, если коэффициент уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями меньше 1/3. Визуализация результатов уточнения полученных значений представляет собой графическое сравнение полученных значений с точным, "эталонным" значениями и по правилу Рунге.
Данная работа может быть использована студентами и специалистами при разработке программного обеспечения для проведения математических расчетов.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Численное интегрирование функций
Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f (x)
. (6)
Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y = f (x), осью x и вертикальными прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек xj Î[ a,b ], xj=a+jh, j= 0 ,...,n. Величина 
называется шагом разбиения. Обозначим fj=f (xj).
С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).
Рис. 2. Численное интегрирование
Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов
. (7)
Метод трапеций
Рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис.а). Тогда интеграл приближенно равен ее площади
,
Рис. а
