Общие сведения о количественном анализе
Потоков платежей
Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств: возникновение отдельных платежей или множества выплат и поступлений, распределенных во времени.
В процессе количественного анализа финансовых операций удобно абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые ими движения денежных средств как числовой ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF 0, CF 1, …, CFn. Для обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин поток платежей или денежный поток (cash flow – CF). Отдельный элемент такого числового ряда CFt представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом, величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
Количественный анализ денежных потоков в общем случае сводится к вычислению следующих их характеристик:
1. FV (future value) – будущая стоимость денежного потока (FV = CFn).
2. PV (present value) – настоящая (современная) стоимость денежного потока (PV = CF 0).
3. CFt (cash flow) – величина денежного потока в период времени t.
4. r (interest rate) – процентная ставка.
5. n – срок (количество периодов) проведения финансовой операции (в предлагаемых ниже задачах рассматриваются долгосрочные финансовые операции, т. е. с продолжительностью более 1 года, поэтому n в этих задачах будет измеряться в годах).
Далее будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства, а также технология автоматизации вычислений перечисленных выше характеристик денежных потоков.
Финансовые операции с элементарными
Потоками платежей
Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления либо разового поступления и последующей выплаты, разделенных n периодами времени (например, лет).
Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты без довложения, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что числовой ряд в этом случае состоит всего из двух элементов:
· {- PV; FV } – депозит; вначале деньги отдаем (знак «-» у величины PV), потом получаем (знак «+» у величины FV);
· { PV; - FV } – ссуда; вначале деньги берем (знак «+» у величины PV), потом отдаем (знак «-» у величины FV).
¨ Замечание. При количественном анализе финансовых операций очень важно учитывать знаки денежных потоков. При этом надо обязательно определиться, на чьих позициях мы стоим. Вышеприведенные элементарные потоки рассмотрены с позиции вкладчика. Если встать на позиции банка, то знаки величин изменятся на противоположные.
При работе с финансовыми функциями MS Excel также исключительно важно учитывать знаки денежных потоков. Во всех примерах мы будем стоять на позициях вкладчика, за исключением примера № 5 (см. ниже).
Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV, PV, r, n (CFt = 0). Величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных. Для установления взаимосвязи между перечисленными параметрами рассмотрим следующий пример.
¨ Замечание. Для определенности в дальнейшем речь будет идти о долгосрочных финансовых операциях (n ³1), хотя при определенных условиях изложенный ниже материал применим и к краткосрочным финансовым операциям (n <1), где n – количество лет.
Пример 1
Сумма в 10000 у. е. помещена в банк на депозит сроком на 3 года. Номинальная ставка по депозиту 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?
По условиям данной операции известны следующие величины: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 3 года.
Общее соотношение для определения будущей величины денежного потока имеет следующий вид:
FV = PV (1+ r) n. (2.12)
Подставляя исходные данные, получаем:
FV = 10000 ´ (1+10%)3 = 10000 ´ 1,13 = 13310 (у. е.)
Техника процентных вычислений по формуле (2.12) получила название наращивания.
¨ Замечание. Формулу (2.12) можно использовать только для целого числа лет n, в противном случае необходимо пользоваться формулами смешанных вычислений.
В результате преобразований формулы (2.12) можно получить выражения для величин PV, r и n. Приведем формулу для определения настоящей (современной) величины элементарного потока платежей:
. (2.13)
Техника процентных вычислений по формуле (2.13) получила название дисконтирования.
Вывод математических выражений для величин r и n из формулы (2.12) является более сложным, так как требует применения операций логарифмирования (для величины n) и взятия корня n -ой степени (для величины r).
Вычисление величин FV, PV, r и n удобно производить в среде табличного процессора MS Excel с использованием финансовых функций, основными из которых являются следующие:
· функция БС – для расчета величины FV;
· функция ПС – для расчета величины PV;
· функция СТАВКА – для расчета величины r;
· функция КПЕР – для расчета величины n.
Перечисленные функции используют одинаковые аргументы, которые имеют следующую финансово-экономическую сущность:
· аргумент Бс – это величина FV;
· аргумент Пс – это величина PV;
· аргумент Ставка – это величина r;
· аргумент Кпер – это величина n;
· аргумент Тип – может принимать два значения из множества {0; 1} и определяет тип начисления процентов: 1 – в начале периода (поток пренумерандо) и 0 – в конце периода (поток постнумерандо). На практике наибольшее распространение получил поток постнумерандо, поэтому для аргумента Тип мы будем задавать значение 0;
· аргумент ПЛТ – задает величину периодического платежа CFt (для элементарного денежного потока он равен 0).
¨ Замечания:
а) аргументы Тип и ПЛТ могут быть опущены, для них по умолчанию задается значение 0;
б) при задании аргументов PV и FV необходимо учитывать характер денежного потока:
– {- PV; FV } – «вначале отдаем, потом получаем» (например, депозит);
– { PV; - FV } – «вначале берем, потом отдаем» (например, ссуда);
в) по умолчанию вывод результата на экран осуществляется в формате, заданном в функции (денежный, процентный). Если формат по каким-либо соображениям не устраивает, его необходимо изменить через диалоговое окно «Формат ячеек».
На рис. 2.3.15 показано решение примера 1 с использованием рассмотренных финансовых функций.
| A | B | C | D | E | |
| Пример 1 | |||||
| PV | r | n | FV | Что считаем? | |
| -10000,00 | 10% | 13 310,00 | FV | ||
| -10000,00 | 10% | 13310,00 | PV | ||
| -10000,00 | 10% | 13310,00 | r | ||
| -10000,00 | 10% | 13310,00 | n |
Рис. 2.3.15
В ячейке D3 содержится формула:
=БС(B3;C3;0;A3;0),
в ячейке A4:
=ПС(B4;C4;;D4),
в ячейке B5:
=СТАВКА(C5;;A5;D5;0),
в ячейке C6:
=КПЕР(B6;;A6;D6;0).
На практике в зависимости от условий финансовой сделки проценты могут начисляться несколько раз в год (раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно). Какой же вид в этом случае будет иметь выражение (2.12)? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример 2.
Пример 2
Условия примера такие же, как и в примере 1, только проценты по депозиту начисляются 2 раза в год (раз в полгода).
Хотя срок проведения операции остался неизменным (3 года), но изменилось количество периодов начисления процентов 2 ´ 3 = 6. При этом также необходимо использовать и «скорректированную» на соответствующий период процентную ставку (в нашем случае 5%). Для примера 2 имеем:
FV = PV (1+ r /2)2´3 = 10000 ´ (1+5%)6 =
10000 ´ 1,056 = 13400,96 (у. е.).
Проведя анализ примера 2, можно получить общую формулу для определения будущей величины денежного потока при начислении процентов несколько раз в год:
, (2.14)
где m – число периодов начисления в году.
При m = 1 формула (2.14) превращается в формулу (2.12).
¨ Замечание. Формулу (3) можно использовать только для целого числа периодов m ´ n, в противном случае необходимо пользоваться формулами смешанных вычислений.
На рис. 2.3.16 показано решение примера 2.
| A | B | C | D | E | F | |
| Пример 2 | ||||||
| PV | r | n | m | FV | Начисление процентов | |
| -10000,00 | 10% | 13 310,00 | раз в год | |||
| -10000,00 | 10% | 13 400,96 | 2 раза в год (раз в полгода) | |||
| -10000,00 | 10% | 13 448,89 | 4 раза в год (ежеквартально) | |||
| -10000,00 | 10% | 13 481,82 | 12 раз в год (ежемесячно) |
Рис. 2.3.16
В ячейке E11 содержится формула:
=БС(B11/D11;C11*D11;;A11;0),
в других ячейках (E12:E14) содержатся аналогичные формулы с соответствующим смещением ячеек.
Заметим, что мы рассмотрели наиболее простые ситуации, когда срок проведения операции определялся целым числом лет. При несоблюдении этого условия вышеприведенные формулы необходимо дорабатывать.
В библиотеке MS Excel, кроме вышерассмотренных, содержится еще ряд функций для расчета характеристик элементарных денежных потоков (например, функции БЗРАСПИС, ЭФФЕКТ, НОМИНАЛ).
Финансовые операции с элементарными денежными потоками лежат в основе проведения финансовых операций с денежными потоками более сложной структуры, какими являются, например, аннуитеты.
