Экономико-математические методы. o Методы элементарной математики;

o Методы элементарной математики;

o Классические методы математического анализа: дифференцирование, интегрирование, вариационное исчисление;

o Методы математической статистики: изучение одномерных и многомерных статистических совокупностей;

o Эконометрические методы: производственные функции; межотраслевой баланс народного хозяйства; национальное счетоводство;

o Методы математического программирования: оптимизация, линейное, квадратичное и нелинейное программирование; блочное и динамическое программирование;

o Методы исследования операций: управление запасами; методы технического износа и замены оборудования; теория игр; теория расписаний; методы экономической кибернетики;

o Эвристические методы.

Моделирование. Отражение действительности производится с помощью математических моделей - формул. Например, производительность труда находится как средняя выработка на одного работника (λ^R):

λ^R = N/R,

где N - оборот или объем выработки продукции на предприятии;

R - численность работников на этом предприятии.

Типы моделей могут быть аддитивные (модели сложения), например, себестоимость (S):

S = А + М + U,

где А - амортизация;

М — материалы;

U — зарплата начислениями;

мультипликативные (модели умножения), например, продукция находится из выражения

N = λ^Е ^ х Е,

где N — оборот, т. е. сумма средств, вырученных за рассматриваемый период от реализации продукции (в ценах предприятия, т.е. без НДС и других косвенных налогов);

λ^Е — оборачиваемость оборотного капитала, т.е. объем реализованной продукции, приходящейся на 1 руб., вложенный в оборотные средства предприятия;

Е - средняя (хронологическая) величина оборотного капитала;

кратные (модели деления), например вышеприведенная формула производительности труда.

Используются следующие методы моделирования

методы удлинения модели. Например, показатель капиталоемкости продукции находится из выражения

λ^К = K/N.

В связи с тем, что

K=F+E,

капиталоемкость может быть разложена следующим образом:

λ^К = K/N = F/N + E/N.

Вводим обозначения:

λ^F — капиталоемкость (фондоемкость продукции по основному капиталу).

λ^F = E/N;

λ ^Е — капиталоемкость продукции по оборотному капиталу.

λ^E= E/N.

В результате получаем, что капиталоемкость продукции складывается из капиталоемкости продукции по основному капиталу и капиталоемкости продукции по оборотному капиталу:

λ^K = λ^F + λ^E;

методы расширения факторной системы. Например, фондоемкость продукции по основному капиталу находится из выражения

λ^F =F/N.

Умножив и разделив на А (амортизация), получим

F/N = (F/A) x (A/N),

где F/A — количество лет службы основных средств;

A/N — амортизациемкость продукции (доля амортизации в продукции);

методы сокращения факторной системы (модели). Например, рентабельность (λ):

где Р — прибыль;

К — капитал.

Воспользовавшись соотношением

K=F+E,

сделаем следующие преобразования:

,

где – прибыльность продукции;

– фондоемкость основного капитала;

– оборачиваемость оборотного капитала.

Методы факторного анализа. Для выделения влияния факторов могут использоваться следующие методы: дифференцирование, индексный метод, метод цепных подстановок, интегральный метод.

Дифференцирование

Если мы имеем функцию от двух аргументов

N=f( λ, R)

где λ и R - аргументы функции f, то дифференциал от нее записывается в виде

∆N=∆f( λ ,R)= f^/ _λ ∆λ^+f^/_R∆R+ ε,

где ∆N, ∆λ, ∆R - приращения значения функции и ее аргументов

f^/ _λ,, f^/_R - частные производные функции/по ее аргументам, соответственно;

ε — ошибка вычислений, равная отклонению значения суммы полученных произведений от точного значения

ε = ∆λ х ∆R.

Полученное выражение позволяет выделить в ∆N — изменении функции под влиянием: двух факторов (f^/ _λ ∆λ — влияние первого фактора; f^/_R∆R - влияние второго фактора) и ε - ошибки вычислений, обусловленной их совместным воздействием.

Другие методы отличаются от дифференциального тем, что из различных соображений распределяют значение е между рассматриваемыми факторами.

В качестве примера дифференцирования выше мы рассмотрели функцию N= λ х R, отражающую зависимость N— выпуска продукции от λ — производительности труда и R — численности работников,

где f^/ _λ ∆λ - влияние изменения производительности труда (интенсивный фактор);

f^/_R∆R — влияние изменения числа работников (экстенсивный фактор);

ε — ошибка вычислений.

Индексный метод

Применение этого метода рассмотрим на этом же примере.

Индексом (0) будем снабжать показатели, относящиеся к прошлому (базовому) периоду.

Индексом (1) будем снабжать показатели, относящиеся к текущему (рассматриваемому) периоду.

Знак 2 обозначает суммирование по всем производимым продуктам. В принятых обозначениях изменение объема выпуска продукции за рассматриваемый период (от базового до отчетного) может быть выражено как результат влияния двух факторов: изменения производительности труда при производстве продукции каждого вида и изменения численности

работающих, занимающихся выпуском продукции соответствующего вида, что выражается соотношением

Здесь I^R — индекс (влияние) численности работающих, отражающий влияние на изменения оборота роста численности работающих:

;

I^λ — индекс (влияние) производительности труда, отражающий влияние на изменения оборота роста производительности труда работающих:

Разница числителя и знаменателя дает абсолютное влияние факторов. При расчетах влияния применяются общие правила.

Правило 1. При определении величины количественного фактора приращение количественного фактора умножается на величину базового качественного фактора.

Правило 2. При определении влияния качественного фактора его приращение умножается на отчетное (следующее за базовым) значение количественного фактора.

Метод цепных подстановок

Введем следующие обозначения:

Y₀ = a_0, b₀, c₀ - базовые значения результативного показателя.

В это выражение сделаем первую подстановку фактического значения фактора a₁,:

Y_a = a₁, b₀, c₀.

Сделаем вторую подстановку — фактического значения фактора b₁:

Y_b = a₁, b₁, c₀...

Наконец, сделаем третью подстановку фактора с₁:

Y_a = a₁, b₁, c₁. — это конечные значения результативного показателя.

Тогда

Y_a – Y₀ - влияние фактора а,

Y_b – Y_a — влияние фактора Ь,

Y_c – Y_b — влияние фактора с и т.д. при количестве аргументов (факторов) более трех.

В рассматриваемом примере

N₀ = R₀λ₀ - базовое значение продукции;

N_R = R₁λ₀ - первая подстановка (фактора R₁), значит N_R — N₀, т.е. R₁λ₁ — R₀λ₀ - влияние численности работающих;

N₁ = R₁λ₁ — вторая подстановка (фактора X), значит N_R — N₀, т.е. R₁λ₁ — R₁λ₀ - влияние фактора производительности труда.

Интегральный метод

В этом методе расчеты проводятся на основе базовых значений показателей, а ошибка вычислений распределяется между факторами поровну В рассматриваемом примере получим

.

Применение перечисленных методов рассмотрим на примере анализа влияния на прирост продукции величины основных производственных фондов и фондоотдачи. Исходные данные приведены в табл. 9.3.

Таблица 9.3

Анализ влияния факторов на прирост продукции (на примере фондоотдачи)

Показатели	Условные обозначения	Формула расчета	План (0)	Факт(1)	Отклонения (∆), гр.5-гр.4	Выполнение плана, % гр.5/гр.4х100
Продукция (оборот), млн.руб.	N				+878	104,1
Основные производственные фонды, млн. руб.	F				+447	101,9
Фондоотдача, копеек на рубль	φ	стр.1/стр.2 х 100	93,08	95,05	+1,97	102,1

 

Необходимо исследовать влияние на изменение оборота ∆N = +878 млн. руб. факторов изменений величин основных фондов и фондоотдачи.

Используя метод цепных подстановок, находим.

Влияние изменения величины основных фондов (влияние количественного фактора)

∆N_F = φ₀ x ∆F = 93,08 х 447 = 41 млн. руб.

Дополнительное влияние изменения фондоотдачи (влияние качественного фактора)

∆N_F1φ =∆φ х F₁ = 1,97 х 23447 =46 млн. руб.

Суммарное влияние факторов

∆N = ∆N_F + ∆N_F1φ = 416+462 =878 млн. руб.

Используя интегральный метод, получим.

Влияние изменения величины основных фондов (влияние количественного фактора)

∆N_F = φ₀ x ∆F + ∆φ x ∆F/2 = 93,08 х 447 + 1,97 х 447/2 =420,5 млн. руб.

Влияние изменения фондоотдачи (влияние качественного фактора)

∆N_φ = ∆φ x F₀ + ∆φ x ∆F/2 = 1,97 х 23000 + 1,97 х 447/2 = 457,5 млн. руб.

Суммарное влияние факторов:

∆N = ∆N_F + ∆N_φ = 420,5 + 457,5 = 87 млн. руб.