Расчет № 3. Электромагнитное устройство

РАСЧЕТ №1. ТРАНСФОРМАТОР-ФОРМИРОВАТЕЛЬ

Рис. 2.1. Схема трансформатора-формирователя

Исходные данные:

1. Источник ЭДС e(t) - знакопеременное напряжение пря­моугольной формы с амплитудой Е и частотой f

2. R₁ - сопротивление резистора в первичной цепи.

3. R_Н - сопротивление резистора нагрузки.

4. Магнитопровод трансформатора - кольцевой сердечник с габаритными размерами D, d, h.

 

5. Магнитная характеристика сердечника представлена идеализированной зависимостью В(Н) с остаточной индукцией B_г и коэрцитивной силой Н_С (рис. 2.2).

6. W₁, W₂ - число витков первичной и вторичной обмоток трансформатора, соответственно.

Примерная схема трансформатора.

 

Задание

Рассчитать и построить временные диаграммы тока в первичной цепи i₁(t), напряжение на нагрузке U_Н(t), а также изменения индукции В(t) и напряженности H(t) в магнитопроводе.

Определить значение амплитуды питающего напряжения E_Θ, при котором угол насыщения будет равен заданному значению Θ_S.

 

Таблица 2.1
№	Е	f	R1	Rн	W1	W2	Br	Нс	D	d	h
вар.	В	кГц	Ом	Ом			Тл	А/м	мм	мм	мм
		2,5					0,3

 

 

2.2. Выполнение расчета.

Упростим расчетную схему, осуществив приведение сопротивления нагрузки к первичной обмотке:

R_н’=R_н•w₁²/w₂²=100•50²/50²=100 (Ом) (2-1)

Для схемы, представленной на рис. 2.3 для временного ин­тервала, соответствующего длительности полупериода питающе­го напряжения, составим систему уравнений, которую решим от­носительно напряжения на первичной обмотке U_W1.

По закону Кирхгофа для контура:

E=i₁•R₁+U_w1 (2-2)

По закону Кирхгофа для узла цепи:

i₁= i_н’₊ i_µ (2-3)

где i_µ намагничивающий ток (ток, потребляемый от источника ЭДС в режиме холостого хода);

Длина средней магнитной линии в l сердечнике равна:

l=(D+d)/2•π =(10+5)/2•π=23,56 (мм)

i_µ=H_c•l/w₁=75•23,56•10^-3/50=35,34•10^-3=35,34 (мА) (2-4)

приведенный ток нагрузки i_н’=U_w1/R_н’ (2-5)

Рис. 2.3. Расчетная схема трансформатора

 

Решая систему уравнений, получим:

U_w1=[E-i_µ•R₁]/[1+R₁/R_н’]=(3-35,34•10^-3•40)/(1+40/100)=(3-1,414)/1,4=1,133 (В) (2-6)

i_н'=1,133/100=11,33 (мА)

i₁=11,33+35,34=46,67 (мА)

В соответствии с законом электромагнитной индукции:

U_w2=U_н=U_w1•w₂/w₁=1,133•50/50=1,133 (В) (2-7)

Постоянство во времени значения напряжения на обмотках трансформатора (U_W1 и U_W2) определяют линейный характер из­менения индукции B(t) на интервале от начала перемагничивания (В= -В_r) до его окончания (В= +В_r).

Площадь поперечного сечения S сердечника равна:

S=(D-d)/2•h=(10-5)/2•1=2,5 (мм²)

Время, за которое магнитопровод достигнет состояния на­сыщения t_s, определяется как

t_s=2•B_r•S•w₁/U_w1=2•0,3•2,5•50/1,133=66,20 мкс (2-8)

Если это время превышает длительность полупериода питающего напряжения

t_s>T/2=1/(2•f)=1/(2•f)=200 мкс (2-9)

то режима насыщения магнитопровода в пределах полупериода не наступает, а трансформатор работает в режиме, определяемом изменением индукции в сердечнике ΔВ<2В_r:

ΔB=U_w1/[2•f•S•w₁]=1,133/[2•2,5•10³•2,5•10^-6•50]=1,813 Тл (2-10)

При насыщении магнитопровода в рассматриваем интерва­ле (t_s<T/2), напряжение на обмотках трансформатора становится равным нулю в диапазоне (t_s-Т/2), поскольку индукция остается постоянной (В=В_r) и, следовательно, скорость ее изменения dB/dt=0. Этот интервал характеризуется скачкообразным измене­нием тока в первичной цепи до уровня

I_s=E/R₁=3/40=75 (мА) (2-11)

и, соответственно, напряженности в магнитопроводе до уровня

H_s=I_s•w₁/l=75•50/23,56=159,17 (А/м) (2-12)

Угол насыщения Θ_S может быть определен как

Θ_S=π•t_s/(T/2)=t_s•2•π/T=t_s•2•π•f=66,20•10^-6•2•π•2,5•10³=1,04 (радиан)≈59,8° (2-13)

При изменении знака питающего напряжения (четный полупериод) характер изменения переменных сохраняется, изменя­ется лишь их полярность. Задача определения амплитуды питающего напряжения E_S, соответствующей заданному углу на­сыщения Θ_s выполняется в обратном порядке.

Время перемагничивания t_S находим из соотношения (2-13)

 

t_s=Θ_s/[2•π•f]=1,04/(2•π•2,5•10³)=66,21 (мкс) (2-14)

Необходимые для этого значения напряжения на обмотках w₁, согласно соотношению (2-8)

U_w1=2•B_r•S•w/t_s=U_w2=U_н=2•0,3•2,5•50/66,21=1,133 (В) (2-15)

а амплитуду питающего напряжения в соответствии с (2-6)

E=U_w1•[1+R₁/R_н’]+i_µR₁=1,133•(1+40/100)+35,34•10^-3•40=1,5862+1,4136=3 (В) (2-16)

 

Характер протекающего процесса следует отобразить на со­вмещенных временных диаграммах, построенных в одинаковом временном масштабе с соблюдением примерного масштаба по оси ординат. Графики должны быть строго синхронизированы по времени и расположены на отдельном листе. Координаты точек, определяющих сам процесс либо его изменение, нужно отметить на диаграммах их числовыми значениями.

Результаты расчета:

Таблица 2.2
№ вар-та	l, мм	S, мм2	Rн', Ом	Т/2,мкс	Iµ, мА	ts, мкс
	23,56	2,5			35,34	66,20

 

Таблица 2.3
Для t≤ts
Uw1,B	I1,мA	Uн,B
1,133	46,67	1,133

 

Таблица 2.4
Для t>ts
Uw1,B	I1,мA	Uн,B
1,133

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое приведённое сопротивление? Как производится пересчет сопротивления резистора от, одной обмотки к другой?

2. Определить понятие «угла насыщения». Как угол насыщения связан с временем насыщения (временем перемагничивания)?

3. Определите понятие среднего за полупериод значения напряжения на нагрузке. Чем объяснить стабилизирующее свойство магнитного сердечника с прямоугольной петлей гистерезиса?

4. Каким образом можно экспериментально определить магнитную составляющую тока в цепи первичной обмотки (ток намагничивания), обусловленную параметрами магнитопровода?

5. Для заданной характеристики В(Н) определить энергию, необходимую для перемагничивания магнитопровода.

6. Для заданного значения частоты питающего напряжения определить мощность, рассеиваемую магнитопроводом.

 

 

РАСЧЕТ № 2. ДРОССЕЛЬ

 

Рис. З.1. Схема электрической цепи с дросселем

e(t) - источник ЭДС (прямоугольный импульс с амплитудой: E и длительностью t_и);

R - резистор;

Др - дроссель: магнитопровод дросселя - кольцевой сердечник с габаритными размерами D,d,h; число витков обмотки-W; остаточная индукция материала - В_r; коэрцитивная сила - Н_с.

 

Примерные схемы кольцевых дросселей:

 

Задание

1. Рассчитать и построить зависимости B(t), H(t), i(t) для двух вариантов магнитной характеристики материалов, представленных на рис. 3.2, считая начальным (исходным) состояние сердечника с индукцией равной -B_r. Материалы отличаются типом магнитной характеристики, но имеют одинаковые параметры B_r и Н_c. Данные для расчета приведены в таблице 3.1. Геометрические данные магнитопроводов (в соответствии с № сердечника в таблице 3.1) и их магнитные параметры приведены в таблице 3.2.

2. Определить время перемагничивания сердечника дросселя для обоих вариантов петли гистерезиса.

3. Используя временные диаграммы i(t) и e(t) построить зависимость напряжения на дросселе U_др(t).

4. Найти вольт-секундную площадь напряжения на дросселе и сопоставить ее с расчетным значением.

 

Рис. 3.2. Варианты аппроксимации петли гистерезиса сердечника дросселя

 

Таблица 3.1
№ вар.	Данные для расчёта
Е В	tu мкс	R Ом	W	№ серд.
		0,5

 

Таблица 3.2
№ вар.	Данные для расчёта
D мм	d мм	h мм	Br Тл	Hc А/м
			1,3	0,185

 

Выполнение расчета

Для варианта 1 (идеально прямоугольная и идеально квадратная петля гистерезиса, рис. 3.2,а) процесс перемагничивания характеризуется постоянством напряженности магнитного поля в сердечнике равной Н_с, и, соответственно постоянством тока в цепи i(t) определяемого согласно закону полного тока

Длина средней магнитной линии в l сердечнике равна:

l=(D+d)/2•π =(3+2)/2•π=7,854 (мм)

i(t)=I=H_c•l/W=30•7,854•10^-3/4=58,91 (мА) (3-1)

Приложенное к цепи напряжение источника ЭДС по закону Кирхгофа уравновешивается падением напряжения на резисторе R и противо-ЭДС, наводимой на обмотке дросселя в соответст­вии c законом электромагнитной индукции

(По закону Фарадея: U_w=W•dФ/dt)

E=i₁(t)•R+U_w=I•R+W•S•dB(t)/dt (3-2)

Приведенное соотношение позволяет рассчитать и построить за­висимость изменения во времени индукции В в сердечнике дрос­селя. Поскольку, как следует из (3-2),

Площадь поперечного сечения S сердечника равна:

S=(D-d)/2•h=(3-2)/2•1,3=0,65 (мм²)

dB(t)/dt=(E-I•R)/(W•S)=[4-58,91•10^-3•20]/[4•0,65•10^-6]=(4-1,1782)/(1,5384•10^-6)=

=1,085 (Тл/мкс)=const (3-3)

то, перейдя к приращению индукции ΔВ за интервал времени Δt, имеем,

ΔB/Δt=(E-I•R)/(W•S) (3-4)

или для полного перемагничивания из состояния -В_r в состояние +В_r за время насыщения t_s1

2•B_r/t_s1=(E-I•R)/(W•S) (3-5)

откуда время “насыщения” для варианта 1

t_s1=(2•B_r•S•W)/(E-I•R)=2•0,185•0,65•10^-6•4/[4-58,91•10^-3•20]=0,338 (мкс) (3-6)

Если t_s1< t_u, то оставшийся интервал времени (t_s1 - t_u) магнитопровод будет находиться в состоянии насыщения (+В_r), а изменившийся скачком ток в цепи составит величину i₁=I₁=E/R=4/20=200 (мА) и напряженность

H=I₁•W/l=200•10^-3•4/(7,854•10^-3)=101,86 (А/м) (3-7)

Если t_s1> t_u, то из выражения (3-4) можно определить ΔВ за время импульса.

 

При анализе переходного процесса в цепи для варианта 2 (иде­ально прямоугольная аппроксимация петли гистерезиса с линейной на участке перемагничивания зависимостью В(Н)- рис. 3.2,6) следу­ет использовать величину собственной индуктивности обмотки дросселя:

L=µ•µ₀•W²•S/l=0,0061667•4²•0,65•10^-6/(7,854•10^-3)=8,166 (мкГн) (3-8)

где µ•µ₀=B_r/H_c=0,185/30=0,0061667 (Гн/м) - дифференциальная магнитная проницаемость сердечника на указанном участке.

S и l - площадь поперечного сечения магнитопровода и длина его средней линии, соответственно.

При этом для тока i₂ будет справедливо выражение

i₂(t)=E/R•[1-exp(-t/τ)] (3-9)

где τ=L/R=8,166•10^-6/20=0,408 (мкс) - постоянная времени цепи перемагничивания.

Индукция в магнитопроводе связана с напряженностью

B₂=-B_r+µ•µ₀•H₂(t) (3-10)

а напряженность по закону полного тока

H₂(t)=i₂(t)•W/l (3-10)

Длительность процесса полного перемагничивания может быть определена как время t_s2, когда индукция в сердечнике достигает значения +В_r, либо исходя из условия, что процесс перемагничи­вания заканчивается при напряженности Н=2Н_c (см. рис. 3-2,6).

Изменение переменных после насыщения магнитопровода аналогично варианту 1.

B₂=-B_r+µ•µ₀•i₂(t)•W/l → i₂(t)=(B₂+B_r)•l/[µ•µ₀•W] → E/R•[1-exp(-t/τ)]=(B₂+B_r)•l/[µ•µ₀•W]

E/R•[1-exp(-t_s2/τ)]=2•B_r•l/[µ•µ₀•W] →

4/20•[1-exp(-2,451•10⁶•t_s2)]=2•0,185•7,854•10^-3/[0,0061667•4]

0,2-0,2•exp(-2,451•10⁶•t_s2)=0,1178

exp(-2,451•10⁶•t_s2)=0,411

-2,451•10⁶•t_s2=-0,889

t_s2=0,363 мкс

 

Результаты расчета:

Таблица 3.3
l, мм	S, мм2	dB(t)/dt, Тл/мкс
7,854	0,65	1,085

 

Таблица 3.3.1
i(t<ts1)=I, мА	ts1, мкс	i1(t>ts1)=I1, мА	H(t>ts1), А/м
58,91	0,338		101,86

 

Таблица 3.3.2
L, мкГн	µ•µ0, Гн/м	τ, мкс	ts2, мкс
8,166	0,0061667	0,408	0,363

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Какие конструктивные и магнитные параметры сердечника определяют величину индуктивности дросселя?

2. Как связана магнитная проницаемость сердечника с на-клоном характеристики В(Н)?

3. Как изменится ток в R-L цепи для первого варианта петли гистерезиса (рис.3.2, а) при изменении сопротивления резистора R.

4. Рассчитать длительность импульса Я при которой насыщение сердечника (1-ый вариант характеристики В(Н)) произойдет в конце импульса.

5. Рассчитать длительность импульса щ при которой насыщение сердечника (2-ой вариант характеристики В(Н)) произойдет в конце импульса.

 

 

РАСЧЕТ № 3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ УСТРОЙСТВО

1. -сердечник электромагнитной системы;

2. -якорь электромагнита;

3. -пружина, характеризуемая значением механического усилия Р_м;

4. -воздушный зазор δ;

5. -немагнитная прокладка толщиной 0,2δ;

 

Геометрические размеры магнитной системы (a,b,c,e,f), значения механического усилия пружины Р_м, магнитная проницаемость сердечника µ₁ и якоря-µ₂, диаметр провода d_пр и величина зазора δ представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1
№	µ1	µ2	Pм Н	dпp мм	δ мм	Размеры сердечника
а мм	в мм	с мм	е мм	f мм
				0,2	0,5

 

Задание

Составить электрическую схему замещения магнитной цепи. Определить значения магнитных сопротивлений сердечника, якоря и воздушных зазоров.

1. Для заданных диаметра провода и коэффициента заполнения окна сердечника определить максимально возможное число витков обмоток w, нанесенных на стержни сердечника.

2. Рассчитать величины напряжений срабатывания (притяжения якоря к сердечнику) и отпускания (оттягивание его пружиной в исходное состояние) электромагнитного устройства.