Дивергенция векторного поля

Теория поля

Скалярное и векторное поля

В некоторых профилирующих инженерных дисциплинах (гидромеханика, теплотехника, радиотехника и электротехника) широко используются элементы математической теории поля. Само понятие поля заимствовано из механики и физики. Его смысл заключается в том, что каждой точке пространства или некоторой его области отнесено значение некоторой величины. Поле может быть скалярным или векторным в зависимости от характера рассматриваемой величины. Например, при исследовании неравномерно нагретого твердого тела каждой его точке отнесено значение скалярной величины – температуры и таким образом определено скалярное поле температур. Рассмотрение потока жидкости или газа приводит к векторному полю скоростей частиц жидкости. Другими примерами векторных полей является электрическое поле точечного заряда, гравитационное поле, поле магнитной напряженности и так далее.

При математическом описании поле величины определяется функцией переменных , и :

(скалярное поле, числовая функция),

(векторное поле).

В случае зависимости от двух переменных поле называют плоским. Понятие нестационарного поля предполагает наличие дополнительной переменной – времени : .

Рассмотрим скалярное поле, заданное функцией . Наглядное представление скалярного поля получается с помощью поверхностей уровня, в точках которых величина принимает постоянное значение и которые имеют уравнения . Важной характеристикой поля является вектор градиента

. (1)

Вектор направлен по нормали к поверхности уровня в сторону наибольшего возрастания функции . Через градиент выражается скорость изменения величины в направлении вектора по формуле

. (2)

Наглядное представление о векторном поле дают векторные линии, которыми называют кривые, в точках которых касательные направлены в сторону вектора . Если – радиус-вектор линии, то вектор направлен по касательной к ней. Тогда вектор также направлен по касательной к векторной линии. Это значит (по определению векторной линии), что вектора и параллельны и поэтому будет

. (3)

Равенства (3) представляют собой систему дифференциальных уравнений и дают возможность определить векторные линии поля.

Пример 1. Скалярное поле имеет . Для векторного поля градиента из соотношений (3) получим

,

откуда или ;

из уравнения находим . Таким образом векторное поле имеет векторные линии, которые получаются при пересечении цилиндрических поверхностей плоскостями .

Поток векторного поля

Для векторного поля произвольной природы интеграл называют потоком векторного поля. Поток – величина скалярная. Его наглядный смысл заключается в том, что поток пропорционален числу векторных линий, проходящих через поверхность .

Поток выражается через интеграл, который называют поверхностным интегралом второго рода. Вычисление данного интеграла сводится к двойному интегрированию.

Пусть поверхность задана уравнением и , где – проекция поверхности на плоскость ХОУ. В этом случае нормаль к поверхности имеет координаты и .

, (5)

где .

Примеры. 1. Требуется определить поток векторного поля

через часть плоскости , лежащую в первом октанте.

Рис. 6.3. Рис. 6.4.

Из уравнения плоскости находим:

, , , .

Согласно формуле (5) запишем

.

Расстановка пределов интегрирования произведена в соответствии с рисунком 6.3.

2. При вычислении потока векторного поля через поверхность цилиндра, показанного на рис. 6.4, разбиваем интеграл в формуле (6.4) на три части

, (6.6)

где , , – соответственно боковая поверхность, верхнее и нижнее основание цилиндра. Так как , то скалярное произведение равно проекции вектора (радиус-вектор точек поверхности) на направление нормали. Имеем

– для точек боковой поверхности,

– верхнего основания,

– нижнего основания цилиндра.

После подстановки в формулу (6.6) получим

.

Дивергенция векторного поля

Это отношение характеризует среднюю плотность источников или стоков в единице объёма. Его предел при , когда тело стягивается в точку называют дивергенцией векторного поля в точке М

. (7)

Таким образом, вводится понятие дивергенции, которое является количественной характеристикой источников и стоков векторного поля.

Установим для дивергенции более удобное выражение чем (7). Для этого воспользуемся формулой Остроградского - Гаусса

, (8)

где , V – объём, ограниченный замкнутой поверхностью . С учетом формулы (6.8) получим

. (9)

Выражение (9) позволяет достаточно просто вычислить значение дивергенции, а затем по её знаку определить наличие источников или стоков в точках поля:

- в точке М нет ни источников, ни стоков,

- имеется источник поля,

- присутствует сток.