Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе

Общее задание.

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля

=5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением , получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям x, y, z, а также картину распределения полей в плоскостях xy и zx. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты. Во всех случаях считаем, что параметр m=1.

Параметры задачи

Волна H₂₅ a ´ b = 110 x 55 мм; l = 21 мм, диэлектрическая проницаемость e = 1 Рассчитать .

 

Решение

Оси координат расположим в соответствии рисунку 2.1.

 

 

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого e. Длина волновода в направлении оси z не ограничена. Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала

(g = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода d = gE есть величина конечная, поэтому при g®Ґ, E®0

 

Электромагнитное поле в волноводе описывается волновым уравнением:

(2.1)

где – круговая частота, – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Для заданого типа волны выполняется следующее условие:

E_z = 0, H_z ¹ 0, m = 2, n = 4.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математическом отношении находит свое выражение в том, что каждая из составляющих волн, при записи ее имеет множитель exp(-kp*z), где kp – коэффициент распространения.

Если подставить в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

(2.3)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида

(2.4)

справедливого для гармонических процессов в волноводах

– продольный коэффициент распространения в волноводе, – длины волны в волноводе. Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.4) в (2.3):

(2.3ў)

Обозначим . (2.5)

и поделим (2.3ў) на . Получаем

(2.6)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде

(2.7)

и подставим в (2.6), получаем:

Разделяя это уравнение на XY получим:

Сумма двух функций и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу – только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к простым и положим

(2.6а)

(2.6б)

Здесь p, q есть некоторые постоянные числа. Решением двух последних уравнений являются функции

Здесь есть постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (2.4),

(2.7)

Здесь комплексная амплитуда

Для определения значений p, q, j, обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

(2.8)

(2.11)

(2.9)

(2.12)

(2.10)

(2.13)

В силу того, что для H-волны , то уравнения (2.10), (2.11), (2.12) можно упростить, убрав выражения, содержащие .

Поскольку волны являются бегущими вдоль оси z, то

 

из уравнений(2.11) и (2.12) следует, что

На внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю.

Следовательно,

Если это учесть, то из уравнения (2.7) получим:

Так как по формулам приведения , то мы получим следующее выражение:

(2.14)

где m и n - целые числа; m - равно числу полуволн электромагнитной волны, которое разместиться по ширине волновода. Число n показывает, сколько полуволн разместится по высоте волновода.

Найдем теперь Для определения поступим следующим образом: в уравнении (2.8) произведем замену

 

Тогда получим

Отсюда

(2.18)

Аналогично

(2.19) (2.20)

(2.21)

Проанализируем полученные результаты. Коэффициент играет роль постоянной распространения электромагнитной волны вдоль оси z. Если будет действительным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. Затухание будет отсутствовать, если будет мнимым числом.

Для того чтобы связать с геометрическими размерами волновода a и b и числами m и n, подставим (2.14) в (2.3). Получим . Но .

Поэтому,

.

является мнимым числом при

Таким образом, по волноводу с заданными размерами a и b могут распространяться электромагнитные волны, если частота волны больше .

Для мгновенных значений компонент полей, используя формулу Эйлера и учтя что

, получаем

В свою очередь связана с геометрическими размерами волновода как

 

;

В нашем случае = С

Таким образом:

; ;

 

Выводы

В данной курсовой работе было проведено теоретическое исследование электромагнитного поля для осесимметричного шарообразного тела расположенного в однородном внешнем электрическом поле. Для этого случая были получены аналитические выражения для потенциалов φ_е и φ_i полей E внутри и вне тела.

Также был рассмотрен случай распространения волны в прямоугольном волноводе. Для данной задачи в условии Е -волны были получены аналитические выражения для поперечных и продольных компонент электромагнитной волны.

С помощью применения численных методов были построены графики эквипотенциальных линий электрического поля, а также получены графики зависимости компонент электромагнитной волны в прямоугольном волноводе.

 

Перечень ссылок

1. Бессонов Л.А. «ТОЭ», М.: Высшая школа, 1973г.

2. Воробьев Г.С. «Электромагнитные поля и волны»

3. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие.- М.: Высшая школа, 1989.