Среднее квадратическое отклонение

Расчётно-аналитическая часть.

Задание 1.

По семи цехам завода имеются данные о расходовании материала на производство продукции. Определить расход материала на 1 изделие в среднем по заводу.

Номер цеха	Расход материала, м	Номер цеха	Расход материала, м
На одно изделие	На все изделия	На одно изделие	На все изделия
	0,6			0,5
	0,7			1,5
	0,9			0,25
	0,4

Решение:

Средний расход на 1 изделие =

Средний расход на 1 изделие = = = = = 0,64 (м/изд.)

Ответ: средний расход материала на одно изделие 0,64 м.

Задание 2.

Выработка ткани по цехам фабрики характеризуется следующими показателями:

Номер цеха	Базисный период	Отчётный период
Численность рабочих, чел.	Средняя выработка за смену одним рабочим, м	Выработка ткани всего, м	Средняя выработка за смену одним рабочим, м

Определите среднюю выработку ткани по заводу за смену одним рабочим:

1) в базисном периоде,

2) в отчётном периоде.

Сравните полученные данные. Укажите, какие виды средних необходимо применить в каждом случае.

Решение:

1) в базисном периоде:

Применяем среднюю взвешенную:

Средняя выработка по =

заводу 1 рабочим

Средняя выработка по = =

заводу 1 рабочим

= = = 76,67 (м.)

Ответ: в базисном периоде 1 рабочий за смену вырабатывает в среднем по заводу 76,67 м. ткани.

2) в отчётном периоде:

Применяем среднюю гармоническую:

Средняя выработка по =

заводу 1 рабочим

Средняя выработка по = = =

заводу 1 рабочим

= 82,72 (м.)

Ответ: в отчётном периоде 1 рабочий за смену вырабатывает в среднем по заводу 82,72 м. ткани.

= * 100 % – 100 % = 8 %.

Вывод: средняя выработка ткани по заводу одним рабочим за смену в отчётном году по сравнению с базисным увеличилась на 8 %.

Задание 3.

Имеются следующие данные о снижении себестоимости по отдельным видам продукции в отчётном периоде по сравнению с базисным периодом и о сумме затрат в производстве в отчётном периоде.

Вид продукции	Снижение себестоимости, %	Сумма затрат в производстве в отчётном периоде, млн.руб.
		5,5
		10,1
		20,3
		15,5
		18,3

Вычислить, на сколько в среднем произошло снижение себестоимости по всем видам продукции.

Решение:

Вычислим индекс себестоимости по каждому виду продукции:

i_c(1) = = 0,93;

i_c(2) = = 0,94;

i_c(3) = = 0,91;

i_c(4) = = 0,9;

i_c(5) = = 0,92.

I_c = ; i_c = , => с₀= ,

где с₁ – себестоимость в отчётном периоде,

с₀ – себестоимость в базисном периоде.

Получим:

I_c=

I_c= = = =

= 0,916.

Т_пр = I_c * 100 % – 100 % = 0,916 * 100 % – 100 % = – 8,4 %.

Вывод: в отчётном периоде по сравнению с базисным себестоимость по всем видам продукции снизилась в среднем на 8,4 %.

Задание 4.

Имеются следующие данные о работе 24-х заводов одной отрасли промышленности

№ завода п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Производство продукции за отчетный год, млн. руб.
		6,4
		9,5
		19,2
		18,8
		13,4
		6,7
		12,8
		7,5
		4,6
		2,7


		6,5

		15,8
		7,2
		7,5
		25,8
		11,2

		8,8
		4,6
		23,8
		18,8

По данным таблицы выполнить группировку с равными интервалами заводов по среднегодовой стоимости ОПФ.

Для определения числа групп воспользоваться формулой Стерджесса. Построить вариационный интервальный ряд. Построить полигон, гистограмму, кумуляту. Найти среднее значение изучаемого признака. Найти структурные средние: моду и медиану (с помощью приближённых формул и по гистограмме и кумуляте). Вычислить показатели вариации: размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объяснить смысл каждого показателя.

Решение:

Определим, на сколько групп нужно разбить совокупность по формуле Стерджесса:

k = 1 + 3,322 * lg N,

где N – объём совокупности.

k = 1 + 3,322 * lg 24 = 1 + 3,322 * 1,38 = 1 + 4,58 = 5,58 ≈ 6 групп.

Длина одной части диапазона колебаний:

h =

h = = 31,67 =32

99 131 163 195 227 259 291

диапазон колебаний

Интервальная группировка с равными интервалами:

№ группы	Среднегодовая стоимость	Частости предела
I	[99; 131)
II	(131; 163]
III	(163; 195]
IV	(195; 227]
V	(227; 259 ]
VI	(259; 291]

Вариационный интервальный ряд:

Номер группы	Среднегодовая стоимость	x_i – середина интервала	m_i – частота	w_i – частости	F_i – накопленные частоты	P_i – накопленные частости
I	[99; 131)			0,21		0,21
II	(131; 163]			0,21		0,42
III	(163; 195]			0,21		0,62
IV	(195; 227]			0,25		0,87
V	(227; 259]			0,08		0,96
VI	(259; 291]			0,04
Итого:		N = 24

Середина интервала:

x₁= = 115;

x₂= = 147;

x₃= = 179;

x₄= = 211;

x₅= = 243;

x₆= = 275.

Частости:

w₁= = 0,21;

w₂= = 0,21;

w₃= = 0,21;

w₄= = 0,25;

w₅= = 0,08;

w₆= = 0,04.

Накопленные частоты:

F₁= 5;

F₂= 5 + 5 = 10;

F₃= 10 + 5 = 15;

F₄= 15 + 6 = 21;

F₅= 21 + 2 =23;

F₆= 23 + 1 = 24.

Накопленные частости:

P_i=

P₁= = 0,21;

P₂= = 0,42;

P₃= = 0,62;

P₄= = 0,87;

P₅= = 0,96;

P₆= = 1.

Полигон частот.

Гистограмма.

Кумулята.

Находим среднегодовую стоимость ОПФ одного завода:

= ,

где k – число групп;

x_k – значение середины интервалов;

m_k – соответствующие частоты.

= =

= = =

= 176,3

Мода.

Определение моды с помощью приближённой формулы:

Мо ≈ x_o + h * ,

где x_o – нижняя граница модального интервала;

h – длина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

x_o = 195;

h = 32;

= 6;

= 5;

= 2.

Мо = 195 + 32 * = 201,4.

Медиана.

Определение медианы с помощью приближённой формулы:

Ме ≈ x_o + h * ,

где x_o – нижняя граница медианного интервала;

h – длина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала;

– номер медианы

(Если N – чётное, = ;

если N – нечётное, = ,

где N – объём совокупности).

N = 24 – чётное число, => = = 12.

12 – ему соответствует интервал (163; 195];

x_o = 163;

h = 32;

= 12;

= 10;

= 5.

Ме ≈ 163 + 32 * = 175,8

Дисперсия.



-61,3	-29,3	2,7	34,7	66,7	98,7
3757,69	858,49	7,29	1204,09	4448,89	9741,69
18788,45	4292,45	36,45	7224,54	8897,78	9741,69

Д = ,

где x_i – конкретное значение признака;

m_i – частота;

– среднее значение.

= 185,7

Д = = 2040,89

Среднее квадратическое отклонение.

σ =

σ = = 45,18

Коэффициент вариации.

V = * 100 %

V = * 100 % = 25,63 %.

Задание 5.

Имеются следующие данные о выпуске продукции прядильного производства за 5 лет

Год
Пряжа, тонн

Рассчитать все показатели динамики (базисный год – 2008): средний уровень ряда, абсолютные изменения – приросты или сокращения (цепные и базисные), коэффициенты и темпы роста (цепные и базисные), темпы прироста (цепные и базисные), абсолютное значение 1 % прироста, средний абсолютный прирост (сокращение).

Решение:

Средний уровень ряда:

Данный ряд является моментным (на определённую дату) с равными промежутками между датами. Средний уровень ряда найдём по формуле средней арифметической простой:

= = = 530 т.

Ответ: средний ежегодный выпуск пряжи составил 530т.

Абсолютные изменения (приросты или сокращения):

а) цепные:

∆y_ц= y_t – y_t_-1

∆y_ц= 515 – 500 = +15;

∆y_ц= 525 – 515 = +10;

∆y_ц= 550 – 525 = + 25;

∆y_ц= 560 – 550 = + 10.

б) базисные:

∆y_баз= y_t – y_о

∆y_баз= 515 – 500 = + 15;

∆y_баз= 525 – 500 = + 25;

∆y_баз= 550 – 500 = + 50;

∆y_баз= 560 – 500 = + 60.

Коэффициенты динамики:

а) цепные:

i _{дин.цепной}=

i _{дин.цепной}= = 1,03;

i _{дин.цепной}= = 1,019;

i _{дин.цепной}= = 1,048;

i _{дин.цепной}= = 1,018.

б) базисные:

i _дин_._баз_.=

i _дин_._баз_.= = 1,03;

i _дин_._баз_.= = 1,05;

i _дин_._баз_.= = 1,1;

i _дин_._баз_.= = 1,12.

Темпы роста:

а) цепные:

Т ^р_цепной = i _{дин.цепной}* 100 %

Т ^р_цепной = 1,03 * 100 % = 103%;

Т ^р_цепной = 1,019 * 100 % = 101,9 %;

Т ^р_цепной = 1,048 * 100 % = 104,8%;

Т ^р_цепной = 1,018* 100 % = 101,8%.

б) базисные:

Т ^р_баз= i _{дин.баз}* 100 %

Т ^р_баз= 1,03 * 100 % = 103%;

Т ^р_баз= 1,05 * 100 % = 105%;

Т ^р_баз= 1,1 * 100 % = 110%;

Т ^р_баз= 1,12 * 100 % = 112%.

Темпы прироста:

а) цепные:

Т ^пр_цепной= Т ^р_цепной – 100 %

Т ^пр_цепной= 103% – 100 % = + 3 %;

Т ^пр_цепной= 101,9 % – 100 % = + 1,9 %;

Т ^пр_цепной= 104,8% – 100 % = + 4,8 %;

Т ^пр_цепной= 101,8% – 100 % = + 1,8 %.

б) базисные:

Т ^пр_баз= Т ^р_баз – 100 %

Т ^пр_баз= 103% – 100 % = + 3 %;

Т ^пр_баз= 105% – 100 % = + 5 %;

Т ^пр_баз= 110 % – 100 % = + 10 %;

Т ^пр_баз= 112 % – 100 % = + 12 %.

Абсолютное значение 1 % прироста:

α =

α = ≈ 5 т;

α = ≈ 5,26 т;

α = ≈ 5,21 т;

α = ≈ 5,55 т.

	y_{о баз}
Год
y_t – выпуск пряжи, т
∆y_ц, т	–	+ 15	+10	+ 25	+ 10
∆y_баз, т	–	+ 15	+ 25	+ 50	+ 60
i _{дин.цепной}	–	≈ 1,03	≈ 1,019	≈ 1,048	≈ 1,018
i _{дин.баз}	–	≈ 1,03	≈ 1,05	≈ 1,1	≈ 1,12
Т ^р_цепной	–	103%	101,9 %	104,8%	101,8%
Т ^р_баз	–	103%	105%	110 %	112%
Т ^пр_цепной	–	+ 3 %	+ 1,9 %	+ 4,8 %	+ 1,8 %
Т ^пр_баз	–	+ 3 %	+ 5 %	+ 10 %	+ 12 %
α	–	≈ 5	≈ 5,26	≈ 5,21	≈ 5,55

Средний абсолютный прирост (сокращение):

= = 16,25 (т.)

Ответ: среднее ежегодное увеличение выпуска пряжи составило 16,25 тонн.