Тема. Закон сохранения энергии. Решение задач

16.01.2015

Урок 34 (10 класс)

Тема. Закон сохранения энергии. Решение задач

(Повторение)

Механическая энергия

Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии, например: механическая, внутренняя, энергия электростатических, внутриядерных взаимодействий и др.

Энергия подчиняется закону сохранения, который является одним из важнейших законов природы.

Механическая энергия Е характеризует движение и взаимодействие тел и является функцией скоростей и взаимного расположения тел. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия

Рассмотрим случай, когда на тело массой m действует постоянная сила F ⃗ (она может быть равнодействующей нескольких сил) и векторы силы F ⃗ и перемещения s ⃗ направлены вдоль одной прямой в одну сторону. В этом случае работу силы можно определить как A = F ∙ s. Модуль силы по второму закону Ньютона равен F = m∙a, а модуль перемещения s при равноускоренном прямолинейном движении связан с модулями начальной υ ₁ и конечной υ ₂ скорости и ускорения а выражением s = υ 22− υ 212 a.

Отсюда для работы получаем

A = F ⋅ s = m ⋅ a ⋅ υ 22− υ 212 a = m ⋅ υ 222− m ⋅ υ 212. (1)

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела.

Кинетическая энергия обозначается буквой E _k.

Ek = m ⋅ υ 22. (2)

Тогда равенство (1) можно записать в таком виде:

A = Ek 2− Ek 1. (3)

Теорема о кинетической энергии

работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.

Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ, то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:

A = Ek 2− Ek 1= m ⋅ υ 22−0= m ⋅ υ 22. (4)

Физический смысл кинетической энергии

кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью υ, показывает, какую работу должна совершить сила, действующая на покоящееся тело, чтобы сообщить ему эту скорость.

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел.

Потенциальная энергия поднятого над Землей тела – это энергия взаимодействия тела и Земли гравитационными силами. Потенциальная энергия упруго деформированного тела – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Потенциальными называются силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения движущейся материальной точки или тела и не зависит от формы траектории.

При замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю. К потенциальным силам относятся силы тяготения, силы упругости, электростатические силы и некоторые другие.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются непотенциальными. При перемещении материальной точки или тела по замкнутой траектории работа непотенциальной силы не равна нулю.

Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей

Найдем работу, совершаемую силой тяжести F _т при перемещении тела массой m вертикально вниз с высоты h ₁ над поверхностью Земли до высоты h ₂ (рис. 1). Если разность h ₁ – h ₂ пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяжести F _т во время движения тела можно считать постоянной и равной mg.

Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести, работа силы тяжести равна

A = F ⋅ s = m ⋅ g ⋅(h 1− h 2). (5)

Рис. 1

Рассмотрим теперь движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости (рис. 2) сила тяжести F _т = m∙g совершает работу

A = m ⋅ g ⋅ s ⋅cos α = m ⋅ g ⋅ h, (6)

где h – высота наклонной плоскости, s – модуль перемещения, равный длине наклонной плоскости.

Рис. 2

Движение тела из точки В в точку С по любой траектории (рис. 3) можно мысленно представить состоящим из перемещений по участкам наклонных плоскостей с различными высотами h ’, h ’’ и т. д. Работа А силы тяжести на всем пути из В в С равна сумме работ на отдельных участках пути:

A = m ⋅ g ⋅ h ′+ m ⋅ g ⋅ h ′′+…+ m ⋅ g ⋅ hn = m ⋅ g ⋅(h ′+ h ′′+…+ hn)= m ⋅ g ⋅(h 1− h 2), (7)

где h ₁ и h ₂ – высоты от поверхности Земли, на которых расположены соответственно точки В и С.

Рис. 3

Равенство (7) показывает, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях.

При движении вниз работа силы тяжести положительна, при движении вверх – отрицательна. Работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.

Равенство (7) можно представить в таком виде:

A =−(m ⋅ g ⋅ h 2− m ⋅ g ⋅ h 1). (8)

Физическую величину, равную произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.

Работа силы тяжести при перемещении тела массой m из точки, расположенной на высоте h ₂, в точку, расположенную на высоте h ₁ от поверхности Земли, по любой траектории равна изменению потенциальной энергии взаимодействия тела и Земли, взятому с противоположным знаком.

A =−(Ep 2− Ep 1). (9)

Потенциальная энергия обозначается буквой Е _p.

Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, т. е. высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия Е _p тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы m тела на модуль ускорения свободного падения g и расстояние h его от поверхности Земли:

Ep = m ⋅ g ⋅ h. (10)

Физический смысл потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей

потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести, равна работе, совершаемой силой тяжести при перемещении тела на нулевой уровень.

В отличие от кинетической энергии поступательного движения, которая может иметь лишь положительные значения, потенциальная энергия тела может быть как положительной, так и отрицательной. Тело массой m, находящееся на высоте h, где h < h ₀ (h ₀ – нулевая высота), обладает отрицательной потенциальной энергией:

Ep =− m ⋅ g ⋅ h.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия системы двух материальных точек с массами m и М, находящихся на расстоянии r одна от другой, равна

Ep = G ⋅ M ⋅ mr. (11)

где G – гравитационная постоянная, а нуль отсчета потенциальной энергии (Е _p = 0) принят при r = ∞.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела массой m с Землей, где h – высота тела над поверхностью Земли, M _e – масса Земли, R _e – радиус Земли, а нуль отсчета потенциальной энергии выбран при h = 0.

Ee = G ⋅ Me ⋅ m ⋅ hRe ⋅(Re + h). (12)

При том же условии выбора нуля отсчета потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела массой m с Землей для малых высот h (h «R _e) равна

Ep = m ⋅ g ⋅ h,

где g = G ⋅ MeR 2 e – модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Вычислим работу, совершаемую силой упругости при изменении деформации (удлинения) пружины от некоторого начального значения x ₁ до конечного значения x ₂ (рис. 4, б, в).

Рис. 4

Сила упругости изменяется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы силы упругости можно взять среднее значение модуля силы (т.к. сила упругости линейно зависит от x) и умножить на модуль перемещения:

A = Fupr − cp ⋅(x 1− x 2), (13)

где Fupr − cp = k ⋅ x 1− x 22. Отсюда

A = k ⋅ x 1− x 22⋅(x 1− x 2)= k ⋅ x 21− x 222 или A =−(k ⋅ x 222− k ⋅ x 212). (14)

Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Ep = k ⋅ x 22. (15)

Из формул (14) и (15) следует, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятому с противоположным знаком:

A =−(Ep 2− Ep 1). (16)

Если x ₂ = 0 и x ₁ = х, то, как видно из формул (14) и (15),

Ep = A.