Тема. Момент силы. Условия равновесия тела, которое имеет ось вращения

11.12.2014

Урок 26 (10 класс)

Тема. Момент силы. Условия равновесия тела, которое имеет ось вращения.

Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твердое тело, необходимо для его равновесия, но недостаточно. В этом легко убедиться. Приложите к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2.

Сумма этих сил равна нулю: . Но доска, тем не менее, будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис.7.3). Почему так происходит, понять нетрудно. Ведь любое тело находится в равновесии, когда сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, равна нулю. Но если сумма внешних сил равна нулю, то сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, может быть не равна нулю. В этом случае тело не будет находиться в равновесии. В рассмотренных примерах доска и руль потому и не находятся в равновесии, что сумма всех сил, действующих на отдельные элементы этих тел, не равна нулю.

Выясним, какое же еще условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Для этого воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Найдем, например, условие равновесия стержня, шарнирно закрепленного на горизонтальной оси в точке О (рис.7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики 7 класса, представляет собой рычаг. Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы и . В частности, это могут быть силы натяжения нитей, к концам которых прикреплены грузы. Кроме сил и на рычаг действует направленная вертикально вверх сила реакции со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трех сил равна нулю:

.

Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол . Точки приложения сил и пройдут пути s₁=BB₁ и s₂=CC₁ (дуги BB₁ и CC₁ при малых углах можно считать прямолинейными отрезками). Работа A₁=F₁s₁ силы положительна, потому что точка B перемещается по направлению действия силы, а работа A₂=-F₂s₂ силы отрицательна, поскольку точка C движется в сторону, противоположную направлению силы . Сила работы не совершает, так как точка ее приложения не перемещается.
Пройденные пути s₁ и s₂ можно выразить через угол поворота рычага , измеренный в радианах: и .
Учитывая это, перепишем выражения для работы так:

Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил и , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом силы.

Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда - плечо силы , а - плечо силы . При этом выражения (7.4) примут вид

Из формул (7.5) видно, что при заданном угле поворота тела (стержня) работа каждой приложенной к этому телу силы равна произведению модуля силы на плечо взятому со знаком «+» или «-». Это произведение будем называть моментом силы.
Моментом силы относительно оси вращения тела называется произведение модуля силы на ее плечо. Момент силы может быть положительным или отрицательным.
Момент силы обозначим буквой M:

Будем считать момент силы положительным, если она стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тогда момент силы равен M₁=F₁d₁ (см. рис. 7.4), а момент силы равен M₂=-F₂d₂. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде

а полную работу внешних сил выразить формулой:

Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершить работу. Согласно уравнению (7.7) ненулевая работа может быть совершена лишь в том случае, если суммарный момент внешних сил отличен от нуля. Если же суммарный момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то работа не совершается и кинетическая энергия тела не увеличивается (остается равной нулю), следовательно, тело не приходит в движение. Равенство

и есть второе условие, необходимое для равновесия твердого тела.

При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твердого тела следующие:

Если же тело не абсолютно твердое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Это происходит потому, что под действием внешних сил тело может деформироваться и сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, в этом случае не будет равна нулю.
Приложим, например, к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.
Условия (7.9) являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела. Если они выполняются, то твердое тело находится в равновесии, так как сумма сил, действующих на каждый элемент этого тела, равна нулю.

Домашнее задание

1. Е.В. Коршак, А.И. Ляшенко, В.Ф. Савченко. Физика. 10 класс, «Генеза», 2010. Читать §24, 25 (с.92-96).

2. Ответить на вопросы:

- Что называется моментом силы?

- Какие условия необходимы и достаточны для равновесия твердого тела?