Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути

Похідна від параметрично-заданої функції. Приклад.

Диференціювання функцій, заданих параметрично

Нехай функції і параметрично задають функцію , причому і - функції диференційовні за змінною t і .

Похідну від функції y за змінною x знаходимо, диференціюючи і за змінною t (див. формулу (*)):

 

, .

Тоді

,

тобто

. (3.13)

 

Приклад 3.15. Знайти похідну функції , заданої параметрично: , в точці .

Розв’язання. Знаходимо похідні та : , . За формулою (*) маємо:

 

.

 

Обчислимо значення параметра t в точці .

 

.

Отже, і .

 

Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично. Якщо функції і параметрично задають функцію , то похідні , , можна послідовно обчислити за формулами:

 

, і т. д.

 

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

 

. (3.15)

 

Приклад 3.19. Знайти похідну функції , заданої параметрично: , .

Розв’язання.

 

.

 

за формулою (3.15)

 

.

22. Похідна від функції заданої неявно. Приклад. Похідна неявно заданої функції

Якщо залежність між та задана в неявній формі , причому надалі будемо вважати, що диференційовна функція, то для знаходження похідної достатньо:

а) знайти похідну по від лівої частини рівняння, , враховуючи, що є функцією ;

б) прирівняти цю похідну до нуля ;

в) розв’язати отримане рівняння відносно .

 

Зауваження. Якщо неявно задана функція не задана у вигляді , а має ліву і праву частину, можна не зводити до попереднього вигляду, а брати похідну від лівої і правої частини, враховуючи, що є функцією (як складна), а потім розв’язати рівняння з одним невідомим .

Приклад 1. ;

; .

Застосування першої похідної. Екстремум функції. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Екстремуми функції

Точка х0 називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність

.

Точка х0 називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1. Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або , або не існує.

Теорема 2. Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).

Якщо для х<х0 , а для х0<x , то для х=х0 функція має максимум.

Якщо для х<х0 , а для х0<x , то для х=х0 функція має мінімум.

Теорема 3. Нехай функція два рази диференційована в околі точки х0 і . Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .

Якщо ж , то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1. знаходять критичні точки функції , тобто точки, в яких , або не існує;

2. знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.

Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.

Найбільше та найменше значення функції

Нехай дано функцію, яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення.

Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку?

Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон, величина описуються певною функцією, зміст самої задачі накладає певні обмеження на аргумент, тобто аргумент має певні межі.

Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до П, швидкість тіла доводиться розглядати в проміжку часу від t₀ до t₁ та інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку [a;b] або на його кінцях, то чинять так:

1. знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобто;

3. серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень.

По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).

Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б, тобто. Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.