Классификация погрешностей

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

 

Любые измерения направлены на получение результата, т.е. оценки истинного значения физической величины в принятых единицах. Вследствие несовершенства средств и методов измерения, воздействия внешних факторов результат каждого измерения неизбежно отягощен погрешностью. Качество измерения тем выше, чем ближе результат измерения оказывается к истинному значению.

Количественной характеристикой качества измерений является погрешность измерения, определяемая как разность между измеренным х_изм и истинным х_ист значениями измеряемой величины

 

Dх = х_изм – х_ист, (1.1)

 

где Dх – погрешность измерения.

 

Строго говоря, применение формулы (1) для вычисления погрешности измерения невозможно, поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно. Поэтому это выражение погрешности используется только в теоретических исследованиях, а на практике х_ист заменяется на действительное значение величины х_д, и погрешность рассчитывается по формуле

 

Dх = х_изм – х_д, (1.2)

 

Поскольку действительное значение измеряемой величины только с той или иной степенью приближения заменяет истинное, то погрешность измерения, найденная относительно действительного значения является приближенной оценкой «истинной» погрешности измерения.

Погрешность, выраженная в соответствии с формулами (1) и (2), называется абсолютной погрешностью. Используется также понятие относительной погрешности – погрешности, выраженной в долях измеряемой величины. Относительные погрешности выражают принятыми в системе СИ относительными величинами: безразмерным числом, в процентах и др.

Понятие погрешности характеризует несовершенство измерения. Позитивной характеристикой качества измерений является точность измерения. Точность и погрешность связаны обратной зависимостью – измерение тем более точно, чем меньше его погрешность. Количественно точность выражается числом, равным обратному значению относительной погрешности.

Стандартизованной является оценка качества измерения с указанием погрешности. При этом предпочтение отдается выражению погрешности измерения в форме относительной погрешности, как наиболее информативной, дающей возможность объективно сопоставлять результаты и оценивать качество измерений, выполненных в разное время или разными экспериментаторами.

Качество измерений определяется следующими характеристиками:

– точность – свойство измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины.

– сходимость – это свойство измерений, отражающее близость друг другу результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях, одним и тем же средством измерения, одним и тем же оператором.

– воспроизводимость – это свойство измерений, отражающее близость друг другу результатов измерений, выполняемых в различных условиях.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Следует различать погрешность результата измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Погрешность средства измерения – разность между показанием средства измерения и истинным значением измеряемой физ. величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.

Погрешность результата каждого конкретного измерения складывается из многих составляющих, обязанных своим происхождением различным факторам и источникам. Традиционный аналитический подход к оцениванию погрешностей результата состоит в выделении этих составляющих, изучении их по отдельности и последующем суммировании. Выделив и оценив отдельные составляющие погрешности, иногда оказывается возможным так организовать измерение, чтобы эти составляющие не оказали влияния на результат.

Классификация погрешностей измерений приведена рисунке 1.1.

 

 

Рисунок 1.1

 

Привиденная погрешность – это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность СИ отнесена к условно принятому значению, постоянному во всем диапазоне измерений или его части. Условно принятое значение называют нормирующим. Чаще всего за него принимают верхний предел измерений данного СИ.

Случайная погрешность измерения – погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях изменяется случайным образом по знаку и (или) величине. Случайная составляющая погрешности возможна из-за трения в опорах подвижной части прибора, колебаний температуры окружающего воздуха, влияния магнитных и электрических промышленных помех и т.п.

Грубая погрешность (промах) – это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, резко отличающаяся от остальных результатов.

Грубые погрешности измерений могут сильно исказить доверительный результат, поэтому их исключение из серии измерений обязательно. Обычно они сразу видны в ряду полученных результатов, но в каждом конкретном случае это необходимо доказать. Существует ряд критериев для оценки промахов.

Критерий 3σ.

Данный критерий надежен при числе измерений n ≥ 20.

	±1σ	P = 0,68
±2σ	P = 0,95
±3σ	P = 0,997
±4σ	P = 0,999

 

Рисунок 1.2 – Нормальное распределение погрешностей

 

Как видно из рисунка 1.2, оценка случайной погрешности группы наблюдений интервалом ±1σ соответствует доверительной вероятности 0,68. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32 % от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала. Доверительному интервалу ±3σ соответствует Р = 0,997. Это означает, что практически с вероятностью очень близкой к единице ни одно из возможных значений погрешности при нормальном законе ее распределения не выйдет за границы интервала. Поэтому, при нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами ±3σ предельной (максимально возможной) погрешностью. Т.е. считается, что результат, возникающий с вероятностью Р ≤ 0,003 мало реален и его можно квалифицировать промахом, т.е. сомнительный результат х_i отбрасывается, если

 

(1.3)

 

Критерий Романовского.

Целесообразно применять этот критерий, если число измерений n < 20.

При этом вычисляют отношение

 

(1.4)

 

и полученное значение β сравнивают с теоретическим β_т – при выбираемом уровне значимости Р по таблице 1.1.

Таблица 1.1

Вероятность, Р	Число измерений
n=4	n=6	n=8	n=10	n=12	n=15	n=20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

Обычно выбирают Р = 0,01-0,05, и если β ≥ β_т, то результат считают грубой погрешностью, его отбрасывают и повторяют расчет и σ.

Систематическая погрешность измерения – погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях остается постоянной или закономерно изменяется. Источником систематической погрешности может послужить, например, неточное нанесение отметок на шкалу стрелочного прибора, деформация стрелки. Отличительный признак этих погрешностей заключается в том, что они могут быть предсказаны и устранены введением поправки.

Обязательными компонентами любого измерения являются средство измерения, метод измерения и человек, проводящий измерение. Несовершенство каждого из этих компонентов приводит к появлению своей составляющей погрешности результата.

Инструментальная составляющая систематической погрешности возникает из-за собственной погрешности СИ, определяемая классом точности, влиянием СИ на результат и ограниченной разрешающей способности СИ.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несовершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Субъективные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Как правило эти погрешности возникают из-за ошибок в отсчете показаний.

 

ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

 

Практикой выработаны следующие правила округления результатов и погрешностей измерений.

1) Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной – если первая равна 3 или более, например, 0,16; 0,24; 0,3; 0,8

2) Результат измерения округляется до того же знака, которым оканчивается значение абсолютной погрешности. Например, результат 2,0700, погрешность 0,001; результат округляют до 2,070.

3) Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры числа не изменяют, например: число 253435 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 235400, число 235,435 – до 235,4.

4) Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Например, при сохранении трех значащих цифр число 18598 округляют до 18600, число 152,56 – до 153.

5) Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная и увеличивают, если она нечетная. Например, число 22,5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а число 23,5 – до 24.

6) Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

 

2 АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ

 

Последовательность обработки результатов измерений включает следующие этапы.

1) Для удобства результаты измерений ранжируются: х₁ < x₂ <… <x_i.

2) Вычислить среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

 

(2.1)

 

Если вычисления произведены верно, то должно выполняться следующее условие:

. (2.2)

3) Вычислить оценку среднего квадратического отклонения (СКО) результатов наблюдения:

 

, при n < 20; (2.3)

 

, при n ≥ 20. (2.4)

 

4) Исключить грубые погрешности (промахи). Так как число измерений меньше 20 целесообразно применить критерий Романовского. Вычислить отношение (1.4) и полученное значение β сравнить с теоретическим β_т.

5) Вычислить оценку СКО результата измерения по формуле:

 

(2.6)

 

6)Вычислить доверительные границы случайной погрешности по формуле:

 

ε = t_p × S, (2.7)

 

где t_p – коэффициент Стьюдента, определяемый по таблице 2.1.

Таблица 2.1

n-1	P=0,95	Р=0,99	n-1	0,95	0,99	n-1	0,95	0,99
	3,182	5,841		2,228	3,169		2,064	2,797
	2,776	4,604		2,179	3,055		2,056	2,779
	2,571	4,032		2,145	2,977		2,048	2,763
	2,447	3,707		2,120	2,921		2,043	2,750
	2,365	3,499		2,101	2,878	∞	1,960	2,576
	2,306	3,355		2,086	2,845
	2,262	3,250		2,074	2,819

 

7)Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности по формуле:

 

(2.8)

 

где θ_i – граница i-ой неисключенной составляющей систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р=0,95 k=1,1);

8)Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения: определить отношение неисключенной систематической погрешности к случайной погрешности θ/S.

1) Если , то НСП можно пренебречь и принять границы погрешности результата Δ = ±ε.

2) Если , то случайной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата Δ = ±θ.

3) Если оба неравенства не выполняются, вычисляют СКО результата как сумму НСП и случайной составляющей. Границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляются по формуле:

 

Δ=±К × S_Σ, (2.9)

 

, (2.10)

 

. (2.11)

 

9)Записать результат в виде ±Δ, при вероятности Р.

10) Оценить качество измерений.

Сходимость результатов измерения при доверительной вероятности Р = 0,95 определяется как

 

r = 2,77 × σ_сх, (2.12)

 

где σ_сх – отклонения результатов испытаний в условиях сходимости

 

. (2.13)

 

Точность измерения определяется величиной относительной погрешности среднего значения, определяемой по формуле:

 

(2.14)

 

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

 

Исходные данные

Результаты измерения емкости конденсатора, мкФ:

x₁ = 5,113; x₂ = 5,271; х₃ = 5,198; х₄ = 5,116; х₅ = 5,217; х₆ = 5,222; х₇ = 5,199.

Доверительная вероятность P = 0,95.

НСП q = 0,002 мкФ.

Среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения определяем по (2.1):

мкФ.

Отклонения и квадратические отклонения результатов измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1

xi – x	-0,078	0,08	0,007	-0,075	0,026	0,031	0,008
(xi – x)2	0,006084	0,0064	0,000049	0,005625	0,000676	0,000961	0,000064

 

Среднее квадратическое отклонения результатов наблюдения при числе измерений меньше 20 определяем по (2.2):

= 0,0575 мкФ.

Для исключения из результатов грубых промахов используем критерий Романовского. Наиболее вероятно, что грубыми промахами являются результаты, имеющие наибольшие по модулю отклонения от среднего значения, в нашем случае это минимальное значение х₁ и максимальное – х₂, определяем для них отношение (1.4):

< β_т;

< β_т.

Полученные значения меньше β_т = 2,18, грубых погрешностей в результатах измерений не обнаружено. Нет необходимости проверять остальные результаты измерений, так как их отклонения от среднего значения меньше чем у х₁ и х₂.

Определяем СКО результата измерения по (2.6)

Определяем доверительные границы случайной погрешности СКО результата измерения по (2.7), коэффициент Стьюдента t_p при доверительной вероятности Р=0,95 и числе измерений n = 7 равен 2,447

ε = 2,444 × 0,0906 = 0,222.

Границы суммарной не исключенной систематической погрешности определяются по (2.8):

мкФ.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения определяем отношение не исключенной систематической погрешности к случайной погрешности:

,

т.е. НСП можно пренебречь и принять границы погрешности Δ=±ε;

Результат измерений, определенный в результате обработки:
x = 5,199 ± 0,222 мкФ.

Чтобы оценить качество измерений определим:

– отклонения результатов испытаний в условиях сходимости по (2.13):

;

– сходимость результатов измерения при доверительной вероятности Р = 0,95 по (2.12):

r = 2,77 × 0,079 = 0,219 мкФ;

– относительную погрешность среднего значения по (2.14):

.

 

Рекомендации по выводу

 

После проведения расчета оценить качество измерений по величине относительной сходимости (в процентах к результату измерения) и относительной погрешности, на основании которых сделать выводы: менее 1% – точность (сходимость) высокая, свыше 1% до 5% – удовлетворительная, свыше 5% – низкая точность.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1 Лифиц И.М. Стандартизация, метрология и сертификация: Учебник М.: Юрайт 2004 – 330 с. ил.

2 Сергеев А.Г., Латышев М.В., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация и сертификация. Учебное пособие. – М.: Логос, 2003 – 536 с. ил.

3 Никифоров А.Д., Бакиев Т.А. Метрология, стандартизация и сертификация. Учебное пособие. – М.: Высш. шк. 2003 – 433 с. ил.

Списки для определения вариантов

№ п/п	Фамилия, имя, отчество (писать полностью)
1.	Агзамова Диля Маруановна
2.	Асеев Никита Владиславович
3.	Беседин Владимир Павлович
4.	Винокурова Юлия Владимировна
5.	Галлямова Эльвина Веннеровна
6.	Дроздова Мария Алексеевна
7.	Заграничный Анатолий Сергеевич
8.	Зйнова Ольга Владимировна
9.	Ибатуллина Гульназ Ильясовна
10.	Комолов Евгений Сергеевич
11.	Кондратьева Елена Николаевна
12.	Костюхина Елена Александровна
13.	Кунтышева Наталья Викторовна
14.	Беседина Ольга Александровна
15.	Малышенков Илья Николаевич
16.	Насртдинова Эльза Радиковна
17.	Николаева Елена Николаевна
18.	Панамарева Наталья Алексеевна
19.	Пачкова ЕкатеринаОлеговна
20.	Старцева Ирина Сергеевна
21.	Сухорукова Ольга Васильевна
22.	Садыкова Алия Фарагатовна
23.	Тимашева Оксана Альбертовна
24.	Улихина Юлия Сергеевна
25.	Шамсутдинова Галия Талгатовна
26.	Шарипова Гульнара Ураловна
27.	Шафиева Ленара Фаильевна
28.	Юламанов Ильнур Сагитович
29.	Юнусова Ирина Венировна

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

 

№№	Результаты измерений	Доверительная вероятность	НСП
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Р	θ
	0,128	0,085	0,091	0,101	0,109	0,086	0,102	0,95	0,005
	1,07	0,99	1,35	0,89	1,04	1,13	0,96	0,95	0,005
	10,7	11,8	9,9	10,8	12,5	10,8	10,1	0,95	0,05
	358,52	358,51	358,49	358,48	358,46	358,45	358,32	0,95	0,02
	21,52	20,03	21,99	23,77	22,84	20,98	20,78	0,95	0,5
	18,305	18,306	18,309	18,308	18,306	18,309	18,213	0,95	0,002
	9,15	9,25	9,37	9,272	9,197	9,159	9,162	0,95	0,02
	6,125	6,178	6,131	6,271	6,251	6,171	6,373	0,95	0,002
	31,56	31,82	31,73	31,68	31,49	31,73	31,74	0,95	0,01
	8,821	8,795	7,695	8,751	8,821	8,797	8,781	0,95	0,003
	459,6	460,2	463,1	460,8		458,5	459,8	0,95	0,5
	36,28	36,59	36,3	36,12	38,21	35,96	35,85	0,95	0,02
	4,48	4,521	4,617	4,555	4,498	4,432	4,51	0,95	0,006
	1,956	1,978	1,975	1,967	1,985	1,977	1,972	0,95	0,01
	78,64	78,04	79,12	80,56	78,97	79,02	78,54	0,95	0,02
	458,2	461,5	464,1	460,8	459,7	458,3	458,8	0,95	0,5
	35,28	35,59	35,3	35,12	37,21	34,96	35,45	0,95	0,02
	18,09	18,12	18,01	17,05	18,28	18,38	18,25	0,95	0,02
	42,17	42,2	42,09	41,13	42,36	42,46	42,33	0,95	0,02
	79,74	79,14	80,22	81,66	79,87	80,12	79,64	0,95	0,02
	43,12	43,18	43,29	43,14	41,65	43,29	43,18	0,95	0,01
	85,42	85,49	85,4	85,02	87,01	84,98	85,45	0,95	0,02
	41,26	41,35	42,29	41,28	41,33	41,34	41,28	0,95	0,01
	8,718	8,707	8,81	8,745	8,686	8,639	8,72	0,95	0,006
	1,455	1,479	1,474	1,466	1,484	1,476	1,471	0,95	0,01
	40,68	40,74	40,85	40,7	39,51	40,85	40,74	0,95	0,01
	127,2	130,5	133,1	128,8	127,7	127,3	126,8	0,95	0,5
	10,6	9,6	10,9	11,6	10,9	12,7	10,8	0,95	0,1
	8,911	8,913	8,915	8,767	8,919	8,921	8,923	0,95	0,002
	12,315	12,208	12,212	12,209	12,204	12,206	12,209	0,95	0,007
	20,15	20,2	20,23	20,42	20,17	20,21	20,25	0,95	0,05
	10,13	10,12	10,08	10,07	10,4	10,2	10,17	0,95	0,02
	2,151	2,132	2,113	2,165	2,144	2,157	2,12	0,95	0,002
	3,121	3,172	3,009	3,117	3,12	3,132	3,15	0,95	0,002
	7,15	7,19	7,27	7,18	7,13	7,14	7,31	0,95	0,001
	1,112	1,007	1,117	1,21	1,021	1,11	1,113	0,95	0,002
	65,45	65,54	65,48	65,47	65,52	65,53	65,49	0,95	0,01
	20,11	20,14	20,03	19,07	20,3	20,4	20,27	0,95	0,02
	41,16	41,22	41,33	41,18	40,99	41,33	41,22	0,95	0,01
	1,08	0,95	1,36	0,88	1,05	1,15	0,97	0,95	0,005
	4,521	4,51	4,613	4,548	4,489	4,442	4,523	0,95	0,006
	1,855	1,879	1,874	1,866	1,884	1,876	1,871	0,95	0,01
	21,74	21,15	21,22	21,66	20,87	21,12	20,61	0,95	0,02