Многочлены в комплексной области

ПП 17. Комплексные числа.

Многочлены в комплексной области.

КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Комплексные числа

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Мнимая единица

Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида:

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , действительное число называется мнимой частью .

Комплексное число , если и .

1.2. Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексная плоскость:

Геометрическая интерпретация комплексного числа : точка

на комплексной плоскости или вектор .

Модуль комплексного числа:

Геометрический смысл модуля комплексного числа:

- расстояние от точки до начала координат;

- расстояние от точки до точки ;

- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R;

- геометрическое место точек, равноудаленных от точек и .

Угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z:

где – главное значение аргумента, .

Для числа аргумент не определён.

При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

т.к. , .

Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа:

Получается из формулы Эйлера:

(будет доказана позже, при изучении теории рядов).

Свойства :

1⁰. - периодическая функция;

2⁰. - значения функции лежат на окружности ;

3⁰.

Действия над комплексными числами

, .

, если и .

, , , .

С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов.

В алгебраической форме:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

В тригонометрической форме:

1) ;

2) .

Действия возведения в степень и извлечения корня удобнее производить над комплексными числами, записанными в тригонометрической или показательной форме:

(формула Муавра)

где .

Корень n -й степени из комплексного числа имеет n различных значений:

………………………

Числа имеют одинаковый модуль, значения корня будут изображаться точками на одной окружности.

В показательной форме:

1) ; 3) ;

2) ; 4) , .

Формулы Эйлера

, ,

, ,так как .

Действия сложения и вычитания производятся только в алгебраической форме, действия умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, а тригонометрическая форма используется как переходная от алгебраической к показательной и наоборот.

Комплексное сопряжение

Комплексные числа и называются сопряженными.