Нет, т.к. это является необходимым условием

21.

Пусть f(Р)- функция n переменных, -предельная точка мн-ва D(f). Число а называется пределом функции f(Р) в т. , если , сходящимися к ,но , справедливо равенство =а

=a

Т.к. при ,а - ограниченна ,то

Определение 21)

Рассмотрим две последовательности точек, сходящихся к (0,0):

(0; ) и (;0)

1. = =-1 и -1

2. = =-1 и

23.

(Опр) Функция f(Р), определенная на множестве , называется непрерывной в точке , если =f(

или же, если

f(x,y)= , + непрерывна в (0,0)?

24.

(1,0) (Доказать)

25. (Опр) Частной производной функций нескольких переменных по одной их этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствует независимой переменной, когда это приращение стремиться к 0.

=

Ответ:0

26. (определение 25)

Найти частные производные

=y*2x=4

= =1

27. Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке (, ), если ее полное приращение можно представить в виде:

= ( ) , где

бесконечно малая при

- расстояние от (x,y) до ( )

Если функция z=f(x,y) дифференцируема в (), то она непрерывна в этой точке.

Док-во: необходимо проверить, что

= = + + =0

28. Полный дифференциал дифференцируемой функции z=f(x,y) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргументов

dz= , dx=

z= d

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке (, ), если ее полное приращение можно представить в виде:

= ( ) , где

бесконечно малая при

- расстояние от (x,y) до ( )

Пример: z= -?

29. Как связаны производная по направлению и градиент?

=(grad f(M), ) – скалярное произведение векторов

Произведение по направлению представляет собой скалярное произведение и вектора с координатами () (градиент)

= * *cos

Если , то производная равна 0

Градиентом функции в т. М называется вектор, координаты которого равны частным производным данной функции в точке М

grad f(M)=()

Градиент указывает направление наискорейшего роста функции

=(grad f(M), )= * *cos - достигает наибольшего значения при

cos при , т.е. в направлении градиента

31. Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x₁, x₂, …., x_n) и все точки вида (tx₁, tx₂, …., tx_n) при t>0 функция f(x₁, x₂, …., x_n) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx₁, tx₂, …., tx_n)=t^λ f(x₁, x₂, …., x_n).

Да, является. 2 степени. =t²

32. Пример однородной функции степени 3:

F (x,y)=x²

F (tx, ty)=t²x²√(tx*ty)=t³ F (x,y)

 

33. f (tx₁, tx₂,tx₃)=t^λ f(x₁, x₂, x₃). u= f(x,y,z)

34. Пусть z=f(x;y) определена в некоторой области D и точка М(х₀;у₀) – внутренняя точка D (М принадлежит D), тогда данная функция в данной точке будет иметь локальный минимум (максимум), если найдется e - окрестность точки М, что для всех внутренних точек этой окрестности, отличных от М(х₀;у₀) выполняются неравенства:

f(x;y)>f(х₀;у₀) – min

f(x;y)<f(х₀;у₀) – max

Нет, т.к. это является необходимым условием.

35. f(x,y)=x⁶y⁴ (0,0)

x=0 y=0

при (0,0) =0 это >=0 Отв:да (я точно не уверена в том что >=0)

36. f(x,y)=xy⁴ (0,0)

x=0 y=0

при (0,0) = 0 Отв: да (точно не уверена)

37. f(x.y)=x²-y² (o,o)

x=0 y=0

=-4 <0 точек нет Ответ: нет

38. а) F’_x=2x F’_y=2y

В точке (1,1) первые производные данной функции не обращаются в ноль, следовательно точка (1,1) не является точкой локального экстремума (не выполняется необходимое условие).

б) Дано уравнение связи x+y=2. Y=2-x

f= x²+(2-x)²=2x²-4x+4

f^’=4x-4=0 x=1 при х=1 у=2-1=1

39. Рассмотрим 3 случая. 1) х-1>0 2)x-1<0 3) x=0