Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр по следующим причинам:
- многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой и на понятие разряда, и на понятие класса;
- арифметические действия, в основном, выполняются с использованием письменных вычислений.
В результате изучения нумерации многозначных чисел учащиеся должны:
- усвоить названия и последовательность чисел натурального ряда в пределах класса миллионов, понять, как они образуются, знать их десятичный состав;
- знать названия классов (класс единиц, класс тысяч, класс миллионов) и разрядов внутри каждого класса (единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч и т.д.);
- научиться читать и записывать любое число в пределах класса миллионов, представлять любое число в виде суммы его разрядных слагаемых;
- уметь переносить все приемы работы над числами, изученными в предыдущих концентрах, в данный концентр.
Изучение нумерации многозначных чисел начинают с повторения нумерации чисел в пределах 1000. Повторяются все виды упражнений по общей схеме разбора числа, повторяется работа с нумерационной таблицей, все термины, относящиеся к нумерации. Наиболее удобным наглядным пособием для изучения многозначных чисел являются русские счеты, но, к сожалению, они исчезли. Как демонстрационный материал учитель может использовать пособие, сделанное из миллиметровой бумаги, где 1 полоска со сторонами 10 мм и 100 мм показывает 1000 (единицы - 1 мм2). Однако, ими единицы практически трудно показать, но для изучения чисел с более высокими разрядами они незаменимы. 10 таких полосок изображают число 10000.
После ознакомления с числами 10000, 100000, учащиеся знакомятся классами: 1 класс - класс единиц, 2 класс - класс тысяч (читают по учебнику). Затем сравнивают 1 и 2 классы и устанавливают их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единицы каждого разряда в 10 раз больше предыдущей, но в 1 классе считают и группируют единицы, а в 2 классе - тысячи.
Далее изучаются числа 2 класса - числа вида 75000, 600000, 392000. Работа, в основном, ведется по нумерационной таблице. Выставляя соответствующие цифры учитель обращает внимание на особенности записи чисел 2 класса: три нуля в конце обозначают отсутствие единиц 1, 2, 3 разрядов, т.е. отсутствие единиц 1 класса, но не отсутствие самих разрядов или класса. Рассматривая десятичный состав чисел 2 класса, учащиеся говорят: 392000 - это 3 сотни тысяч, 9 десятков тысяч и 2
единиц тысяч. Повторяют также другие упражнения по общей схеме разбора числа.
На следующем этапе изучаются числа, состоящие из единиц первого и второго класса. Первые упражнения проводятся по нумерационной таблице, куда выставляются карточки с цифрами. Учащимся надо показать порядок чтения таких чисел, показывая это стрелкой (по табл.23):
Таблица 23
| Класс тысяч | Класс единиц | ||||
| Сотни тысяч | Десятки тысяч | Единицы тысяч | Сотни | Десятки | Единицы |
| девятьсот двадцать три тысячи четыреста двадцать семь |
В дальнейшем при разборе числа ограничиваются названием разрядов: 923427 - это 923427 единиц; 92342 десятка; 9234 сотни; 923 тысячи; 92 десятки тысяч; 9 сотен тысяч.
Для закрепления нумерации многозначных чисел рассматриваются, в частности, такие упражнения:
а) устное сложение и вычитание вида 17350-350, 40000+60 и т.п.;
б) во сколько раз увеличится число, когда в его записи справа приписывается один нуль? два нуля? три нуля? (аналогично: если отбросить);
в) увеличь число в 100 раз: 57, 146, 90. Уменьши в 10 раз числа: 340, 500, 9800;
г) вычислить: 60 100+309, 9800:10-80;
д) сравни числа: 38000 и 3800.
Дополнительно к упражнениям учебника можно предложить следующие задания:
1. Запишите: а) 371 ед. в 1 классе; б) 90 ед. во 2 классе; в) 250 ед. во 2 классе; г) 8 ед. во 2 классе. Прочитать числа.
2. Запишите: а) 7 ед. во 2 классе и 6 дес. в 1 классе; б) 208 ед. во 2 классе и 80 ед. в 1 классе; в) 102 ед. в 3 классе, 102 ед. во 2 классе и 2 ед. в 1 классе. Прочитать числа. Объяснить их состав.
3. Запишите: 7 ед. 8 разряда, 4 ед. 6 разряда, 3 ед. 3 разряда. Прочитайте эти числа.
4. Запишите числа и объясните их состав: двести пять тысяч шестьдесят четыре; двести двадцать семь тысяч шестьсот; триста тысяч семь; шесть миллионов пять тысяч три; пятьсот тысяч шесть и др.
Работа по изучению нумерации завершается отработкой навыков применения общей схемы разбора числа.
Изучение нумерации многозначных чисел завершается с ознакомление учащихся классами миллиардов и триллионов.
Отметим, что наиболее ответственной при изучении нумерации является усвоение терминологии. Это нужно в будущем для правильного объяснения письменных вычислений и, особенно важно в связи с изучением десятичных дробей в 5 классе (из-за незнания терминов, например, учащиеся не различают "десяток" и "десятые" и т.д.).
На уроках при изучении нумерации полезно использовать различный материал, взятый из жизни города, республики, страны.
Введение сложения и вычитания чисел. Сложение и вычитание чисел в пределах 10.
В начальном курсе математики арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения этого раздела программы - выработать у учащихся начальных классов умения решать арифметические действия и задачи.
Изучение конкретного смысла арифметических действий строятся в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многоязычные числа). Изучение арифметических действий в пределах 10 имеет некоторые особенности. Десять - основание десятичной системы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуется в результате счета простых единиц. Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть. При формировании навыков счета и отсчета важно наряду со счетом отдельных предметов упражнять детей в счете групп, состоящих из однородных предметов.
Прежде чем приступить к изучению арифметических действий, важно отработать умениесчитать, поэтому на каждом уроке включаются упражнения в счете предметов - именно счет предметов - а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают предметы окружающей обстановки, предметные картинки, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др.
Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» - это только один предмет. Дети, считая предметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами). Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов. На этой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения. Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов иди удалением части данного множества предметов. Такие упражнения выполнялись начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобретает ознакомление с действиями над числами. Программа предусматривает ознакомление с основными приемками вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован применительно к любому случаю сложения и вычитания.
С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С этой целью предлагается детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?». Упражнения на сравнение множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения элементов «один к одному». Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не только где больше, а где меньше предметов, но и на сколько предметов больше, на сколько меньше. При выполнении этих упражнений, опираясь на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем треугольников (показывает лишний квадрат), то треугольников на 1 меньше, чем квадратов.
Также включают упражнения на преобразование не равночисленных множеств в равночисленные и обратно. Например, дети установили, что яблок на 1меньше, чем груш, а груш на 1 больше, чем яблок. Учитель ставит вопрос: «Что надо сделать, чтобы яблок стало столько, сколько яблок?» (Убрать одну грушу).
В целях раскрытия конкретного смысла сложения и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. Поэтому при изучении арифметических действий рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах 10 (а + 2, а + 3, а + 4, а + 5). Результаты действий находят путем соответствующих операций над множествами, что помогает детям понять конкретный смысл сложения и вычитания. После того как дети найдут результат сложения, сразу выясняют, как получили этот результат. (Сколько получится, если к 3 прибавить 2?). На основе таких упражнений учащиеся постепенно запоминают не только результаты действий в пределах 10, но и состав чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 из слагаемых. Состав же этих чисел иллюстрируются с помощью операций над множествами. При раскрытии конкретного смысла арифметических действий рекомендуется научить детей решать примеры в два действия вида 6+1+1, 9-1-1, чтобы дети закрепили умения прибавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Вначале решение таких примеров иллюстрируют действиями с предметами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? придвиньте еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите пример: 4+1+1; объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1,получится 5, к 5 прибавить 1, то получится 6).
Так же раскрывается смысл вычитания 8-1-1. Затем приступают к рассмотрению приема прибавления и вычитания числа 2. Решение первых примеров выполняется с опорой на предметный счет. Решается пример 4+2. пусть эти букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета - число 2. покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4 букетам (ученик переносит цветы на окно, сначала дин букет, потом второй). Запишем, что сделал Вова.4+1=5 5+1=6 4+2=6
С помощью аналогичных упражнений раскрываются смыслдействий, а + 3, а + 4, а + 5.
1. Сначала дети решают задачу способом предметного присчитывания.
2. Затем вводится фиксация условий задачи с помощью числовых знаков
3. Дети учатся определять направление счета — считали ли они «вперед» (присчитывание) или «назад» (отсчитывание) — и в зависимости от этого выбирать арифметический знак «+» или «—». Этим совершенно искусственным приемом мы дополнили принятую методику обучения, для того чтобы арифметические действия и присчитывание (отсчитывание) были даны в обучении не «рядом», или во временной последовательности, а в связи друг с другом. Конечно, можно было бы задать другое содержание и форму такой связи Однако анализ экспериментальных материалов должен показать, зависят ли результаты обучения от того, что арифметические действия оказываются связанными с действием присчета или от содержания и формы этой связи, используемых в данном обучении.
11. Изучение табличного сложение и вычитания.
Табличное сложение и вычитание в пределах второго десятка называется также сложением и вычитанием с переходом через десяток, а все остальные случаи — сложением и вычитанием без перехода через десяток.
Табличное сложение труднее внетабличного, поскольку в этом случае оба слагаемых — однозначные числа. Чтобы выразить их сумму в соответствии с требованиями десятичной системы счисления, необходимо по-новому сгруппировать единицы суммы. Можно сказать, что в этом случае состав суммы является искомым.
Сложение и вычитание чисел в пределах 20. Случаи сложения и вычитания в
пределах 20 включают в себя случаи сложения однозначных чисел с
переходом через десяток и соответствующие им случаи вычитания.
Например: 8 + 4, 9 + 5
12 – 4, 14 – 5 и др.
Эти случаи называются табличными, в соответствии с требованиями
программы они должны быть усвоены детьми наизусть.
Сначала изучаются все случаи сложения, затем – вычитания.
Изучение сложения надо начинать с раскрытия вычислительного приѐма.
Суть этого приѐма состоит в том, что первое слагаемое дополняется до 10 (в
результате чего второе слагаемое представляется в виде суммы удобных
слагаемых), затем прибавляется оставшаяся часть второго слагаемого.
Например:
8 + 4 = 12
8 + 2 + 2
Перед изучением этого вычислительного приѐма, как и при изучении любого
другого приѐма, необходимо провести подготовительную работу.
С детьми следует повторить:
– состав чисел в пределах 10, обратив внимание и на состав числа 10, и на
умение дополнить любое однозначное число до 10;
– разрядный состав чисел в пределах 20;
– случаи сложения, основанные на знании разрядного состава чисел в
пределах 20.
При раскрытии вычислительного приѐма целесообразно использовать
наборное полотно, содержащее два ряда карманов, по 10 в каждом ряду.
После раскрытия вычислительного приѐма необходимо провести работу по
его усвоению. Решается ряд примеров на сложение однозначных чисел с
переходом через десяток, на которых дети учатся вести соответствующие
рассуждения.
Затем переходим к рассмотрению всех случаев сложения этого вида. Все
случаи сложения сводятся в таблицу и ведѐтся работа по еѐ заучиванию.5
При этом предполагается, что на каждом следующем уроке будет
продолжаться работа по усвоению детьми вычислительного приѐма (умение
вести рассуждения при вычислении) и даваться установка на запоминание
изученных случаев. Здесь же начинается работа по рассмотрению и
усвоению детьми состава чисел от 11 до 20 из слагаемых.
При этом учителю необходимо продумывать систему упражнений и виды
работы детей на уроке, которые отличались бы разнообразием и
способствовали более эффективному усвоению детьми таблицы сложения.
Вычитание чисел в пределах 20 начинается с раскрытия вычислительных
приѐмов. Целесообразно показать детям три приѐма:
1) Приѐм, основанный на знании соответствующего случая сложения (т.е.
состава числа). Здесь необходимо вспомнить зависимость между
компонентами и результатом действия сложения:
12 – 4
12 = 4 + 8
2) Приѐм, когда число вычитается по частям (с использованием наборного
полотна с двумя рядами карманов):
12 – 4
/ \
12 – 2 – 2
3) Приѐм, где все вычисления сводятся к вычислениям в пределах 10:
12 – 4
10 – 4 + 2
При изучении вычитания не следует прекращать работу, направленную на
запоминание детьми таблицы сложения. Наоборот, еѐ надо продолжать,
обучая при этом детей увязывать случаи сложения с соответствующими
случаями вычитания.
Знание всех этих приѐмов является обязательным, но дети могут предложить
и свои приѐмы вычисления, основываясь на сформированном представлении
о том, что любое натуральное число может быть представленно в виде суммы
меньших чисел, причѐм слагаемых может быть и более чем 2.
.