Разработчик: И. А. Кочеткова. 1) Повторить основные тригонометрические формулы;

 

 

Цель работы:

 

1) Повторить основные тригонометрические формулы;

2) Повторить определения обратных тригонометрических функций и их свойства;

3) Повторить формулы приведения;

4) Повторить основные методы решения тригонометрических уравнений.

 

 

Оборудование: карта индивидуального задания,

микрокалькулятор.

 

Порядок выполнения работы:

 

1. Изучить указания к выполнению практической работы.

2. Ответить на контрольные вопросы:

2.1. Когда применяются формулы приведения? Сформулируйте правило знака и правило названия функции.

2.2. Какие из обратных тригонометрических функций являются нечетными?

2.3. Как заменить ? ?

2.4. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими? Как они решаются?

2.5. При каких a имеют решения уравнения и ?

2.6. Перечислите методы решения тригонометрических уравнений

3. Изучить условия заданий. Определить способ решения.

4. Решить примеры.

5. Оформить отчёт.

 

Указания к выполнению практической работы

 

Пример 1. Вычислить: a) ; b)

a)

Название функции поменялось на , так как угол был отложен от вертикального диаметра.

b)

Название функции соxранилось, так как угол был отложен от горизонтального диаметра.

 

Пример 2. Вычислить

Определим значение каждого угла, используя таблицу «Значения обратных тригонометрических функций» и свойства:

1. ; ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

6. (II чт., знак «-» и название функции соxранилось, так как угол был отложен от горизонтального диаметра)

Ответ.

Пример 3. Вычислить

- угол, значение которого мы не знаем (имеется в виду без калькулятора и таблиц Брадиса), поэтому этот угол обозначается какой-то буквой, например α

Из определения знаем, что – это такой угол, который находится в интервале от - до и

Нам надо найти .

Подбираем формулу:

Так как нам известно, что , то выбираем

Значит .

Ответ. 17

 

Пример 4. Найти область определения функции

Из определения знаем, что функции arcsinxи arccoxимеют значения только в том случае, если

Поэтому понятно, что надо найти такие значения переменной х, при которых выражение

или или составим систему:

1. Решим первое неравенство системы методом интервалов:

Нули:

Значит функция нулей не имеет.

Точки разрыва: 2 ;

;

Наносим точки на прямую и определяем знаки:

 

2. Решаем второе неравенство так же методом интервалов:

Нули:

Точки разрыва: 2 ;

;

Разложим неравенство на линейные множители (*)

Наносим точки на прямую и определяем знаки:

 

Определяем знак функции, подставив любое число в выражение (*), затем чередуем знаки

 

 

3. Теперь определим общее решение системы:

Найдем решение данной системы. Для этого нанесем решения неравенств на одну прямую:

 

Тригонометрические уравнения

Формулы сложения.

Пример 5. ;

Используем формулу и получим:

;

; ;

Далее смотрим в таблицу «Решение простейших тригонометрических уравнений», частный случай a=1 и получаем:

Ответ.

Квадратные уравнения.

Пример 6.

Так как уравнение содержит , то применим следующие формулы:

Þ

Получим уравнение:

Обозначим , где

;

; (не подxодит)

Пример 7.

Так как уравнение содержит функции и , то применим формулу

Þ

Получим:

умножим уравнение на

Обозначим , где

;

;

Þ

Þ

Ответ. ;

 

Однородные тригонометрические уравнения

 

Однородное уравнение – это уравнения вида:

однородное уравнение 1- ой степени;

однородное уравнение 2- ой степени.

 

Левую и правую части однородного уравнения нужно разделить на наибольшую степень cosx и ввести подстановку

Пример 8.

 

Для решения этого уравнения, необходимо применить формулы:

 

Тогда уравнение примет вид:

Получили однородное уравнение 2-ой степени, разделим его на

Получили квадратное уравнение , где :

;

;

Þ

Þ

Ответ. ;