Статика
Задача С1
Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке 
или соединены друг с другом шарнирно (рис. С1.0–С1.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С1.6–С1.9).
Рис. С1.0 Рис. С1.1
Рис. С1.2 Рис. С1.3
Рис. С1.4 Рис. С1.5
Рис. С1.6 Рис. С1.7
Рис. С1.8 Рис. С1.9
Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке 
или шарнир, или жесткая заделка; в точке 
или гладкая плоскость (рис. С1.0 и С1.1), или невесомый стержень 
(рис. С1.2 и С1.3), или шарнир (рис. С1.4– С1.9); в точке 
или невесомый стержень 
(рис. С1.0, С1.3, С1.8), или шарнирная опора на катках (рис. С1.7).
На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом 
, равномерно распределенная нагрузка интенсивности 
и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С1; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила 
под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке 
, сила 
под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке 
, и нагрузка, распределенная на участке 
).
Определить реакции связей в точках 
, 
, 
(для рис. С1.0, С1.3, С1.7, С1.8 еще и в точке 
), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять 
м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С1а.
Таблица С1
    Сила
| Нагруженный участок | ||||||||
 кН
|  кН
|  кН
|  кН
| ||||||
| № условия | Точка приложения | α, град | Точка приложения | α, град | Точка приложения | α, град | Точка приложения | α, град | |
| K | – | – | H | – | – | CL | |||
| – | – | L | – | – | E | CK | |||
| L | – | – | K | – | – | AE | |||
| – | – | K | – | – | H | CL | |||
| L | – | – | E | – | – | CK | |||
| – | – | L | – | – | K | AE | |||
| E | – | – | K | – | – | CL | |||
| – | – | H | L | – | – | CK | |||
| – | – | K | – | – | E | CL | |||
| H | – | – | – | – | L | CK |
Таблица С1а
| Участок на угольнике | Участок на стержне | ||
| горизонтальный | вертикальный | рис. С1.0, С1.3, С1.5, С1.7, С1.8 | рис. С1.1, С1.2, С1.4, С1.6, С1.9 |
   
|
Указания. Задача С1 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.
Пример С1.
На угольник 
(
), конец 
которого жестко заделан, в точке опирается стержень 
(рис. С1,а). Стержень имеет в точке 
неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила 
, а к угольнику – равномерно распределенная на участке 
нагрузка интенсивности 
и пара с моментом 
.
Дано: 
кН, 
, 
, 
м.
Определить: реакции в точках 
, 
, 
.
Решение:
1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня 
(рис. С1,б). Проведем координатные оси 
и изобразим действующие на стержень силы: силу 
, реакцию 
, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие 
и 
реакции шарнира 
. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:
(1)
(2)
(3)
Рис. С1
2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С1,в). На него действуют сила давления стержня 
, направленная противоположно реакции 
, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой 
, приложенной в середине участка 
(численно 
кН), пара сил с моментом 
и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими 
и 
, и пары с моментом 
. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:
(4)
(5)
. (6)
При вычислении момента силы 
разлагаем ее на составляющие 
и 
и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1)–(6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что 
в силу равенства действия и противодействия.
Ответ: 
кН, 
кН, 
кН, 
кН, 
кН, 
. Знаки минус указывают, что силы 
, 
и момент 
направлены противоположно показанным на рисунках.
Кинематика
Задача К1
Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.
Задача К1а. Точка 
движется в плоскости 
(рис. К1.0–К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: 
, 
, где 
и 
выражены в сантиметрах, 
– в секундах.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени 
с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2
Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5
Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8
| Рис. К1.9 |
указана непосредственно на рисунках, а зависимость 
дана в табл. К1 (для рис. К1.0– К1.2 в столбце 2, для рис. К1.3– К1.6 в столбце 3, для рис. К1.7– К1.9 в столбце 4).
Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса 
м по закону 
, заданному в табл. К1 в столбце 5 (
– в метрах, 
– в секундах), где 
— расстояние точки от некоторого начала 
, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени 
с. Изобразить на рисунке векторы 
и 
, считая, что точка в этот момент находится в положении 
, а положительное направление отсчета 
– от 
к 
.
Таблица К1
| Номер условия |
|
| ||
| Рис. 0–2 | Рис. 3–6 | Рис. 7–9 | ||
12 
| 
| 4 
| 4
| |
–6 
| 8 
| 6 
| 2 
| |
–3 
| 
| 4
| 
| |
| 9
| 
| 10
| –2
| |
| 3
| 2 
| –4
| 4
| |
| 10
| 
| 12
| –3
| |
| 6
| 2
| –3
| 
| |
| –2
| 
| –8
| –2
| |
| 9
| 
| 9
| 3
| |
| –8
| 4
| –6
| –2
|
Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.
В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени 
с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные тригонометрические соотношения.
Пример К1а.
Даны уравнения движения точки в плоскости 
:
, 
(
, 
– в сантиметрах, 
– в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени 
с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение:
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время . Поскольку входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
:
. (1)
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим
, 
,
следовательно,
.
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1,а):
. (2)
| Рис. К1,а |
, 
,
.
Для момента времени с: 
, 
, 
.
3. Аналогично найдем ускорение точки:
, 
,
.
Для момента времени с: 
, 
, 
. (4)
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:
Получим
,
откуда
. (5)
Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и,(4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при с: 
.
5. Нормальное ускорение точки 
. Подставляя сюда найденные при с числовые значения 
и 
, получим, что 
.
6. Радиус кривизны траектории 
. Подставляя сюда числовые значения 
и 
при с, найдем, что 
см.
Ответ: 
, , , 
, см.
Пример К1б.
Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону 
, ( – в метрах, – в секундах), где (рис. К1,б).
Определить скорость и ускорение точки в момент времени с.
Решение:
Определяем скорость точки:
.
При с получим 
.
Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:
,
,
.
| Рис. К1,б |
с получим 
, 
, 
.
Изобразим на рис. К1,б векторы 
и 
, учитывая знаки и считая положительным направление от 
к 
.
Ответ: 
, 
.
Задача К2
Плоский механизм состоит из стержней 1–4 и ползуна 
, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами 
и 
шарнирами. Точка 
находится в середине стержня 
. Длины стержней равны соответственно 
м, 
м, 
м, 
м. Положение механизма определяется углами 
. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К2. Точка 
на всех рисунках и точка 
на рис. К2.7 – К2.9 в середине соответствующего стержня. Угловое ускорение стержня 1 
с-1.
Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол 
на рис. К2.8 отложить от 
против хода часовой стрелки, а на рис. К2.9 – по ходу часовой стрелки и т.д.).
Рис. К2.0 Рис. К2.1
Рис. К2.2 Рис. К2.3
Рис. К2.4 Рис. К2.5
Рис. К2.6 Рис. К2.7
Рис. К2.8 Рис. К2.9
Определить ускорение точки 
звена 1 и величины, указанные в таблице в столбце «Найти».
Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом 
; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К2 (см. рис. К2б).
Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданную скорость 
– от точки 
к 
(на рис. К2.5– К2.9).
Указания. Задача К2 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.
Таблица К2
| № условия | Углы, град | Дано | Найти | |||||||
|
| 
|
| 
| 
| ω1, 1/с | ω4, 1/с | vВ, м/с | ω звена | v точки | |
| – | – | B, E | ||||||||
| – | – | A,D | ||||||||
| – | – | A, E | ||||||||
| – | – | D, E | ||||||||
| – | – | A, B | ||||||||
| – | – | A, E | ||||||||
| – | – | B, E | ||||||||
| – | – | A, D | ||||||||
| – | – | A, E | ||||||||
| – | – | B,E |
Пример К2.
Механизм (рис. К2,а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна 
, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами.
| Рис. К2,а |
, 
, 
, 
, 
, 
, м, м, м, 
с-1, 
с-2 (направления 
и 
– против хода часовой стрелки).Определить: 
, 
, 
, 
.
Решение:
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и выбранным масштабом длин (рис. К2,б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).
2. Определяем . Точка принадлежит стержню . Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление 
. По данным задачи, учитывая направление 
, можем определить 
. Численно:
м/с,
. (1)
| Рис. К2,б |
найдем, учтя, что точка 
принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
, 
м/с. (2)
3. Определяем 
. Точка 
принадлежит стержню 
. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки 
, принадлежащей одновременно стержню 
. Для этого, зная 
и 
, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня . Это точка 
, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек 
и 
(к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг МЦС . Вектор 
перпендикулярен отрезку 
, соединяющему точки 
и , и направлен в сторону поворота. Величину 
найдем из пропорции:
. (3)
Чтобы вычислить 
и 
, заметим, что 
– прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что 
. Тогда 
является равносторонним и 
. В результате равенство (3) дает
м/с, 
. (4)
Так как точка 
принадлежит одновременно стержню 
, вращающемуся вокруг 
, то 
. Тогда, восставляя из точек и 
перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС 
стержня 
. По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2,б видно, что 
, откуда 
. Составив теперь пропорцию, найдем, что
, 
м/с. (5)
4. Определяем 
. Так как МЦС стержня 2 известен (точка ) и 
м, то
с–1. (6)
5. Определяем 
(рис. К2,в, на котором изображаем все 
векторы ускорений). Точка 
принадлежит стержню 1. Полное ускорение точки 
разложим на тангенциальную и нормальную составляющие:
,
где численно
м/с2,
м/с2. (7)
| Рис. К2,в |
направлен вдоль 
, а 
– перпендикулярно . Изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К2в). Вычисляем
м/с2.
Ответ: м/с, 
м/с, 
с–1, 
м/с2.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Задача С1
1) Основные виды силовых воздействий и их свойства:
– сосредоточенная сила (проекции силы на оси; момент силы относительно точки как характеристика вращательного действия силы; величина и знак алгебраического момента;
– вращающий момент (пара сил), изображение пары на плоскости, момент пары;
– распределенные силы с постоянной интенсивностью (эпюра распределенных сил, приведение к равнодействующей).
2) Силы активные и реакции связей. Внешние закрепления конструкции (подвижный и неподвижный цилиндрические шарниры, скользящая заделка – втулка, жесткая заделка, невесомый стержень, нить, идеальная поверхность). Как направлены реакции этих связей? Сколько неизвестных составляющих реакции имеет каждая из перечисленных связей? В каком случае реакция связи содержит вращающий момент?
3) Виды представленных в конструкциях соединений тел между собой. Метод разбиения. Внутренние двусторонние и односторонние связи.
4) Каковы аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил?
5) Статическая определимость и неопределимость конструкции. Какие дополнительные условия представлены в задаче, которые делают конструкцию статически определимой? Как определяется статическая определимость в сочлененных конструкциях?
Задача К1
1) Координатный способ задания движения точки.
2) Определение скорости точки. Нахождение скорости при координатном способе задания движения.
3) Определение ускорения. Разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие.
4) Естественный способ изучения движения. Определение кинематических характеристик в естественных координатах.
Задача К2
1) Виды движений различных звеньев плоского механизма задачи К2.
2) Поступательное движение.
3) Вращательное движение вокруг неподвижной оси (центра 
). Угловая скорость и угловое ускорение вращающихся звеньев. Как направлены и чему равны скорости точек вращающегося тела?
4) Плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей и его свойства. Как найдены МЦС звеньев механизма задачи?
5) Как формулируется теорема о проекциях скоростей двух точек тела? Как она используется для нахождения скоростей различных точек механизма?
Библиографический список
1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н.Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. 607 с.
2. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: в 2х т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – СПб.: Лань, 2002. 736 с.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – М: Высш. шк., 2008. 416 с.
4. Цывильский В.Л. Теоретическая механика / В.Л. Цывильский. – М: Высш. шк., 2008. 368 с.
5. Переславцева Н.С. Теоретическая механика: учеб. пособие / Н.С. Переславцева, Н.П. Бестужева. – Воронеж: ВГТУ, 2009. – 157 с.
6. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике / И.В. Мещерский. – СПб.: Лань, 2001. 448 с.
7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для техн. вузов / под ред. А.А. Яблонского. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. 384 с.
содержание
Программа курса....................... 1
Статика........................... 2
Кинематика......................... 3
Кинематика твердого тела................. 4
Содержание контрольных заданий, выбор вариантов,
порядок выполнения работ, общие
пояснения к тексту задач................. 5
Принятые обозначения.................... 7
Задачи к контрольным заданиям.............. 10
Статика. Задача С1.................... 10
Кинематика. Задача К1.................. 16
Задача К2.................. 22
Контрольные вопросы.................... 29
Библиографический список................. 31
Программа, методические указания
и контрольное задание № 1
(статика, кинематика)
по дисциплине
«Теоретическая механика»
для бакалавров всех направлений
заочной и заочной ускоренной форм обучения
Составители:
Переславцева Наталья Сергеевна
Бестужева Наталья Петровна
В авторской редакции
Компьютерный набор Н.С. Переславцевой
Подписано к изданию 30.10.2012.
Уч.-изд. л. 1,9.
ФГБОУ ВПО
«Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
