Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая переменная в двойственной задаче равна 0

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ОПТИМИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА

Умение строить планы на различном уровне, для разных целей – это важное, но не достаточное условие наилучшего функционирования экономических систем различной степени сложности, различного уровня и различного масштаба. Надо не просто уметь строить планы, главное – уметь выбирать из них один, наилучший (оптимальный из всех допустимых).

Иными словами, следует пользоваться принципом оптимальности, который в самом простом виде можно выразить следующим образом: есть цель, ради которой строится план (критерий оптимальности или целевая функция), и есть условия, при которых может быть достигнута эта цель (ограничения)

Математический аппарат – математическое программирование.

Линейное программирование решает задачи на достижение максимума (минимума) линейной функции с линейными ограничениями.

При попытке оптимизации любой экономической системы на любом уровне экономической иерархии встречаемся с целым рядом трудностей:

1. сложность экономической системы;

2. большое число факторов, влияющих на ее развитие;

3. постоянная изменчивость ее компонентов и связей между ними;

4. влияние случайных факторов.

В большинстве случаев стараются свести все задачи оптимизации к линейному варианту, к линейным функциям.

 

Линейная статическая модель оптимального планирования

Рассматривая новую модель, для лучшего понимания материала будем сравнивать её с моделью межотраслевого баланса производства и распределения продукции (с моделью В.Леонтьева). Важнейшим отличием новой модели является то, что вместо единственного столбца коэффициентов затрат каждому виду продукции может соответствовать несколько способов, отражающих затраты при различных технологических (производственных) способах получения этой продукции.

Технологические способы могут входить в план с различной интенсивностью, в т. ч. и нулевой. При этом допустимым вариантом плана будет любой набор интенсивностей применения технологических способов, при котором выполняются исходные ограничения модели.

Среди допустимых вариантов должен быть найден наиболее эффективный, поэтому исключительное значение приобретает вопрос о показателе, по которому оценивается эффективность вариантов и отбирается наилучший, т. е. вопрос о критерии оптимальности плана.

Остановимся на одном возможном критерии (простейщем). Будем считать целью оптимального планирования достижение максимального объема конечной продукции при заданной ее структуре.

Символические обозначения основных данных модели оптимального планирования представлены в следующей таблице:

	Технологические способы	Ограничения
			…	n
Ресурсы
	a11	a12	…	a1n	£A1
	a21	a22	…	a2n	£A2
…	………………………………………………...	…
m	am1	am2	…	amn	£Am
Продукция
	b11	b12	…	b1n	³k1Z
	b21	b22	…	b2n	³k2Z
…	………………………………………………	…
r	br1	br2	…	br n	³krZ
Интенсивность использования технологических способов	x1	x2	…	xn

Таким образом, имеется m видов ресурсов, r видов продукции, n технологических способов.

Заданы коэффициенты k₁, k₂,…, k_r – доля каждого вида в общем объеме конечной продукции Z.

a_ij – показывают, сколько единиц ресурса i -го вида затрачивается при j -м технологическом способе, если способ используется один раз или с единичной интенсивностью, i=1,…,m; j=1,…,n.

b_ij – показывают, сколько единиц продукции i -го вида выпускается при j -м технологическом способе, если способ используется один раз или с единичной интенсивностью.

max Z (общий объем конечной продукции)

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n £A₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n £A₂

…………………………...

a_m1x₁+ a_m2x₂ +…+ a_mnx_n £A_m

b₁₁x₁+ b₁₂x₂ +…+ b_1nx_n ³k₁Z

b₂₁x₁+ b₂₂x₂ +…+ b_2nx_n ³k₂Z

…………………………...

b_r1x₁+ b_r2x₂ +…+ b_{r nxn} ³k_rZ

xj³0

j=1,…,n.

Смысл задачи в рамках данной модели следующий: с какой интенсивностью следует использовать каждый технологический способ, чтобы получить максимальный объем конечной продукции Z при заданной его структуре и заданных ограничениях по ресурсам и продукции.

В задаче n+1 неизвестных переменных и m+r основных ограничений.

 

Экономические характеристики оптимального плана

Проведем экономический анализ рассматриваемой модели. Для этого перепишем задачу так, чтобы было удобно подходить к двойственной задаче линейного программирования.

max Z

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n £A₁ y₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n £A₂ y₂

…………………………... …

a_m1x₁+ a_m2x₂ +…+ a_mnx_n £A_m y_m

-b₁₁x₁ -b₁₂x₂ - … -b_1nx_n+ k₁Z£0 y_m+1

-b₂₁x₁-_b22x2 - … -b_2nx_n+ k₂Z£0 y_m+2

…………………………... …

-b_r1x₁-b_r2x₂ - … -b_{r nxn+krZ}£0 y_m+r

x_j³0,

j=1,2,…,n.

 

Двойственная задача будет выглядеть следующим образом:

min (A₁y₁+A₂y₂ + …+ A_my_m)

a₁₁y₁+a₂₁y₂+ …+ a_m1y_m -b₁₁y_m+1 – b₂₁y_m+2 -… - b_r1y_m+r³0

a₁₂y₁+a₂₂y₂+ …+ a_m2y_m -b₁₂y_m+1 – b₂₂y_m+2 -… - b_r2y_m+r³0

………………………….……………………………..

a_1ny₁+a_2ny₂+ …+ a_mny_m -b_1ny_m+1 – b_2ny_m+2 -… - b_rny_m+r³0

k₁ y_m+1 + k₂ y_m+2 + …+ k_r y_m+r³1

y_i³0, i=1,2,…,m+r.

Далее следует вспомнить о следующей теореме из линейного программирования:

Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая переменная в двойственной задаче равна 0.

Справедлива и обратная теорема.

Выводы.

1. По ресурсам: двойственные оценки ресурсов, имеющихся в избытке, равны 0 (см. 1-ю группу ограничений в исходной задаче).

2. По продукции: двойственные оценки продукции, выпускаемой сверх установленной нормы, в оптимальном плане равны 0 (см. 2-ю группу ограничений исходной задачи).

3. По технологическим способам: если все технологические способы используются, т. е. все x_i ¹0, или >0, то все ограничения двойственной задачи выполняются как равенства, и это имеет следующий смысл: для каждого технологического способа суммарная оценка ресурсов равна суммарной оценке продукции:

a₁₁y₁+a₂₁y₂+ …+ a_m1y_m=b₁₁y_m+1 + b₂₁y_m+2 + … + b_r1y_m+r

a₁₂y₁+a₂₂y₂+ …+ a_m2y_m=b₁₁y_m+1 + b₂₂y_m+2 + … + b_r2y_m+r

………………………….……………………………

a_1ny₁+a_2ny₂+ …+ a_mny_m=b_1ny_m+1 + b_2ny_m+2 + … + b_{r n}y_m+r

 

Если оптимальный план удается построить в рамках данной модели, то последняя система математических соотношений называется принципом оптимальности плана.

Равенство k₁y_m+1 + k₂y_m+2 + … + k_ry_m+r =1 может быть условием проверки правильности решения задачи в рамках модели, так как коэффициенты k₁,k₂,…,k_r известны заранее.

 

Также важно, что целевые функции прямой и двойственной задач равны:

max Z=min (A₁y₁+A₂y₂ + …+ A_my_m).

Это равенство показывает соблюдение в оптимальном плане единства материально-вещественной и стоимостной форм национального дохода (так же, как это единство соблюдается в межотраслевом балансе через равенство итогов второго и третьего квадрантов).