Институт менеджмента и информационных технологий

(филиал)федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» в г. Череповце (ИМИТ «СПбГПУ»)

Кафедра финансов

 

 

Контрольная работа

Дисциплина: «Математические методы в экономике»

 

Выполнила студентка группы

№ варианта № 9

 

 

г. Череповец

 

 

№ 1

Предприятие производит два продукта и использует в производстве два ресурса. Технологическая матрица производства, запасы ресурсов и удельные прибыли заданы таблицей. Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль. Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.

	1 продукт	2 продукт	Запасы
1 ресурс
2 ресурс
Прибыль

 

Разобьем решение задачи на 2 этапа

I – Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.

 

II - Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.

 

I этап

Обозначим объем производства первого продукта - x1, второго продукта – x2.

Цель задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Критерием эффективности служит показатель дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину дохода от продажи продуктов 1 и 2, необходимо знать объемы производства продуктов и цены за единицу измерения объемов.

Общая прибыль предприятия может быть описана целевой функцией L(x): сумма доходов от продажи продуктов 1 и 2 (при допущении независимости объемов сбыта каждого из продуктов):

 

L(x) = 39*x1 + 29*x2 max

 

Возможные объемы производства продуктов x1 и x2 ограничиваются следующими условиями:

Расход ресурсов 1 и 2:

1 ресурс: 29*x1 + 59*x2 <=109

2 ресурс: 69*x1 + 39*x2<=129

Выпуск продукции не должен быть отрицательным x1>=0 x2>=0

Рассмотрим предельные варианты производства продуктов 1 и 2:

1 ресурс: 29*x1+59*x2=109

x1=0: 29*0 +59*x2=109 x2=109/59=1,85 обозначим как точка А[0;1,85]

x2=0: 29*x1+59*0=109 x1=109/29=3,76 обозначим как точка B[3,76;0]

 

2 ресурс: 69*x1+39*x2=129

x1=0: 69*0+39*x2=129 x2=129/39=3,3 обозначим как точка С [0;3,3]

x2=0: 69*x1+39*0=129 x1=129/69=1,86 обозначим как точка D [1,86:0]

 

Построим множество допустимых планов производства двух продуктов x1 и x2, для этого построим графики использования ресурсов 1 и 2

 

Рисунок 1. График №1

 

Точку начала координат обозначим О[0;0]

Точку пересечения 2-х графиков обозначим Е

Фигуры ОАВ и ОСD представляют собой множество возможностей использования ресурсов 1 и 2

Фигура ОАЕD в данном случае будет являтьсямножеством допустимыхпланов производства двух продуктов x1 и x2

Точка Е (точка максимума) характеризует наиболее полное использование ресурсов 1 и 2 при производстве продуктов x1 и x2. Найдем её решив систему уравнений:

29*x1 + 59*x2=109

69*x1 + 39*x2=129

Выразим х1, в зависимости от х2 из первого уравнения

х1=(109-59*х2)/29

Подставим полученный результат во второе уравнение

69*(109-59*х2/29)+39х2=129

х2=9/7=1,28

Вычислим х1

х1=(109-59*1,28)/29

х1=1,14

Точка Е имеет координаты [1,14;1,28]

Тогда оптимальный план производства будет:

х1=1,14 и х2=1,28

Отсюда максимальная прибыль предприятия:

Lmax(x)= 39*x1 + 29*x2= 39*1,14 + 29*1,28=44,46 + 37,12=81,58

 

II этап

Обозначим затраты на 1 ресурс - y1, 2 ресурс – y2

Цель задачи – добиться минимальных затрат на ресурсы при производстве продуктов. Критерием эффективности служит показатель затрат на приобретение ресурсов, который должен стремится к минимуму. Чтобы рассчитать стоимость ресурсов 1 и 2, необходимо знать количество используемых ресурсов на производство продуктов и себестоимость готовых продуктов.

Общие затраты предприятия могут быть описаны целевой функцией L(Y): сумма затрат на приобретение ресурсов 1 и 2 (при допущении независимости объемов приобретения каждого из ресурсов):

L(Y)= 109*y1 + 129*y2 min

 

Допустим, что прибыль от продажи, приведенная в условиях задачи, является себестоимостью продуктов 1 и 2. Цена не может опускаться ниже себестоимости, так иначе производство будет убыточным. Себестоимость в свою очередь зависит от цен на ресурсы. Возможные варианты затрат на ресурсы y1 и y2, ограничиваются следующими условиями:

Стоимость продуктов 1 и 2:

1-й продукт 29* y1 + 69* y2 >=39

2-й продукт 59* y1 + 39* y2 >=29

 

Цена не может быть отрицательной:

y1 >=0 и y2 >=0

 

Рассмотрим предельные варианты затрат на ресурсы 1 и 2:

1-й продукт: 29* y1 + 69* y2 = 39

y1 =0; 29*0 +69* y2 = 39 y2 = 39/69=0,56 обозначим как точку А[0;0,56]

y2 =0; 29* y1 +69*0 = 39 y1 =39/29=1,34 обозначим как точку B[1,34;0]

2-й продукт: 59* y1 + 39* y2 = 29

 

y1 =0; 59*0 +39* y2 = 29 y2 = 29/39=0,74 обозначим как точку C[0;0,74]

y2 =0; 59* y1 +39*0 = 29 y1 =29/59=0,49 обозначим как точку D[0,49;0]

 

Построим множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат на ресурсы y1 и y2, для этого построим графики затрат на ресурсы 1 и 2:

Точки [0;+∞] и [+∞;0] обозначим E и F соответственно

Точку пересечения графиков обозначим G.

 

 

Рисунок 2. График №2

 

Фигуры EABF и ECDF представляют собой множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 соответственно.

Фигура ECGBF в данном случае будет являться совокупным множеством допустимых значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат y1 и y2

Точка G (точка минимума) характеризует наименьшие возможные затраты y1 и y2 при производстве продуктов 1 и 2. Найдем её, решив систему уравнений:

29*y1+69*y2=39

59*y1+39*y2=29

Выразим y2 в зависимости от y1 из первого уравнения

y2=(39 - 29*y1)/69

Подставим это значение во второе уравнение и найдем y2:

59*y1+39*(39-29*y1)/69 =29

y1 =0,16

Вычислим y2:

y2=(39-29*0,16)/69=0,49

Точка G имеет координаты [0,16;0,49]

Тогда минимальные затраты на ресурсы 1 и 2 при заданной себестоимости будут

y1=0,16 и y2=0,49

Отсюда минимальные затраты на ресурсы при производстве продуктов 1 и 2:

Lmin(Y)= 109*y1 + 129*y2= 109*0,16 + 129*0,49=17,44 + 63,21=80,65

 

ОТВЕТ:

I этап – Множество допустимых планов фигура OAED из графика №1, оптимальный план производства 1,14 единиц первого продукта за цикл и 1,28 второго продукта за цикл, соответствующая ему прибыль составит 81,58 рублей.

II этап – Двойственные оценки ресурсов – фигура ECGBF из графика № 2, минимальная себестоимость первого продукта 0,16 рубля а второго продукта 0,49 рубля, соответствующие им затраты 80,65 рублей.

 

 

№ 2

Предприятие производит два продукта и использует в производстве два ресурса. Технологическая матрица производства, запасы ресурсов и удельные прибыли заданы таблицей. Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль. Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.

	1 продукт	2 продукт	Запасы
1 ресурс
2 ресурс
Прибыль

 

Разобьем решение задачи на 2 этапа

I – Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.

 

II - Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.

 

I этап

Обозначим объем производства первого продукта - x1, второго продукта – x2.

Цель задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Критерием эффективности служит показатель дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину дохода от продажи продуктов 1 и 2, необходимо знать объемы производства продуктов и цены за единицу измерения объемов.

Общая прибыль предприятия может быть описана целевой функцией L(x): сумма доходов от продажи продуктов 1 и 2 (при допущении независимости объемов сбыта каждого из продуктов):

 

L(x)=39*x1 +209*x2 max

Возможные объемы производства продуктов 1 и 2 ограничиваются следующими условиями:

Расход ресурсов 1 и 2:

1-й ресурс: 79*x1+109*x2 <=709

2-й ресурс: 39*x1+49*x2 <=149

Выпуск продуктов не может быть отрицательным:

x1>=0 x2>=0

Рассмотрим предельные варианты производства продуктов 1 и 2:

1-й ресурс:

79*x1 + 109*x2 = 709

x1=0: 79*0 + 109*x2 = 709 x2=709/109 = 6,5 обозначим как точку А [0;6,5]

x2=0: 79*x1+ 109*0 = 709 x1=709/79 = 8,97 обозначим как точку В [8,97;0]

 

2-й ресурс:

39*x1 + 49*x2=129

x1=0: 39*0 + 49*x2 = 129 x2=129/49 = 2,63 обозначим как точку C [0;2,63]

x2=0: 39*x1+ 49*0 = 129 x1=129/39 = 3,3 обозначим как точку D [3,3;0]

 

Построим множество допустимых планов производства двух продуктов x1 и x2, для этого построим графики использования ресурсов 1 и 2

Точку начала координат обозначим О[0;0]

Фигуры ОАВ и ОСD представляют собой множество возможностей использования ресурсов 1 и 2

Фигура ОCD в данном случае будет являтьсямножеством допустимыхпланов производства двух продуктов x1 и x2

Точка C (точка максимума) характеризует наиболее полное использование ресурсов 1 и 2 при производстве продуктов x1 и x2

Рисунок 3. График № 3

 

Тогда оптимальный план производства будет x1 =0 и x2 =2,63

Отсюда максимальная прибыль предприятия

Lmax(x)= 39*0 + 209*2,63 =549,67

II этап

Обозначим затраты на 1 ресурс - y1, 2 ресурс – y2

Цель задачи – добиться минимальных затрат на ресурсы при производстве продуктов. Критерием эффективности служит показатель затрат на приобретение ресурсов, который должен стремится к минимуму. Чтобы рассчитать стоимость ресурсов 1 и 2, необходимо знать количество используемых ресурсов на производство продуктов и себестоимость готовых продуктов.

Общие затраты предприятия могут быть описаны целевой функцией L(Y): сумма затрат на приобретение ресурсов 1 и 2 (при допущении независимости объемов приобретения каждого из ресурсов):

L(Y)= 709*y1+ 129*y2 min

 

Допустим, что прибыль от продажи, приведенная в условиях задачи, является себестоимостью продуктов 1 и 2. Цена не может опускаться ниже себестоимости, так иначе производство будет убыточным. Себестоимость в свою очередь зависит от цен на ресурсы. Возможные варианты затрат на ресурсы y1 и y2, ограничиваются следующими условиями:

Стоимость продуктов 1 и 2:

1-й продукт 79* y1 + 39* y2 >=39

2-й продукт 109* y1 + 49* y2 >=209

 

Цена не может быть отрицательной:

y1 >=0 и y2 >=0

 

Рассмотрим предельные варианты затрат на ресурсы 1 и 2:

1-й ресурс:

79*y1 + 39*y2 = 39

y1 =0; 79*0 +39* y2 = 39 y2 = 39/39=1 обозначим как точку А[0;1]

y2 =0; 79* y1 +39*0 = 39 y1 =39/79=0,49 обозначим как точку B[0,49;0]

2-й продукт: 109* y1 + 49* y2 = 209

 

y1 =0; 109*0 +49* y2 = 209 y2 = 209/49=4,26 обозначим как точку C[0;4,26]

y2 =0; 109* y1 +49*0 = 209 y1 =209/109=1,91 обозначим как точку D[1,91;0]

Построим множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат на ресурсы y1 и y2, для этого построим графики затрат на ресурсы 1 и 2:

Точки [0;+∞] и [+∞;0] обозначим E и F соответственно

 

Рисунок 4. График № 4

 

 

Фигуры EABF и ECDF представляют собой множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 соответственно.

Фигура ECDF в данном случае будет являться множеством допустимых значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат

Y1и y2.

Точка С (точка минимума) характеризует наименьшие возможные затраты

y1 и y2 при производстве продуктов 1 и 2.

Тогда минимальные затраты на ресурсы 1 и 2 при заданной себестоимости будут

y1=0 и y2=4,26

Отсюда минимальные затраты на ресурсы при производстве продуктов 1 и 2:

Lmin(Y)= 709*y1+129*y2= 709*0 + 129*4,26=549,54

 

ОТВЕТ:

I этап – Множество допустимых планов производства фигура OСD из графика №3, оптимальный план производства 0 единиц первого продукта за цикл и 2,63 второго продукта за цикл, соответствующая ему прибыль составит 549,67 рублей.

II этап – Двойственные оценки ресурсов – фигура ECDF из графика № 4, минимальная себестоимость первого продукта 0рублей а второго продукта 4,26 рублей, соответствующие им затраты составят 549,54 рублей.

 

№ 5

Для монопольного рынка характерен следующий спрос P=1200-Q, где Q–рыночный спрос, P-рыночная цена. Совокупные издержки фирмы монополиста равны TC=50Q. Какую цену установит монополист? Какой объем продукции он произведет? Какую выручку, издержки и прибыль получит? Задачу решить аналитически и графически.

 

Величина совокупного дохода TR:

TR=P*Q =(1200-Q)*Q=1200*Q – Q2

 

Предельный доход MR: MR =(TR)'= (1200*Q-Q2)’=1200-2*Q

 

Находим предельные издержки MC: MC=TC’ =(50*Q)’=50

 

Фирма максимизирует прибыль или минимизирует убытки при объеме производства соответствующей точке пересечения линий предельного дохода и предельных издержек:

MR=MC: 1200-2*Q=50; 2*Q=1150; Q=575

Рыночный спрос Qмоноп = 575

Рыночная цена Рмоноп =1200 – 575 = 625 рублей

 

TRмоноп = 625*575=359 375 рублей

TСмоноп = 50*575=28 750 рублей

Пмоноп = TR – TC = 359 375 – 28 750 = 330 625 рублей

 

Построим графики:

P(Q):

Q= 0; P =1200 – 0= 1200, обозначим как точка А [0;1200]

Q =1200; P =1200- 1200 = 0, обозначим как точка В [1200;0]

 

MR(Q):

Q=0; MR= 1200 – 2*0 = 1200, обозначим как точка С [0;1200]

Q=600; MR= 1200 – 2*600 = 0, обозначим как точка D [600;0]

 

Рисунок 5.

Pмоноп= 625; Qмоноп=575; МС=50:

E[0;50] F[0;625] G[575;625] H[575;50] I [575;0] O [0;0]

Рисунок 6.

S OFGI = TRмоноп = 359 375 рублей

S OEHI = TCмоноп = 28 750 рублей

S EFGH = Пмоноп = 30 625 рублей

 

ОТВЕТ: Монопольная цена Рмоноп составила 625 рублей. Объем продукции составил 575 единиц. Выручка составит TRмоноп 359 375 рублей, издержки ТСмоноп = 28750 рублей, а прибыль Пмоноп = 330 625 рублей.

 

№ 6

Для рынка совершенной конкуренции характерен следующий спрос P=1200-Q, где Q–рыночный спрос, P-рыночная цена. Совокупные издержки i–ой фирмы равны TC_i=50q_i. Рассчитать цену, установившуюся на рынке, общий валовой выпуск рынка, выпуск каждой фирмы, прибыль каждой фирмы и общую прибыль рынка.

 

Находим предельные издержки i-ой фирмы MCi:

 

MCi = (TCi)’ = (50qi)’ = 50

Значит цена, устоявшаяся на рынке Ррынка = 50 рублей.

Общий валовый выпуск Qрынка = 1200 – 50 = 1150 единиц товара.

Выпуск каждой фирмы составит:

qi = 1150/N единиц товара, где N общее количество фирм.

 

Прибыль каждой фирмы составит:

Пi = TRi - TCi = Pрынка*qi – TCi = 50* qi – 50* qi = 0 рублей

 

Общая прибыль рынка:

Прынка = ∑Пi =∑ 0 = 0 рублей

 

Построим графики:

P(Q):

Q = 0; P = 1200 – 0 = 1200, обозначим как точка А [0;1200]

Q = 1200; P = 1200 – 1200 = 0, обозначим как точка В [1200;0]

 

Рисунок 7.

MCi = 50: C [1150;50]

 

Ответ: Цену, установившуюся на рынке, Ррынка = 50 рублей. Общий валовый выпуск рынка Qрынка - 1150 единиц товара, выпуск каждой фирмы qi – 1150/N, прибылькаждой фирмы 0 рублейи общую прибыль рынка 0 рублей.