ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Теоремы сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Доказательство.
Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют к элементарных событий, событию В— p элементарных событий. Так как А и В— несовмеcтные события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать к + p элементарных событий. По определению вероятности
Р(А) = к/п, Р(В) = p/п, Р(А + В) = (к + p)/п,
откуда и следует утверждение теоремы.
Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместных событий.
Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А+В +С) = Р(А) + Р(В) +Р(С)
Теорема сложения вероятностей для нескольких совместных событий
Вероятность суммы нескольких совместных событий равна сумме их вероятностей минус произведение вероятностей:
Р(А+В +С) = Р(А) + Р(В) +Р(С) — Р(АВС)
Для двух совместных событий вероятность равна сумме их вероятностей минус произведение вероятностей:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ)
Если события А1, А2,..., Аn несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:
Р(А1) + Р(А2) +…….+Р(Аn) =1
Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А) + Р(Ā) =1
Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А|В).
События Л и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий
Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) = Р(В).
Пример 1. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 3/10, синий Р(В)= 5/10.
Так как события А и В несовместны, то по доказанной выше
теореме
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 3/10 + 5/10 = 8/10
Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,7 и Р(В)=0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Очевидно, события А и В совместны и независимы. Поэтому
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94.
Теоремы умножения вероятностей.
Определение 1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.
Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, P(A) = 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар —также имеет вероятность P(B) = 1/2, т. е. события А и В — независимые.
Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается и оказывается равно одной трети, если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается и становится равно двум третям.
Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В— зависимые.
Определение 2. Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью Р(B|A) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило. Так, в только что рассмотренном примере Р(B|A) = 1/3.
Условие независимости события В от события А можно записать в виде
Р(В|А) = Р(В).
а условие зависимости — в виде
Р(В|А) ǂ Р(В).
Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
P(AB) = Р(А)Р(B|A)= P(B)P(A|B)
Доказательство.
Пусть из всего числа n элементарных событий к благоприятствуют событию А и пусть из этих к событий p благоприятствуют событию В, а, значит, и событию АВ. Тогда
(1) Р(АВ) = p/п = к/n p/к= Р(А)Р(В|A),
что и доказывает искомое равенство.
Замечание. Применив формулу (1) к событию ВА, получим
Р(ВА) = Р(В)Р(A|B).
Так как АВ = ВА, то
(2) Р(AB) = P(B)P(A|B)
а сравнивая (1) и(2), получаем равенство
Р(А)Р(В|A) = Р(В)Р(А|B)
Пример 2. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар. Рассмотрим тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По формуле (1) имеем:
Р(АВ) = Р(А)Р(В|A) =1/2 • 1/3 = 1/6.
Пример 3. В терапевтическом отделении больницы 70% пациентов — женщины, а 21% — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?
Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М) = 0,3, а Р(МК) = 0,21.
Поэтому с учетом формулы (1)
P(AB) = Р(А)Р(B|A)
можно написать P(MK) = Р(M)Р(K|M)
и искомая условная вероятность то, что мужчина курит равна
P(K|M) = Р(MK) / Р(M)
P(K|M) = 0.21/ 0.3 = 0.7
Пример 4. В группе туристов 20% детей, причем 12% девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик?
Решение.
Пусть А означает, что турист — ребенок, Ж—турист женского пола, М— мужского. Тогда по условию Р(А) = 0.2, Р(AЖ) = 0.12, Р(AМ) = 0,08.
Следовательно,
P(Ж|A) = Р(AЖ) / Р(А) = 0.12/ 0.2 = 0.6
P(M|A) = Р(AM) / Р(А) = 0.08/ 0.2 = 0.4
Пример 5 (курение и случай заболевания легких). В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания
легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?
Решение.
Пусть событие А — обследуемый курит, событие В — обследуемый страдает заболеванием легких. Тогда, согласно условию задачи,
P(B)= (240 +120)/ 1000 = 0.36;
P(B|A)= (400)/ 1000 = 0.40;
Так как 0.36 ǂ 0.4, события А и В зависимы.
Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий
(3) Р(АВ) = Р(А)Р(В)
Действительно, если Аи В— независимые события, то Р(В|A) = Р(В) и формула (1) превращается в формулу (3)
В случае независимых событий в совокупности эта теорема распространяется на любое конечное число их, т. е. имеет место равенство
Р(А1 А2... Аn) = Р(А1)... Р(Аn).
Пример 6. Найдем вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.
События А я В независимы, поэтому искомая вероятность Р(АВ) = 0,7 0,8 = 0,56.
