Теоремы умножения вероятностей

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теоремы сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Доказательство.

Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют к элементарных событий, событию В— p элементарных событий. Так как А и В— несовмеcтные события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать к + p элементарных событий. По определению вероятности

Р(А) = к/п, Р(В) = p/п, Р(А + В) = (к + p)/п,

откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместных событий.

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

 

Р(А+В +С) = Р(А) + Р(В) +Р(С)

Теорема сложения вероятностей для нескольких совместных событий

Вероятность суммы нескольких совместных событий равна сумме их вероятностей минус произведение вероятностей:

 

Р(А+В +С) = Р(А) + Р(В) +Р(С) — Р(АВС)

Для двух совместных событий вероятность равна сумме их вероятностей минус произведение вероятностей:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ)

 

Если события А_1, А₂,..., А_n несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

 

Р(А₁) + Р(А₂) +…….+Р(А_n) =1

 

Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

 

Р(А) + Р(Ā) =1

 

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А|В).

События Л и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

 

Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) = Р(В).

Пример 1. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 3/10, синий Р(В)= 5/10.

Так как события А и В несовместны, то по доказанной выше

теореме

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 3/10 + 5/10 = 8/10

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,7 и Р(В)=0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Очевидно, события А и В совместны и независимы. Поэтому

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94.

Теоремы умножения вероятностей.

Определение 1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, P(A) = 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар —также имеет вероятность P(B) = 1/2, т. е. события А и В — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается и оказывается равно одной трети, если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается и становится равно двум третям.

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В— зависимые.

Определение 2. Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью Р(B|A) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило. Так, в только что рассмотренном примере Р(B|A) = 1/3.

Условие независимости события В от события А можно записать в виде

Р(В|А) = Р(В).

а условие зависимости — в виде

Р(В|А) ǂ Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(AB) = Р(А)Р(B|A)= P(B)P(A|B)

Доказательство.

Пусть из всего числа n элементарных событий к благоприятствуют событию А и пусть из этих к событий p благоприятствуют событию В, а, значит, и событию АВ. Тогда

(1) Р(АВ) = p/п = к/n p/к= Р(А)Р(В|A),

что и доказывает искомое равенство.

Замечание. Применив формулу (1) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В)Р(A|B).

Так как АВ = ВА, то

(2) Р(AB) = P(B)P(A|B)

 

а сравнивая (1) и(2), получаем равенство

 

Р(А)Р(В|A) = Р(В)Р(А|B)

Пример 2. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар. Рассмотрим тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По формуле (1) имеем:

Р(АВ) = Р(А)Р(В|A) =1/2 • 1/3 = 1/6.

 

Пример 3. В терапевтическом отделении больницы 70% пациентов — женщины, а 21% — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?

Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М) = 0,3, а Р(МК) = 0,21.

Поэтому с учетом формулы (1)

P(AB) = Р(А)Р(B|A)

можно написать P(MK) = Р(M)Р(K|M)

и искомая условная вероятность то, что мужчина курит равна

 

P(K|M) = Р(MK) / Р(M)

P(K|M) = 0.21/ 0.3 = 0.7

Пример 4. В группе туристов 20% детей, причем 12% девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик?

Решение.

Пусть А означает, что турист — ребенок, Ж—турист женского пола, М— мужского. Тогда по условию Р(А) = 0.2, Р(AЖ) = 0.12, Р(AМ) = 0,08.

Следовательно,

P(Ж|A) = Р(AЖ) / Р(А) = 0.12/ 0.2 = 0.6

 

P(M|A) = Р(AM) / Р(А) = 0.08/ 0.2 = 0.4

Пример 5 (курение и случай заболевания легких). В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания

легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?

Решение.

Пусть событие А — обследуемый курит, событие В — обследуемый страдает заболеванием легких. Тогда, согласно условию задачи,

P(B)= (240 +120)/ 1000 = 0.36;

P(B|A)= (400)/ 1000 = 0.40;

Так как 0.36 ǂ 0.4, события А и В зависимы.

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий

(3) Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Действительно, если Аи В— независимые события, то Р(В|A) = Р(В) и формула (1) превращается в формулу (3)

В случае независимых событий в совокупности эта теорема распространяется на любое конечное число их, т. е. имеет место равенство

Р(А₁ А₂... Аn) = Р(А₁)... Р(Аn).

Пример 6. Найдем вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

События А я В независимы, поэтому искомая вероятность Р(АВ) = 0,7 0,8 = 0,56.